Il sistema di dimostrazione dei tableaux semantici
Il metodo dei tableaux è un modo per dimostrare una formula
logica in maniera sistematica:
• un certo numero di regole di inferenza
• delle istruzioni su come applicarle
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Caratteristiche del metodo dei tableaux 1.
Metodologia di dimostrazione
• Generalmente per refutazione e distinzione per casi
• In maniera duale i tableaux possono essere visti come
dimostratori di validità
• I casi da analizzare (per la dimostrazione di una formula)
vengono determinati in modo corretto ed esaustivo
• Maniera sistematica per derivare un contro-esempio per
un’asserzione
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Caratteristiche del metodo dei tableaux 2.
Aspetti semantici
• Le regole di inferenza seguono la semantica dei connettivi logici
• Nel caso proposizionale una dimostrazione fallita fornisce un
contro-esempio per l’asserzione che doveva essere provata
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Regole di espansione per tableaux proposizionali
¬⊤
⊥
¬⊥
⊤
¬¬Z
Z
α
α1
α2
• Coincidono con le regole di riscrittura per DNF
• Consentono di trasformare un tableau (albero) in un altro
tableau
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β
β1 | β2
Definizione di tableau
Sia {A1, . . . , An} ⊆ Prop
1. Il seguente albero con un ramo solo
A1
..
An
è un tableau per {A1, . . . , An}
2. Se T è un tableau per {A1, . . . , An} e T ∗ viene ottenuto a
partire da T attraverso l’applicazione di una regola di espansione
per tableaux, allora T ∗ è un tableau per {A1, . . . , An}
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Alcune definizioni
Sia T un tableau, θ un ramo
• θ è chiuso se esiste X formula in Prop, tale che X, ¬X ∈ θ,
oppure se ⊥ ∈ θ
• θ è atomicamente chiuso se esiste P ∈ P, tale che P, ¬P ∈ θ ,
oppure se ⊥ ∈ θ
• T è chiuso se per ogni ramo θ ∈ T , θ è chiuso, ossia un tableau
è chiuso se lo sono tutti i suoi rami
• T è atomicamente chiuso se per ogni ramo θ ∈ T , θ è
atomicamente chiuso
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Alcune definizioni
Se esiste un tableau chiuso per ¬X, X è un teorema del sistema
dei tableaux proposizionali e si scrive ⊢pt X
{X : ⊢pt X} è l’insieme dei teoremi del sistema dei tableaux
proposizionali
Si dimostra che {X : ⊢pt X} = {X : |=p X}
attraverso i teoremi di correttezza (⊢pt X ⇒ |=p X) e
completezza (|=p X ⇒ ⊢pt X)
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Sistema di dimostrazione di risoluzione
• Il sistema della risoluzione è duale di quello dei tableaux
• Le regole di espansione sono le stesse regole per trasformare
una formula in CNF. In realtà però le versioni più comuni di
risoluzione cominciano con una conversione completa in forma
clausale, seguita dall’applicazione ad oltranza dalla regola di
risoluzione
• Tuttavia, come i tableaux possono essere chiusi prima di una
completa conversione in forma normale, la regola di risoluzione
può a sua volta essere applicata prima di raggiungere la forma
clausale
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Regole per la risoluzione proposizionale
• Regole di espansione
¬⊤
⊥
¬⊥
⊤
¬¬Z
Z
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α
α1 | α2
β
β1
β2
Regole per la risoluzione proposizionale
• Regola di risoluzione
Siano D1 = [Y1, . . . , Yn, X] e D2 = [W1, . . . , Wm, ¬X]
disgiunzioni generalizzate contenenti una o più disgiunzioni di
tipo X, ¬X. L’applicazione della regola di risoluzione a D1, D2
su X consiste nel
1. Cancellare tutte le occorrenze di X da D1
2. Cancellare tutte le occorrenze di ¬X da D2
3. Combinare le disgiunzioni nella risultante D (clausola
risolvente)
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Definizione di espansione mediante risoluzione
Sia {A1, . . . , An} ⊆ Prop
[A1]
..
[An]
è un’espansione mediante risoluzione (iniziale) per
{A1, . . . , An}
Se S è un’espansione mediante risoluzione per {A1, . . . , An}
ed S ∗ viene ottenuta da S con l’applicazione di una regola di
espansione per risoluzione o mediante l’applicazione della regola
di risoluzione, allora S ∗ è un’espansione mediante risoluzione
per {A1, . . . , An}
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Alcune definizioni
• S è una espansione chiusa mediante risoluzione per
{A1, . . . , An} se [ ] ∈ S.
• X è un teorema del sistema di risoluzione se esiste
un’espansione chiusa per {¬X}. Tale espansione si dirà una
dimostrazione di X (si scrive ⊢pr X).
• L’insieme dei teoremi del sistema di risoluzione viene indicato
con {X :⊢pr X}
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