(“And”) e

Logica proposizionale classica
• Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ∧
(“And”) e ∨ (“Or”)
• Parte da una famiglia di enunciati atomici di cui non
analizziamo la struttura interna, che rappresentiamo con delle
lettere, di cui ci interessa conoscere solo il valore di verità
• Da queste “lettere proposizionali” costruiamo enunciati più
elaborati usando i connettivi proposizionali
• Determinare gli enunciati composti veri a causa della loro
struttura, le tautologie, e gli enunciati che sono conseguenza
logica di altri
1
Linguaggio della logica proposizionale classica
• insieme P = {p1, p2, p3, . . .} di lettere proposizionali
• simboli di costante: ⊤ (vero) e ⊥ (falso)
• connettivi proposizionali:
– unari: ¬ (negazione)
– binari: ∧, ∨, ⊃, ≡,...
• parentesi: (,)
2
Definizione delle formule proposizionali
Una formula atomica è una lettera proposizionale, ⊤ o ⊥.
Indichiamo con ATProp l’insieme di tutte le formule atomiche
L’insieme delle formule proposizionali Prop viene definito come il
più piccolo insieme S ⊆ Σ+ che gode delle seguenti proprietà:
1. ATProp ⊆ S
2. X ∈ S ⇒ ¬X ∈ S
3. X, Y ∈ S ⇒ (X ◦ Y ) ∈ S, per ogni connettivo binario ◦
3
Principio di induzione strutturale
Metodo di dimostrazione che sfrutta la struttura induttiva delle
formule
Sia Q ⊆ Prop, se
• CASO BASE:
1. ATProp ⊆ Q
• PASSO INDUTTIVO:
2. X ∈ Q ⇒ ¬X ∈ Q
3. X, Y ∈ Q ⇒ (X ◦ Y ) ∈ Q, per ogni connettivo binario ◦
Allora Q = Prop
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Principio di ricorsione strutturale
C’è una ed una sola funzione f definita su Prop tale che
CASO BASE Il valore di f è specificato esplicitamente sulle
formule atomiche attraverso una funzione g : ATProp → D
PASSO INDUTTIVO il valore di f su ¬X viene
specificato in termini del valore di f su X attraverso una
funzione f¬ : D → D
il valore di f su (X ◦ Y ) viene specificato in termini dei valori
di f su X e su Y mediante una funzione
l : BinarySymbol × D × D → D
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Unicità del parsing
Ogni formula proposizionale è esattamente in una delle tre
categorie:
• Atomica
• ¬X per un’unica formula proposizionale X
• (X ◦ Y ) per un unico simbolo binario ◦ e formule proposizionali
uniche X e Y
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Sottoformula
Le sottoformule immediate sono definite come segue:
1. Una formula atomica non ha sottoformule immediate
2. La sola sottoformula immediata di ¬X è X
3. Per un simbolo binario ◦, le sottoformule immediate di (X ◦ Y )
sono X e Y
L’insieme delle sottoformule di una formula X è il più piccolo
insieme S tale che:
•X ∈ S
• per ogni Y ∈ S, tutte le sottoformule immediate di Y sono
contenute in S
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Semantica della logica proposizionale
La logica classica è a due valori. Prendiamo come spazio dei valori
di verità l’insieme Tr = {t, f }
Come interpretiamo ciascuno dei simboli di operazione del
linguaggio?
• Per la negazione assumiamo di avere una mappa ¬ : Tr → Tr
data da ¬(t) = f e ¬(f ) = t
• Possiamo individuare dieci connettivi. Otto primari e due
secondari
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Connettivi binari
t
t
f
f
t
f
t
f
∧
t
f
f
f
∨
t
t
t
f
⊃
t
f
t
t
⊂
t
t
f
t
↑
f
t
t
t
9
↓
f
f
f
t
6⊃
f
t
f
f
6⊂
f
f
t
f
≡
t
f
f
t
6≡
f
t
t
f
Valutazioni booleane
Una valutazione booleana è un’applicazione v : Prop → Tr che
soddisfa le condizioni
1. v(⊤) = t, v(⊥) = f
2. v(¬X) = ¬v(X)
3. v(X ◦ Y ) = v(X) ◦ v(Y ), dove ◦ sta per uno dei connettivi
proposizionali
Lemma Data f : {p1, p2, . . .} → Tr , esiste un’unica valutazione
booleana vf tale che vf (P ) = f (P ), per ogni lettera
proposizionale P .
10
Valutazioni booleane
Lemma Siano S un insieme di lettere proposizionali, X una
formula proposizionale coinvolgente solo lettere proposizionali in
S, e v1, v2 due valutazioni booleane tali che v1(P ) = v2(P ) per
ogni P ∈ S, allora v1(X) = v2(X).
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Formula soddisfacibile, tautologia
• Una formula proposizionale X è soddisfatta da una valutazione
booleana v, se v(X) = t (in simboli, v |= X)
• Una formula proposizionale X è soddisfacibile se v |= X, per
qualche valutazione booleana v
• Una formula proposizionale X è insoddisfacibile (o
contraddittoria) se v 6|= X, per ogni valutazione booleana v
• Una formula proposizionale X è una tautologia se v |= X, per
ogni valutazione booleana v
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Soddisfacibilità di insiemi di formule
Sia S ⊆ Prop
• S è soddisfatto da v se v |= X, per ogni X ∈ S (in simboli
v |= S)
• S è soddisfacibile se esiste v tale che v |= S
• S è insoddisfacibile se v 6|= S, per ogni v
• X è conseguenza logica di S (in simboli S |= X) se per ogni v
tale che v |= S si ha che v |= X
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Validità, insoddisfacibilità e conseguenza logica
Lemma
X è una tautologia se e solo se ¬X è insoddisfacibile
Lemma
S |= X se e solo se S ∪ {¬X} è insoddisfacibile
Lemma
S ∪ {X} |= Y se e solo se S |= X ⊃ Y
Teorema della deduzione semantica
X1, . . . , Xn |= Y se e solo se |= (X1 ⊃ . . . (Xn ⊃ Y ))
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Dualità fra i connettivi binari
Per la logica proposizionale classica c’è un’elegante nozione di
dualità
• Siano ◦ e • due operazioni binarie su Tr . Diciamo che • è il
duale di ◦ se ¬(x ◦ y) = (¬x • ¬y)
Esempio:
∧ è il duale di ∨
La dualità per i connettivi della logica proposizionale è simmetrica.
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Sostituzioni
Sia P una lettera proposizionale, X ed F due formule. Indichiamo
P la formula che si ottiene sostituendo X a P in F .
con FX
sub P,X (F ) : Prop → Prop
P
sub P,X (F ) = FX
• La formula F si può indicare come F (P ) sottolineando che P è
una lettera proposizionale importante che potrebbe anche non
occorrere in F .
• F (X) è il risultato della sostituzione di P con X se P è
presente.
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Teorema di sostituzione
Teorema di sostituzione versione I. Siano F (P ), X e Y
delle formule proposizionali, e v sia una valutazione booleana. Se
v(X) = v(Y ) allora v(F (X)) = v(F (Y )).
Teorema di sostituzione versione II. Se X ≡ Y è una
tautologia, tale è F (X) ≡ F (Y ).
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Le forme normali
• Utilizziamo i teoremi di sostituzione per la costruzione delle
forme normali
• Le forme normali vengono introdotte per semplificare il
procedimento di verifica delle tautologie
• I dimostratori automatici più efficienti non agiscono sulle
formule della logica proposizionale completa, ma richiedono che
ciascuna formula venga posta in forma normale
• Studiemo le seguenti forme normali
– forma normale negativa
– forma normale congiuntiva
– forma normale disgiuntiva
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Forma normale negativa
Una formula proposizionale X viene detta in forma normale
negativa se gli unici simboli di negazione in X occorrono davanti
alle lettere proposizionali.
Ogni formula proposizionale può essere messa in forma normale
negativa
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Notazione uniforme
• Per ridurre il numero di casi da considerare con i vari metodi e
tecniche di dimostrazione e nelle implementazioni, conviene
considerare un piccolo numero di connettivi di base e prendere
gli altri come derivati.
• Useremo la notazione uniforme di Smullyan che mette a
disposizione un vasto insieme di connettivi senza dover
considerare un gran numero di casi nelle dimostrazioni e nelle
definizioni.
• raggruppiamo le formule proposizionali delle forme (X ◦ Y ) e
¬(X ◦ Y ) (◦, connettivo primario) in due categorie
– α-formule (congiuntive)
– β-formule (disgiuntive)
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α- formule e β-formule
α
α1
α2
β
β1
β2
X1 ∧ X2
¬(X1 ∨ X2)
¬(X1 ⊃ X2)
¬(X1 ⊂ X2)
¬(X1 ↑ X2)
X1 ↓ X2
X1 6⊃ X2
X1 6⊂ X2
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X2
¬X2
¬X2
X2
X2
¬X2
¬X2
X2
¬(X1 ∧ X2)
X1 ∨ X2
X1 ⊃ X2
X1 ⊂ X2
X1 ↑ X2
¬(X1 ↓ X2)
¬(X1 6⊃ X2)
¬(X1 6⊂ X2)
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X2
X2
X2
¬X2
¬X2
X2
X2
¬X2
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Altri tipi di formule
Abbiamo anche:
• Le formule ⊤, ⊥, P , ¬P , ¬⊤, ¬⊥.
• Le formule di tipo ¬¬Z
In questo modo esauriamo tutti i tipi di formule
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Principio di induzione strutturale
Sia Q ⊆ Prop. Se
Caso Base: Ogni formula atomica e la sua negazione ha la
proprietà Q,
Passo induttivo: • se Z ha la proprietà Q, anche ¬¬Z ha la
proprietà Q,
• se α1 ed α2 hanno la proprietà Q, anche α ha la proprietà Q,
• se β1 e β2 hanno la proprietà Q, anche β ha la proprietà Q,
allora Q = Prop.
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Principio di ricorsione strutturale
Sia B = ATProp ∪ ¬ATProp, D 6= ∅ e
•g : B → D
• h¬¬ : D → D
• lα : D × D → D
• lβ : D × D → D
esiste unica f : Prop → D tale che
• f (X) = g(X), X ∈ B
• f (¬¬X) = h¬¬(f (X)), X ∈ Prop
• f (α) = lα(f (α1), f (α2)), α, α1, α2 ∈ Prop
• f (β) = lβ (f (β1), f (β2)), β, β1, β2 ∈ Prop
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Congiunzioni e disgiunzioni generalizzate
Sia X1, . . . , Xn una lista di formule proposizionali (possibilmente
vuota).
• [X1, . . . , Xn] è la disgiunzione generalizzata di X1, . . . , Xn
• hX1, . . . , Xni è la congiunzione generalizzata di X1, . . . , Xn
Semantica
Se v è una valutazione booleana, in aggiunta alle altre condizioni
richiediamo che
• v([X1, . . . , Xn]) = t ⇔ esiste un i ∈ {1, . . . , n} tale che
v(Xi) = t
• v(hX1, . . . , Xni) = t ⇔ per ogni i ∈ {1, . . . , n}, v(Xi) = t
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Letterali, clausole, formule normali
• Un letterale è una lettera proposizionale, o la sua negazione, o
una delle costanti ⊤, ⊥ (Lit = ATProp ∪ ¬P)
• Una clausola è una disgiunzione generalizzata [X1, . . . , Xn] in
cui ogni membro è un letterale
• Una clausola duale è una congiunzione generalizzata
hX1, . . . , Xni in cui ogni membro è un letterale
• Una CNF (Conjunctive Normal Form) è una congiunzione
generalizzata di clausole hC1, . . . , Cni
• Una DNF (Disjunctive Normal Form) è una disgiunzione
generalizzata di clausole duali [D1, . . . , Dn]
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