Esercizi con i tableaux per la logica proposizionale

Esercizi con i tableaux per la logica proposizionale
Sandro Zucchi
2013-14
Qualche esempio di tableau
Vediamo un paio di esempi di come si costruisce un tableau. Supponiamo di voler
controllare se l’affermazione (1) è vera:
(1)
p ⊃ q, r ⊃ q `LP (T AB) (p ∨ r) ⊃ q
Dobbiamo costruire un tableau la cui radice è formata dalle premesse e dalla negazione della formula che si vuole derivare:
p ⊃q
r ⊃q
∼ ((p ∨ r) ⊃ q)
Se applichiamo le regole di LP(TAB) a queste formule, otteniamo il tableau seguente:
1
Metodi formali per filosofi
2
Il tableaux chiude, e dunque l’affermazione (1) è vera.
Supponiamo ora di voler controllare se l’affermazione (2) è vera:
(2)
`LP (T AB) ((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q
In questo caso, dal momento che non ci sono premesse, dobbiamo costruire un
tableau la cui radice è formata dalla negazione della formula che vogliamo derivare,
ovvero da
∼ (((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q)
Se applichiamo le regole di LP(TAB) a questa formula, il tableau che otteniamo è
questo:
Il tableau non chiude, in quanto uno dei suoi rami rimane aperto dopo che tutte le
regole sono state applicate. Dunque, la formula (3) non è derivabile in LP(TAB):
(3)
((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q
Contro-modelli
Dal momento che il sistema LP(TAB) è completo, se (3) non è derivabile in LP(TAB),
allora (3) non è una formula valida:
Metodi formali per filosofi
(3)
3
((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q
Se (3) non è valida, allora, per definizione, esiste almeno una valutazione che la
rende falsa.
Come osserva Priest, dato un ramo aperto di un tableau, una valutazione del
genere può essere ricavata dal ramo:
La ricetta è semplice. Se la [lettera] proposizionale, p, occorre su un
nodo del ramo [aperto], assegnatele 1; se ∼ p, occorre su un nodo
dello stesso ramo assegnate a p il valore 0. (Se né p né ∼ p occorrono
in questo modo, le si può assegnare il valore che si vuole).
(G. Priest, An introduction to non-classical logic, p. 10).
Se applichiamo questa ricetta al tableau che abbiamo costruito per controllare se
(3) è derivabile,
otteniamo questo risultato: una valutazione che rende falsa (3) è qualsiasi valutazione ν tale che
ν(p) = 1, ν(q) = 0.
Infatti, in base a una valutazione di questo tipo, “p ⊃ q” è falsa (in quanto l’antecedente è vero e il conseguente falso). Ma allora “(p ⊃ q) ⊃ q” deve essere vera
(in quanto l’antecedente è falso). Quindi, “((p ⊃ q) ⊃ q) ⊃ q” è falsa in questa
valutazione (in quanto l’antecedente è vero e il conseguente falso).
La stessa ricetta è applicabile anche nel caso di un tableau costruito per verificare se una certa formula è derivabile da certe premesse. In questo caso, se il
tableau non chiude, e dunque l’argomento non è valido, le valutazioni che otterremo applicando la ricetta sono valutazioni che rendono vere le premesse e falsa la
conclusione.
Una valutazione che rende falsa una formula oppure che rende vere le premesse
e falsa la conclusione di un argomento è detta contro-modello.
Metodi formali per filosofi
4
Primo esercizio (Priest)
Controlla la verità di ciascuna delle affermazioni in (4) usando i tableaux:
(4)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
p ⊃ (q ∧ r) , ∼ r `LP (T AB) ∼ p
`LP (T AB) ((p ⊃ q) ∧ (∼ p ⊃ q)) ⊃ ∼ p
p ≡ (q ≡ r) `LP (T AB) (p ≡ q) ≡ r
∼ (p ⊃ q) ∧ ∼ (p ⊃ r) `LP (T AB) ∼ q ∨ ∼ r
p ∧ (∼ r ∨ s) , ∼ (q ⊃ s) `LP (T AB) r
`LP (T AB) (p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ (q ⊃ (p ⊃ r))
∼ (p∧ ∼ q) ∨ r, p ⊃ (r ≡ s) `LP (T AB) p ≡ q
p ≡ ∼∼ q, ∼ q ⊃ (r ∧ ∼ s) , s ⊃ (p ∨ q) `LP (T AB) (s ∧ q) ⊃ p
Se la conclusione non è derivabile dalle premesse, estrai un contro-modello dall’albero e mostra che rende le premesse vere e la conclusione falsa (se non ci sono
premesse, e la formula non è derivabile, estrai un contro-modello dall’albero e
mostra che rende la formula falsa).