Esercizi con i tableaux per la logica proposizionale

Esercizi con i tableaux per la logica proposizionale
Sandro Zucchi
2013-14
Qualche esempio di tableau
Vediamo un paio di esempi di come si costruisce un tableau. Supponiamo di voler
controllare se l’affermazione (1) è vera:
(1)
p ⊃ q, r ⊃ q `LP (T AB) (p ∨ r) ⊃ q
Dobbiamo costruire un tableau la cui radice è formata dalle premesse e dalla negazione della formula che si vuole derivare:
p ⊃q
r ⊃q
∼ ((p ∨ r) ⊃ q)
Se applichiamo le regole di LP(TAB) a queste formule, otteniamo il tableau seguente:
1
Metodi formali per filosofi
2
Il tableaux chiude, e dunque l’affermazione (1) è vera.
Supponiamo ora di voler controllare se l’affermazione (2) è vera:
(2)
`LP (T AB) ((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q
In questo caso, dal momento che non ci sono premesse, dobbiamo costruire un
tableau la cui radice è formata dalla negazione della formula che vogliamo derivare,
ovvero da
∼ (((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q)
Se applichiamo le regole di LP(TAB) a questa formula, il tableau che otteniamo è
questo:
Il tableau non chiude, in quanto uno dei suoi rami rimane aperto dopo che tutte le
regole sono state applicate. Dunque, la formula (3) non è derivabile in LP(TAB):
(3)
((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q
Contro-modelli
Dal momento che il sistema LP(TAB) è completo, se (3) non è derivabile in LP(TAB),
allora (3) non è una formula valida:
Metodi formali per filosofi
(3)
3
((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q
Se (3) non è valida, allora, per definizione, esiste almeno una valutazione che la
rende falsa.
Come osserva Priest, dato un ramo aperto di un tableau, una valutazione del
genere può essere ricavata dal ramo:
La ricetta è semplice. Se la [lettera] proposizionale, p, occorre su un
nodo del ramo [aperto], assegnatele 1; se ∼ p, occorre su un nodo
dello stesso ramo assegnate a p il valore 0. (Se né p né ∼ p occorrono
in questo modo, le si può assegnare il valore che si vuole).
(G. Priest, An introduction to non-classical logic, p. 10).
Se applichiamo questa ricetta al tableau che abbiamo costruito per controllare se
(3) è derivabile,
otteniamo questo risultato: una valutazione che rende falsa (3) è qualsiasi valutazione ν tale che
ν(p) = 1, ν(q) = 0.
Infatti, in base a una valutazione di questo tipo, “p ⊃ q” è falsa (in quanto l’antecedente è vero e il conseguente falso). Ma allora “(p ⊃ q) ⊃ q” deve essere vera
(in quanto l’antecedente è falso). Quindi, “((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q” è falsa in questa
valutazione (in quanto l’antecedente è vero e il conseguente falso).
La stessa ricetta è applicabile anche nel caso di un tableau costruito per verificare se una certa formula è derivabile da certe premesse. In questo caso, se il
tableau non chiude, e dunque l’argomento non è valido, le valutazioni che otterremo applicando la ricetta sono valutazioni che rendono vere le premesse e falsa la
conclusione.
Una valutazione che rende falsa una formula oppure che rende vere le premesse
e falsa la conclusione di un argomento è detta contro-modello.
Metodi formali per filosofi
4
Primo esercizio (Priest)
Controlla la verità di ciascuna delle affermazioni in (4) usando i tableaux:
(4)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
p ⊃ (q ∧ r) , ∼ r `LP (T AB) ∼ p
`LP (T AB) ((p ⊃ q) ∧ (∼ p ⊃ q)) ⊃ ∼ p
p ≡ (q ≡ r) `LP (T AB) (p ≡ q) ≡ r
∼ (p ⊃ q) ∧ ∼ (p ⊃ r) `LP (T AB) ∼ q ∨ ∼ r
p ∧ (∼ r ∨ s) , ∼ (q ⊃ s) `LP (T AB) r
`LP (T AB) (p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ (q ⊃ (p ⊃ r))
∼ (p∧ ∼ q) ∨ r, p ⊃ (r ≡ s) `LP (T AB) p ≡ q
p ≡ ∼∼ q, ∼ q ⊃ (r ∧ ∼ s) , s ⊃ (p ∨ q) `LP (T AB) (s ∧ q) ⊃ p
Se la conclusione non è derivabile dalle premesse, estrai un contro-modello dall’albero e mostra che rende le premesse vere e la conclusione falsa (se non ci sono
premesse, e la formula non è derivabile, estrai un contro-modello dall’albero e
mostra che rende la formula falsa).