(“And”) e

Logica proposizionale classica
• Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ∧
(“And”) e ∨ (“Or”).
• Parte da una famiglia di enunciati atomici di cui non
analizziamo la struttura interna, che rappresentiamo con delle
lettere, di cui ci interessa conoscere solo il valore di verità.
• Da queste “lettere proposizionali” vengono costruiti enunciati
più elaborati usando i connettivi proposizionali.
• Studia gli enunciati composti che sono veri a causa della loro
struttura, cioè le tautologie, e gli enunciati che sono
conseguenza logica di altri.
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Linguaggio della logica proposizionale classica
• insieme P = {p1, p2, p3, . . .} di lettere proposizionali,
• simboli di costante: ⊤ (vero) e ⊥ (falso),
• connettivi proposizionali:
– unari: ¬ (negazione),
– binari: ∧, ∨, ⊃, ≡,...,
• parentesi: (,).
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Definizione delle formule proposizionali
Una formula atomica è una lettera proposizionale, ⊤ o ⊥.
Indichiamo con ATProp l’insieme di tutte le formule atomiche.
L’insieme delle formule proposizionali Prop viene definito come il
più piccolo insieme S ⊆ Σ+ che gode delle seguenti proprietà:
1. ATProp ⊆ S,
2. X ∈ S ⇒ ¬X ∈ S,
3. X, Y ∈ S ⇒ (X ◦ Y ) ∈ S, per ogni connettivo binario ◦.
3
Principio di induzione strutturale
Metodo di dimostrazione che sfrutta la struttura induttiva delle
formule:
Sia Q ⊆ Prop, se
• CASO BASE:
1. ATProp ⊆ Q,
• PASSO INDUTTIVO:
2. X ∈ Q ⇒ ¬X ∈ Q,
3. X, Y ∈ Q ⇒ (X ◦ Y ) ∈ Q, per ogni connettivo binario ◦,
allora Q = Prop.
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Principio di ricorsione strutturale
C’è una ed una sola funzione f definita su Prop tale che:
• CASO BASE: il valore di f è specificato esplicitamente sulle
formule atomiche attraverso una funzione g : ATProp → D,
• PASSO INDUTTIVO:
– il valore di f su ¬X viene specificato in termini del valore di
f su X attraverso una funzione f¬ : D → D,
– il valore di f su (X ◦ Y ) viene specificato in termini dei valori
di f su X e su Y mediante una funzione
l : (BinarySymbol × D × D) → D.
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Unicità del parsing
Ogni formula proposizionale appartiene ad una sola delle seguenti
tre categorie:
• Atomica,
• ¬X, per un’unica formula proposizionale X,
• (X ◦ Y ), per un unico simbolo binario “◦” e uniche formule
proposizionali X e Y .
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Sottoformula
Le sottoformule immediate di una formula proposizionale sono
definite come segue:
1. Una formula atomica non ha sottoformule immediate,
2. ¬X ha come unica sottoformula immediata X,
3. Dato un simbolo binario “◦”, le sottoformule immediate di
(X ◦ Y ) sono X e Y .
L’insieme delle sottoformule di una formula proposizionale X è il
più piccolo insieme S tale che:
• X ∈ S,
• per ogni Y ∈ S, tutte le sottoformule immediate di Y sono
contenute in S.
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Semantica della logica proposizionale
La logica classica è a due valori. Prendiamo come spazio dei valori
di verità l’insieme Tr = {t, f }.
Come interpretiamo ciascuno dei simboli di operazione del
linguaggio?
• Per la negazione assumiamo di avere una mappa ¬ : Tr → Tr
data da ¬(t) = f e ¬(f ) = t.
• Possiamo individuare dieci connettivi binari. Otto primari e due
secondari.
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Connettivi binari
t
t
f
f
t
f
t
f
∧
t
f
f
f
∨
t
t
t
f
⊃
t
f
t
t
⊂
t
t
f
t
↑
f
t
t
t
9
↓
f
f
f
t
̸⊃
f
t
f
f
̸⊂
f
f
t
f
≡
t
f
f
t
̸≡
f
t
t
f
Valutazioni booleane
Una valutazione booleana è un’applicazione v : Prop → Tr che
soddisfa le condizioni
1. v(⊤) = t, v(⊥) = f ,
2. v(¬X) = ¬v(X),
3. v(X ◦ Y ) = v(X) ◦ v(Y ), dove ◦ sta per uno dei connettivi
proposizionali.
Lemma. Data f : {p1, p2, . . .} → Tr , esiste un’unica
valutazione booleana vf tale che vf (pi) = f (pi), per ogni lettera
proposizionale pi.
10
Valutazioni booleane
Lemma. Siano S un insieme di lettere proposizionali, X una
formula proposizionale coinvolgente solo lettere proposizionali in
S, e v1, v2 due valutazioni booleane tali che v1(pi) = v2(pi) per
ogni pi ∈ S, allora v1(X) = v2(X).
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Formula soddisfacibile, tautologia
• Una formula proposizionale X è soddisfatta da una valutazione
booleana v, se v(X) = t (in simboli, v |= X).
• Una formula proposizionale X è soddisfacibile se v |= X, per
qualche valutazione booleana v.
• Una formula proposizionale X è insoddisfacibile (o
contraddittoria) se v ̸|= X, per ogni valutazione booleana v.
• Una formula proposizionale X è una tautologia se v |= X, per
ogni valutazione booleana v.
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Soddisfacibilità di insiemi di formule
Sia S ⊆ Prop:
• S è soddisfatto da v se v |= X, per ogni X ∈ S (in simboli
v |= S).
• S è soddisfacibile se esiste v tale che v |= S.
• S è insoddisfacibile se v ̸|= S, per ogni v.
• X è conseguenza logica di S (in simboli S |= X) se per ogni v
tale che v |= S si ha che v |= X.
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Validità, insoddisfacibilità e conseguenza logica
Lemma
X è una tautologia se e solo se ¬X è insoddisfacibile.
Lemma
S |= X se e solo se S ∪ {¬X} è insoddisfacibile.
Lemma
S ∪ {X} |= Y se e solo se S |= X ⊃ Y .
Teorema della deduzione semantica
X1, . . . , Xn |= Y se e solo se |= (X1 ⊃ . . . (Xn ⊃ Y )).
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Dualità fra i connettivi binari
Per la logica proposizionale classica c’è un’elegante nozione di
dualità:
• Siano ◦ e • due operazioni binarie su Tr . Diciamo che • è il
duale di ◦ se ¬(x ◦ y) = (¬x • ¬y).
Esempio:
∧ è il duale di ∨.
La dualità per i connettivi della logica proposizionale è simmetrica.
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Sostituzioni
Sia P una lettera proposizionale, X ed F due formule. Indichiamo
P la formula che si ottiene sostituendo X a P in F .
con FX
sub P,X : Prop → Prop
P
sub P,X (F ) = FX
• La formula F si può indicare come F (P ) sottolineando che P è
una lettera proposizionale importante che potrebbe anche non
occorrere in F .
• F (X) è il risultato della sostituzione di P con X se P è
presente.
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Teorema di sostituzione
Teorema di sostituzione versione I. Siano F (P ), X e Y
delle formule proposizionali, e v sia una valutazione booleana. Se
v(X) = v(Y ) allora v(F (X)) = v(F (Y )).
Teorema di sostituzione versione II. Se X ≡ Y è una
tautologia, tale è F (X) ≡ F (Y ).
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