Equazioni di II grado

Equazioni di II grado
Equazione di II grado completa: ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c ≠ 0
2
Per risolverla si deve calcolare il discriminante ∆ = b − 4ac e distinguere i
seguenti casi:
I. Se il discriminante è negativo, l’equazione è impossibile (non ammette
soluzioni reali).
II. Se il discriminante è nullo, l’equazione ammette due soluzioni reali e
coincidenti con: x = −
b
.
2a
III. Se il discriminante è positivo, l’equazione ammette due soluzioni reali e
−b − ∆
−b + ∆
e x2 =
.
2a
2a
Se b (il coefficiente di x ) è divisibile per 2, si può usare la formula ridotta,
2
∆ b
=   − ac .
calcolando
4 2
distinte: x1 =
In tal caso:
∆
< 0 , l’equazione è impossibile (non ammette soluzioni reali);
4
∆
= 0 , l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti con:
II. Se
4
 b
− 
b
2
x=
=− ;
a
2a
b
∆
− −
∆
4
III. Se
> 0 , l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte: x1 = 2
4
a
b
∆
− +
2
4 .
e x2 =
a
I. Se
Equazione di II grado incompleta: ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 0
Si distinguono i seguenti casi:
I. Se b = c = 0 , l’equazione è della forma ax = 0 ed è detta monomia.
Tal equazione ammette sempre due radici entrambe uguali a zero.
2
II. Se c = 0 e b ≠ 0 , l’equazione è della forma ax + bx = 0 ed è detta spuria.
Tal equazione ammette sempre due radici reali di cui una è zero. Si risolve
mettendo in evidenza il fattore comune x e applicando la legge di
2
1
annullamento del prodotto (Il prodotto di due o più fattori è zero, se e solo
se almeno uno dei fattori è zero):
x=0
ax 2 + bx = 0 ⇒ x ( ax + b ) = 0
ր
ց
b
a
2
III. Se b = 0 e c ≠ 0 , l’equazione è della forma ax + c = 0 ed è detta pura.
c
2
Tal equazione si può scrivere nella forma x = − .
a
c
Se a e c sono discordi essa ammette le due soluzioni x12 = ± − , se a e
a
c sono concordi l’equazione è impossibile.
ax + b = 0 ⇒ x = −
Attenzione:La formula risolutiva per le equazioni di II grado complete è valida
anche per le equazioni incomplete.
Risolvi le seguenti equazioni:
1
2
2
( x + 1) + x ( x − 2 ) − 4  x −  = ( 2 − x ) − 1
2

( x + 1)( x − 1)
2
• x −8=
8
2
• 3 + ( x − 3)( 2 x + 1) = 5 ( x − x ) − 6 x
•
•
•
•
3 ( x − 1) = 12 − 4 x
2
3x 2 + 3x = 0
x 2 + 25 = 0
Scomposizione del trinomio di secondo grado
Dato un trinomio di secondo grado ax + bx + c , le soluzioni dell’equazione
2
ax 2 + bx + c = 0 si chiamano zeri o radici del trinomio.
2
Se l’equazione ax + bx + c = 0 ammette soluzioni reali (ciò accade se ∆ ≥ 0 ) il
trinomio si può scomporre in fattori lineari nel seguente modo:
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
Se l’equazione ax + bx + c = 0 non ammette soluzioni reali (ciò accade se
∆ < 0 ) il trinomio non si può scomporre in fattori lineari.
2
Esempi
x 2 − 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2 )
2
2 x 2 + 12 x + 18 = 2 ( x + 3)
2
x 2 + x + 1 non si può scomporre.
Scomponi, se possibile, i seguenti trinomi:
x 2 + 4 x + 17
2
• 15 x − x − 2
•
•
•
4 x 2 − 12 x + 9
x 2 − x − 12
Equazione di II grado letterale intera
Per risolverla si devono seguire i seguenti passi:
1. Determinare i valori del parametro, se esistono, per cui si annulla qualcuno
dei denominatori e concludere che per tali valori l’equazione è priva di
senso.
2. Supporre il parametro diverso dai valori trovati nel passo precedente e
ridurre l’equazione in forma normale;
2
3. Analizzare il coefficiente di x e determinare, tra i valori del parametro
che non rendono priva di senso l’equazione, i valori del parametro, se
2
esistono, per cui il coefficiente di x è uguale a zero. Se tali valori
esistono sostituirli, uno per volta, al parametro e risolvere l’equazione di I
grado ottenuta.
4. Supporre il parametro diverso dai valori trovati nei due passi precedenti e
calcolare il ∆ ;
5. Determinare, tra i valori del parametro che non rendono priva di senso
l’equazione e che non annullano il coefficiente di
x 2 , i valori del parametro
per cui ∆ < 0 , e concludere che per tali valori, se esistono, l’equazione è
impossibile.
6. Determinare, tra i valori del parametro che non rendono priva di senso
l’equazione e che non annullano il coefficiente di
x 2 , i valori del parametro
per cui ∆ = 0 , e concludere che per tali valori, se esistono, l’equazione
ammette due soluzioni reali e coincidenti. Se tali valori esistono sostituirli,
uno per volta, al parametro e risolvere l’equazione ottenuta.
7. Determinare, tra i valori del parametro che non rendono priva di senso
l’equazione e che non annullano il coefficiente di
x 2 , i valori del parametro
per cui ∆ > 0 , e concludere che per tali valori, se esistono, l’equazione
ammette due soluzioni reali e distinte. Se tali valori esistono risolvere
l’equazione.
8. Sintetizzare i risultati ottenuti in una tabella del tipo:
3
In sintesi
L’equazione è priva di senso
L’equazione si abbassa di grado. L’unica
soluzione è:
L’equazione è impossibile
L’equazione ammette due soluzioni reali e
coincidenti:
L’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte:
Se
Se
Se
Se
Se
ATTENZIONE: Se nell’equazione compaiono più parametri, si procede allo stesso
modo.
Esempi
x
1 + x x 2 + 2ax
1
−
= 2
−
a+2 2−a
a −4
a−2
1.
x
1+ x
x 2 + 2ax
1
−
=
−
Se a = ±2 l’equazione è priva di
a + 2 2 − a ( a + 2 )( a − 2 ) a − 2
senso.
2. Supponiamo a ≠ ±2 .
x ( a − 2 ) + (1 + x )( a + 2 ) x 2 + 2ax − ( a + 2 )
=
;
( a + 2 )( a − 2 )
( a + 2 )( a − 2 )
ax − 2 x + a + 2 + ax + 2 x = x 2 + 2ax − a − 2 ;
x 2 − 2a − 4 = 0 con a ≠ ±2 .
2
3. Se a ≠ ±2 , non esistono valori di a che annullano il coefficiente di x .
∆
4.
= 2a + 4 .
4
5. Se a ≠ ±2 e a < −2 , l’equazione è impossibile. ⇒ se a < −2 l’equazione è
impossibile.
6. Se a ≠ ±2 , il discriminante dell’equazione non si annulla mai.
7. Se a ≠ ±2 e a > −2 , l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte ⇒
Se a ≠ 2 ∧ a > −2 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte:
x = ± 2a + 4 .
8.
Se a = ±2
Se a < −2
Se a ≠ 2 ∧ a > −2
In sintesi
L’equazione è priva di senso.
L’equazione è impossibile.
L’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte: x = ± 2a + 4 .
4
ab
( 2 x − 1) + ( a + b ) x 2 = ( a + b ) x
a−b
1. Se a = b l’equazione è priva di senso.
2. Supponiamo a ≠ b .
ab ( 2 x − 1) + ( a − b )( a + b ) x 2 ( a − b )( a + b ) x
;
=
a−b
a−b
2abx − ab + ( a 2 − b 2 ) x 2 = ( a 2 − b 2 ) x ;
(a
2
− b 2 ) x 2 + ( 2ab − a 2 + b 2 ) x − ab = 0 con a ≠ b .
3. Se a ≠ b e a = ±b , il coefficiente di x si annulla ⇒ se a ≠ b e a = −b
l’equazione si abbassa di grado e diviene:
2
−2b 2 x + b 2 = 0
• se a ≠ b e a = −b , e b = 0 l’equazione è indeterminata ⇒
l’equazione non è mai indeterminata, perché se b = 0 allora
a = −b = 0 e di conseguenza a = b .
• se a ≠ b e a = −b , e b ≠ 0 , l’equazione ammette la sola soluzione
b2 1
x = 2 = ⇒ se a = −b ≠ 0 , l’equazione ammette la sola soluzione
2b
2
2
b
1
x= 2 = .
2b
2
(
4. ∆ = 2ab − a + b
2
)
2 2
+ 4a 2b 2 + a 4 + b 4 4ab ( a 2 − b 2 ) = 4a 2b 2 + a 4 + b 4 − 4a 3b +
+4ab3 − 2a 2b 2 + 4a 3b − 4ab3 = 2a 2b 2 + a 4 + b 4 = ( a 2 + b 2 )
5. Se a ≠ b
6. Se a ≠ b
7. Se a ≠ b
ammette
x=
2
e a ≠ −b , il discriminante dell’equazione non è mai negativo.
e a ≠ −b , il discriminante dell’equazione non è mai nullo.
e a ≠ −b , il discriminante dell’equazione è positivo e l’equazione
due soluzioni reali e distinte:
− ( 2ab − a 2 + b 2 ) ± ( a 2 + b 2 )
2 ( a2 − b2 )
=
−2ab + a 2 − b 2 ± ( a 2 + b 2 )
2 ( a2 − b2 )
−2ab − 2b 2
=
2 ( a2 − b2 )
=
ր
ց
−2ab + 2a 2
=
2 ( a2 − b2 )
5
=
−b ( a + b )
(a
2
−b
2
)
=
−b
a −b
=
a
a+b
ր
ց
=
a (a − b)
(a
2
− b2 )
8.
Se a = b
Se a = −b ≠ 0
In sintesi
L’equazione è priva di senso
L’equazione si abbassa di grado. L’unica
soluzione è:
x=
Se a ≠ ±b
1
2
L’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte: x1 =
−b
a
, x2
a−b
a+b
Risolvi le seguenti equazioni:
 x  x  x − a
 + 1 − 1 =
 a  a  a − 1
a2 + 1
2 2
• ( a − 1) x + 1 = 2 x
a +1
• ab ( x − 1)( x + 1) − 2a ( ax − 3b ) = b ( 3bx − a )
•
Equazione di II grado fratta
Per risolverla si devono seguire i seguenti passi:
1. Scomporre i denominatori;
2. Determinare i valori di x che annullano i denominatori e scrivere le
condizioni di accettabilità eliminando tali valori.
3. Determinare il minimo comun denominatore;
4. Ridurre entrambi i membri dell’equazione al denominatore comune;
5. Togliere il denominatore;
6. Ridurre l’equazione in forma normale;
6
7. Risolvere l’equazione;
8. Stabilire se le soluzioni trovate sono accettabili.
Esempio
•
2x2
3x
4x + 1
+
=
2
x − 2x − 3 6 − 2x 6x + 6
2x2
3x
4x + 1
1.
+
=
( x − 3)( x + 1) 2 ( 3 − x ) 6 ( x + 1)
2x2
3x
4x + 1
−
=
( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3) 6 ( x + 1)
2. C.A. x ≠ 3 ∧ x ≠ −1
3. m.c.d . = 6 ( x − 3)( x + 1)
12 x 2 − 9 x ( x + 1) ( 4 x + 1)( x − 3)
=
4.
6 ( x − 3)( x + 1) 6 ( x − 3)( x + 1)
12 x 2 − 9 x 2 − 9 x 4 x 2 − 12 x + x − 3
=
6 ( x − 3)( x + 1)
6 ( x − 3)( x + 1)
5. 12 x − 9 x − 9 x = 4 x − 12 x + x − 3
2
6. x − 2 x − 3 = 0
2
2
2
x=3
7.
ր
∆
=1+ 3 = 4 ; x =1± 2 =
ց
4
x = −1
8. Entrambe le
impossibile.
soluzioni
non sono
accettabili,
dunque
l’equazione
è
Risolvi le seguenti equazioni:
4
3
x+
24
3+
2+
=0
2
3
4 6 x − 17 x + 12
x−
x−
2
3
x+
•
•
( x − 2 6 )( x + 2 6 ) + 2 x =
2x + 2 − 2
2
7
Equazione di II grado fratta letterale
Per risolverla si devono seguire i seguenti passi:
1. Determinare i valori del parametro, se esistono, per cui si annulla qualcuno
dei denominatori e concludere che per tali valori l’equazione è priva di
senso.
2. Supporre il parametro diverso dai valori trovati nel passo precedente e
scomporre i denominatori;
3. Supporre il parametro diverso dai valori trovati nel passo 1, determinare i
valori di x che annullano i denominatori e scrivere le condizioni di
accettabilità eliminando tali valori;
4. Determinare il minimo comun denominatore;
5. Ridurre entrambi i membri dell’equazione al denominatore comune;
6. Togliere il denominatore;
7. Supporre il parametro diverso dai valori trovati nel passo 1 e ridurre
l’equazione in forma normale;
8. Risolvere l’equazione letterale intera ottenuta;
9. Stabilire se le soluzioni trovate sono accettabili (se le soluzioni trovate
sono letterali, occorre determinare, e quindi scartare, i valori del
parametro, se esistono, per cui le soluzioni sono non accettabili).
10. Sintetizzare i risultati ottenuti in una tabella del tipo:
In sintesi
Se
L’equazione è priva di senso
Se
L’equazione
ammette
come
unica
soluzione:
Se
L’equazione è impossibile
Se
L’equazione ammette due soluzioni reali e
coincidenti:
Se
L’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte:
ATTENZIONE: Se nell’equazione compaiono più parametri, si procede allo stesso
modo.
Esempi
•
x2 + a2
a
9a
5
−
+
=
2
2
x + ax − 2a
x − a x + 2a 2
1. Non ci sono valori del parametro che rendono priva di senso l’equazione;
x2 + a2
a
9a
5
2.
−
+
= ;
( x + 2a )( x − a ) x − a x + 2a 2
3. C.A. x ≠ −2a ∧ x ≠ a ;
4. m.c.d . = 2 ( x + 2a )( x − a ) ;
8
2 x 2 + 2a 2 − 2a ( x + 2a ) + 18a ( x − a ) 5 ( x + 2a )( x − a )
5.
=
;
2 ( x + 2a )( x − a )
2 ( x + 2a )( x − a )
6. 2 x + 2a − 2a ( x + 2a ) + 18a ( x − a ) = 5 ( x + 2a )( x − a ) ;
2
2
7. 2 x + 2a − 2ax − 4a + 18ax − 18a = 5 x + 5ax − 10a ;
2
2
2
2
2
2
3 x 2 − 11ax + 10a 2 = 0 ;
8.
o ∆ = 121a − 120a = a ;
o Il discriminante non è mai negativo;
o Se a = 0 , il discriminante è nullo e l’equazione ammette due
soluzioni coincidenti con: x = 0 ;
o Se a > 0 , il discriminante è positivo e l’equazione ammette le due
2
2
soluzioni: x =
2
11a ± a ր
=
ց
6
5
a
3
2a
9. Se a = 0 l’equazione è impossibile perché le due soluzioni coincidenti con
x = 0 non sono accettabili.
Se a ≠ 0 , entrambe le soluzioni x =
5
a e x = 2a sono non nulle e dunque
3
accettabili.
10.
In sintesi
L’equazione è impossibile
L’equazione ammette le due soluzioni reali
Se a = 0
Se a ≠ 0
e distinte: x =
•
1.
2.
3.
4.
5
a e x = 2a
3
( x − b )( a − x ) = x + 3
x ( a + b)
b
Se b = 0 ∨ a = −b , l’equazione è priva di senso;
Supponiamo b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ;
C.A. x ≠ 0 ;
m.c.d . = b ( a + b ) x ;
b ( x − b )( a − x ) x 2 ( a + b ) + 3b ( a + b ) x
=
5.
;
b(a + b) x
b(a + b) x
6. b ( x − b )( a − x ) = x
2
( a + b ) + 3b ( a + b ) x ;
9
7. −bx + abx + b x − ab = x
2
2
2
2
( a + b ) + 3b ( a + b ) x
( a + 2b ) x 2 + 2b ( a + b ) x + ab 2 = 0
con b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ;
8.
o Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b e a = −2b , cioè se b ≠ 0 ∧ a = −2b , l’equazione si
abbassa di grado e diviene:
−2b 2 x − 2b3 = 0
Se b ≠ 0 ∧ a = −2b , il coefficiente di x non si annulla mai,
pertanto l’equazione ammette sempre la sola soluzione
x = −b .
o Supponiamo b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ∧ a ≠ −2b ,
∆
2
= b 2 ( a + b ) − ( a + 2b ) ab 2 = b 4
4
o Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ∧ a ≠ −2b , il discriminante non è mai negativo;
o Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ∧ a ≠ −2b , il discriminante non è mai nullo;
o Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ∧ a ≠ −2b , il discriminante è sempre positivo,
dunque l’equazione ammette le due soluzioni:
−b
x=
−b ( a + 2b ) ր
=
ց
a + 2b
−ab
a + 2b
9. Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b e a = −2b , la soluzione x = −b è accettabile perché
x = −b ≠ 0 ;
Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ∧ a ≠ −2b , la soluzione x = −b è accettabile perché
− ab
x = −b ≠ 0 , invece, la soluzione x =
è accettabile se
a + 2b
− ab
x=
≠ 0 , cioè se a ≠ 0 , ed è non accettabile se a = 0 .
a + 2b
10.
In sintesi
Se b = 0 ∨ a = −b
L’equazione è priva di senso
Se b ≠ 0 ∧ a = −2b
L’equazione
ammette
come
unica
soluzione: x = −b
Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ∧ a ≠ −2b ∧ a = 0 ⇒
L’equazione
ammette
come
unica
soluzione: x = −b
a =0∧b ≠0
Se b ≠ 0 ∧ a ≠ −b ∧ a ≠ −2b ∧ a ≠ 0
L’equazione ammette due soluzioni reali e
distinte: x = −b e x =
− ab
a + 2b
10
Risolvi le seguenti equazioni:
•
•
2a − x a 7 a − 4
+ =
x +1 x
6
x −b x −a a −b
−
=
x+a x+b
2a
Relazioni tra le soluzioni e i coefficienti di un’equazione di secondo
grado
L’equazione ax + bx + c = 0 , con a ≠ 0 , se ∆ ≥ 0 ammette due radici reali x1 e
2
x2 .
Si dimostra che:
x1 + x2 = −
b
a
e
x1 ⋅ x2 =
c
a
Esempio
Nell’equazione x − 5 x + 6 = 0 , che ammette come radici x = 2 e x = 3 :
2
2 + 3 = x1 + x2 = −
b
c
= 5 e 2 ⋅ 3 = x1 ⋅ x2 = = 6
a
a
Dalle formule che esprimono la somma e il prodotto delle radici si deduce che:
• Per determinare due numeri di cui è nota la somma s e il prodotto p ,
basta risolvere l’equazione x − sx + p = 0 .
2
•
L’equazione di secondo grado che ha come soluzioni due numeri assegnati
α e β è x 2 − (α + β ) x + αβ = 0
Esempi
• Per determinare, se esistono, due numeri che hanno somma 10 e prodotto
16, basta risolvere l’equazione x − 10 x + 16 = 0 . Le sue radici sono x = 2
e x =8.
2
•
L’equazione che ammette come radici i numeri x = 2 e x = −7 è
x 2 − ( 2 − 7 ) x + ( 2 )( −7 ) = 0 , ossia x 2 + 5 x − 14 = 0 .
La regola di Cartesio
Con questa regola, se un’equazione di secondo grado, ax + bx + c = 0 , ammette
soluzioni reali (ciò accade se ∆ ≥ 0 ), si possono determinare i segni delle
soluzioni senza risolvere l’equazione.
2
11
In particolare, a ogni variazione nei segni dei coefficienti corrisponde una
soluzione positiva e a ogni permanenza nei segni dei coefficienti corrisponde una
soluzione negativa. Inoltre, in caso di soluzioni discordi, se la variazione
precede la permanenza, la radice di valore assoluto maggiore è positiva, se
invece la permanenza precede la variazione, la radice di valore assoluto
maggiore è negativa.
Esempio
L’equazione x + 5 x − 14 = 0 ha ∆ = 25 + 96 = 121 > 0 , inoltre presenta,
nell’ordine, una permanenza e una variazione nei segni. Per la regola di Cartesio
si ha allora che l’equazione ammette due radici di segno opposto, di cui quella
con valore assoluto maggiore è negativa. (In effetti, l’equazione ammette le
radici x = 2 e x = −7 ).
2
Dopo aver verificato che la seguente equazione ammette radici reali, determina, senza
risolverla, la somma e il prodotto delle radici:
•
3x 2 − 9 x + 6 3 = 0
(
Trova due numeri che hanno somma s = 3 2 + 1 e prodotto p = 2 2 +
Scrivi l’equazione di secondo grado che ha come radici
)
2 .
1
2
e − .
2
3
Dopo aver verificato che la seguente equazione ammette radici reali, determina i segni
delle radici senza risolverla:
•
(
)
x2 + 1 + 3 x + 3 = 0
Sfruttando la regola di Cartesio, determina i valori di a per i quali le radici
dell’equazione x − 6 x + a − 2 sono entrambe positive.
2
Equazioni parametriche di II grado
Le equazioni parametriche sono equazioni in cui compare un parametro. Nelle
equazioni parametriche è richiesto di determinare per quali valori del
parametro si verificano delle condizioni assegnate.
Se la condizione assegnata non è espressa in termini algebrici, occorre tradurla.
Nella tabella seguente sono riportati esempi di condizioni e la loro traduzione in
termini algebrici:
Condizione
Traduzione in termini algebrici
Radici coincidenti
∆=0
12
Radici reali e distinte
Radici reali
Nessuna radice
La somma delle radici è …
∆>0
∆≥0
∆<0
x1 + x2 = −
b
=…
a
Le radici siano opposte
x1 + x2 = −
b
=0
a
c
=…
a
una
c
x1 ⋅ x2 = = 1
a
Il prodotto delle radici è…
Le
radici
siano
reciproca dell’altra
La somma dei reciproci è…
La somma dei
delle radici è…
quadrati
La somma dei cubi delle
radici è…
x1 ⋅ x2 =
b
1 1 x1 + x2
b
+ =
= a =−
c
x1 x2
x1 x2
c
a
−
x + x2 = ( x1 + x2 )
2
1
2
2
2
c
 b
− 2 x1 x2 =  −  − 2
a
 a
3
c b
 b
x + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) =  −  − 3  − 
a a
 a
La somma di una radice con
 x1 + 3 x2 = ...

il triplo dell’altra è…
Risolvere 
b in funzione di x1 e x2 , quindi
x
+
x
=
−
 1 2
a
c
imporre che x1 ⋅ x2 = .
a
Le radici siano entrambe  ∆ ≥ 0

positive
 x1 + x2 > 0
 xx >0
 1 2
Una delle radici è…
x1 = … (si deve sostituire il valore dato al posto della x
3
1
3
3
nell’equazione parametrica)
La somma dei quadrati dei
reciproci delle radici è…
2
c
 b
−  −2
2
2
2

1
1
x1 + x2
( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 =  a 
a
+
=
=
2
2
2
2
2 2
x1
x2
x1 x2
( x1 x2 )
c
 
a
13
La somma dei cubi dei
reciproci delle radici è…
1
1
x13 + x23 ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 )
+
= 3 3 =
=
3
x13 x23
x1 x2
( x1x2 )
3
3
c b
 b
−  −3 − 
a
a a
=
3
c
 
a
La differenza delle radici
 x1 − x2 = ...

è…
Risolvere 
b in funzione di x1 e x2 , quindi
x
+
x
=
−
 1 2
a
c
imporre che x1 ⋅ x2 = .
a
ATTENZIONE: Occorre sempre verificare che per i valori del parametro che
soddisfano le condizioni assegnate, l’equazione ammetta radici.
Esempio
Nell’equazione x +
2
Condizione
Le radici siano
coincidenti
2 ( a − 2 ) x + a 2 − 3a − 4 = 0 determinare a in modo che:
Soluzione
∆ = 0 ⇒ ∆ = 2 ( a − 2 ) − 4 ( a 2 − 3a − 4 ) = −2a 2 + 4a + 24 = 0
2
⇒ −a 2 + 2a + 12 = 0 ⇒ a = 1 ± 13
Le radici siano ∆ > 0 ⇒ 1 − 13 < a < 1 + 13
reali e distinte
Le radici siano
reali
L’equazione non
ammetta radici
La somma delle
radici sia
2
∆ ≥ 0 ⇒ 1 − 13 ≤ a ≤ 1 + 13
∆ < 0 ⇒ a > 1 + 13 ∨ a < 1 − 13
x1 + x2 = −
a=
Le radici siano
opposte
b
= − 2 ( a − 2) = 2
a
⇒
− 2a + 2 2 = 2 ⇒
− 2
= 1 (Valore accettabile perché ∆ ≥ 0 )
− 2
x1 + x2 = −
b
= − 2 ( a − 2 ) = 0 ⇒ a = 2 (Valore accettabile perché
a
∆ ≥ 0)
Il prodotto delle
radici sia −4
c
= a 2 − 3a − 4 = −4 ⇒ a 2 − 3a = 0 ⇒ a = 0 ; a = 3 (Valori
a
accettabili perché ∆ ≥ 0 )
x1 ⋅ x2 =
14
Le radici siano
c
3 ± 29
2
2
x
⋅
x
=
=
a
−
3
a
−
4
=
1
⇒
a
−
3
a
−
5
=
0
⇒
a
=
(Valori
1
2
una
reciproca
2
a
dell’altra
accettabili perché ∆ ≥ 0 )
La somma dei
b
−
1 x1 + x2
b − 2 ( a − 2)
reciproci
sia 1
a
− 2
x1
+
=
x2
=
x1 x2
c
a
=− = 2
=− 2 ⇒
c a − 3a − 4
a 2 − 4a − 2 = 0
con a ≠ 4 ∧ a ≠ −1
accettabili perché ∆ ≥ 0 )
La somma dei
quadrati
delle
radici sia 16
⇒
a =2± 6
(Valori
2
c
 b
x + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 =  −  − 2 = 16 ⇒
a
 a
2
2 ( a − 2 ) − 2 ( a 2 − 3a − 4 ) = 16 ⇒ −2a + 16 = 16 ⇒ a = 0 (Valore
2
1
2
2
accettabile perché ∆ ≥ 0 )
La somma dei
cubi delle radici
sia 20 2
3
c b
 b
x + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) =  −  − 3  −  =
a a
 a
3
= 20 2 ⇒ −2 2 ( a − 2 ) − 3 ( a 2 − 3a − 4 )  − 2 ( a − 2 )  = 20 2
⇒ 2 ( a 3 − 3a 2 − 18a + 40 ) = 20 2 ⇒ 2 ( a 3 − 3a 2 − 18a + 20 ) = 0
3
1
3
3
⇒ 2 ( a − 1) ( a 2 − 2a − 20 ) = 0 ⇒ a = 1 ± 21 , a = 1 ⇒ L’unico
valore accettabile è a = 1 .

x1 + 3 x2 = 2 2
 x1 = −2 2a + 2 2

⇒
Pertanto:


b
+
=
−
=
−
2
−
2
x
x
a
(
)
x
=
2
a

 1 2
2
a

sia 2 2
c
−2 2a + 2 2 2a = x1 ⋅ x2 = = a 2 − 3a − 4 ⇒ 5a 2 − 7 a − 4 = 0
a
7 ± 129
⇒a=
(Valori accettabili perché ∆ ≥ 0 )
10
Le radici siano  ∆ ≥ 0
∆≥0

1 − 13 ≤ a ≤ 1 + 13



entrambe
x1 + x2 > 0 ⇒ − 2 ( a − 2 ) > 0 ⇒ 
a<2
⇒

positive
 xx >0
 a 2 − 3a − 4 > 0
 a > 4 ∨ a < −1
 1 2


La somma di una
radice con il
triplo dell’altra
(
)
1 − 13 ≤ a < −1
Una delle radici
sia
2
x1 = 2 ⇒
( 2)
2
+ 2 ( a − 2 ) 2 + a 2 − 3a − 4 = 0 ⇒
a 2 − a − 6 = 0 ⇒ a = 3 e a = −2 (Valori accettabili perché ∆ ≥ 0 )
15
2
La somma dei
quadrati
dei
reciproci delle
radici sia 0
c
 b
−  −2
2
2
2

x +x
1
1
( x + x ) − 2 x1x2 =  a 
a
+ 2 = 1 2 22 = 1 2
=0
2
2
2
x1
x2
x1 x2
x
x
c
( 1 2)
 
 
a
 − 2 ( a − 2 )  − 2 ( a 2 − 3a − 4 )
2 ( −a + 8 )


=
0
⇒
=0⇒
2
2
2
2
a
−
3
a
−
4
a
−
3
a
−
4
(
)
(
)
2
2 ( − a + 8 ) = 0 con a ≠ 4 ∧ a ≠ −1 ⇒ a = 8 non accettabile! ⇒ per
nessun valore di a
La somma dei
cubi
dei
reciproci delle
1
1
x13 + x23 ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 )
+
= 3 3 =
=
3
x13 x23
x1 x2
( x1x2 )
radici sia 40 2
c b
 b
−  −3 − 
a
a a
=
= 40 2 ⇒
3
c
 
a
3
3
 − 2 ( a − 2 )  − 3 ( a 2 − 3a − 4 )  − 2 ( a − 2 ) 



 = 40 2 ⇒
3
2
( a − 3a − 4 )
3
2a ( a 2 − 3a − 18 ) = 0 con a ≠ 4 ∧ a ≠ −1 ⇒ a = 6, a = −3, a = 0 ⇒
L’unico valore accettabile è a = 0

2

a
x1 − x2 = −2 2
 x1 = −

2
⇒
Pertanto:

b
x
+
x
=
−
=
−
2
a
−
2
(
)
2
x = −
 1 2
a+2 2
a

 2
2


2 
2
c
a  −
a + 2 2  = x1 ⋅ x2 = = a 2 − 3a − 4
−
a
 2  2

1
⇒ a 2 − a − 4 = 0 ⇒ a = 4 e a = −2 (Valori accettabili perché
2
∆ ≥ 0)
La
differenza
delle radici sia
−2 2
Nell’equazione kx − 2 ( k − 1) x − k = 0 determina k in modo che:
2
•
•
•
•
l'equazione ammetta radici reali;
le radici siano opposte;
una radice sia uguale a 2;
il prodotto delle radici sia -1;
16
•
la somma delle radici sia 2.
Nell’equazione x − 2 ( b − 1) x + b + 5 = 0 determina b in modo che:
2
•
•
•
Nell’equazione x
•
•
•
•
le radici siano coincidenti;
l’equazione non ammetta radici;
le radici siano reciproche.
2
− 6 x + k − 2 = 0 determina k in modo che:
le radici siano reali e distinte;
la somma dei quadrati delle radici sia 20;
la somma dei cubi delle radici sia 126;
le radici siano entrambe positive.
Nell’equazione x − ( k + 1) x + k = 0 determina k in modo che:
2
•
•
la somma dei reciproci sia 4;
la somma di una radice con il triplo dell’altra sia 3;
•
la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia
•
•
la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 28;
la differenza delle radici sia 5.
5
;
4
Equazioni di grado superiore al II
Equazioni binomie
Si dicono binomie le equazioni riducibili alla forma:
x n = a con a ∈ IR , n ∈ N 0
Per risolvere le equazioni binomie si devono distinguere due casi:
I. n è pari ⇒ se a ≥ 0 , x = ± n a ; se a < 0 l’equazione è impossibile.
II. n è dispari ⇒ x =
n
a
Esempi
x 5 = −1 ⇒ x = 5 −1 = −1
x 4 = 16 ⇒ x = ± 4 16 = ±2
x 6 = −1 ⇒ impossibile
Equazioni risolubili mediante scomposizioni in fattori
Dopo aver ridotto l’equazione in forma normale, se il primo membro si può
scomporre in fattori, si può risolvere l’equazione data applicando la legge di
annullamento del prodotto, come già visto nel caso delle equazioni spurie.
17
Esempio
L’equazione 3 x − 4 x − 7 x + 4 x + 4 = 0 è equivalente all’equazione:
4
3
2
( x − 1)( x + 1)( x − 2 )( 3x + 2 ) = 0
Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene:
x −1 = 0 ⇒ x =1
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
( x − 1)( x + 1)( x − 2 )( 3x + 2 ) = 0 ⇒ x − 2 = 0 ⇒ x = 2
2
3x + 2 = 0 ⇒ x = −
3
Risolvi le seguenti equazioni
2 x 3 + 54 = 0
4
• 16 x + 81 = 0
128 x 6 − 2 = 0
3
• x−x =0
•
•
•
•
x4 − 4 x2 = 0
x3 − 3x 2 − x + 3 = 0
Equazioni risolubili mediante sostituzioni
Molte equazioni di grado superiore al secondo si possono risolvere mediante
un’opportuna sostituzione dell’incognita.
Esempio
(
)
L’equazione 2 x − 1
2
2
− 3 ( 2 x 2 − 1) − 4 = 0 , posto 2 x 2 − 1 = y , diviene:
−1
y 2 − 3 y − 4 = 0 , da cui si ricava y =
3 ± 9 + 16 3 ± 5 ր
=
=
ց
2
2
4
Pertanto, ricordando che 2 x − 1 = y , si ha:
2
2 x 2 − 1 = −1 ⇒ x 2 = 0 ⇒ x = 0 (2 volte)
5
5
2 x2 − 1 = 4 ⇒ x2 = ⇒ x = ±
2
2
Equazioni biquadratiche
Si dicono biquadratiche le equazioni riducibili alla forma:
ax 4 + bx 2 + c = 0
Si tratta di equazioni risolubili mediante la sostituzione y = x .
2
Esempio
L’equazione 9 x − 82 x + 9 = 0 , posto x = y , diviene:
4
2
2
18
9 y 2 − 82 y + 9 = 0 , da cui si ricava y =
41 ± 412 − 81 41 ± 40 ր
=
=
ց
9
9
1
9
9
Pertanto, ricordando che x = y , si ha:
2
1
1
⇒x=±
9
3
2
x = 9 ⇒ x = ±3
x2 =
Equazioni trinomie
Si dicono trinomie le equazioni riducibili alla forma:
ax 2 n + bx n + c = 0 con n ∈ N 0
Si tratta di equazioni risolubili mediante la sostituzione y = x .
n
Esempio
L’equazione x − 31x − 32 = 0 , posto x = y , diviene:
10
5
5
−1
31 ± 312 + 4 ⋅ 32 31 ± 33 ր
y − 31 y − 32 = 0 , da cui si ricava y =
=
=
ց
2
2
2
32
Pertanto, ricordando che x = y , si ha:
5
x 5 = −1 ⇒ x = 5 −1 = −1
x 5 = 32 ⇒ x = 5 32 = 2
Equazioni reciproche
Si dicono reciproche le equazioni che, scritte in forma normale, hanno i
coefficienti dei termini estremi e dei termini equidistanti dagli estremi o uguali
(equazioni reciproche di prima specie) oppure opposti (equazioni reciproche di
seconda specie).
Esempi
4 x 5 − 7 x 4 + x3 + x 2 − 7 x + 4 = 0 (I specie)
x 3 − 6 x 2 + 6 x − 1 = 0 (II specie)
Se un’equazione reciproca ammette una radice, allora ammette anche la sua
reciproca.
Le equazioni reciproche di grado dispari di I specie hanno come radice -1,
mentre, le equazioni reciproche di grado dispari di II specie hanno come radice
19
1. Quindi, mediante la regola di Ruffini possono essere ricondotte a due
equazioni di grado minore.
Esempio
L’equazione 2 x − 7 x + 7 x − 2 = 0 è di grado dispari di II specie, quindi ha
come radice 1. Mediante la regola di Ruffini si ottiene:
3
2
x −1 = 0
2 x 3 − 7 x 2 + 7 x − 2 = ( x − 1) ( 2 x 2 − 5 x + 2 ) = 0 ⇒
ր
ց
2 x2 − 5x + 2 = 0
⇒ x = 1, x = 2, x
1
2
Le equazioni reciproche di grado pari di II specie hanno sempre come radici +1
e -1, quindi, mediante la regola di Ruffini possono essere ricondotte a tre
equazioni di grado minore.
Attenzione: Una tal equazione è sempre incompleta perché il coefficiente del
termine centrale è zero, dovendo essere uguale al suo opposto.
Esempio
L’equazione 4 x − 3 x + 3 x − 4 = 0 è di grado pari di II specie, quindi ha come
radici +1 e -1. Mediante la regola di Ruffini si ottiene:
4
3
x −1 = 0
ր
4 x − 3 x + 3 x − 4 = 0 = ( x − 1)( x + 1) ( 4 x − 3 x + 4 ) = 0 ⇒ →
4
3
2
x +1= 0
ց
4 x 2 − 3x + 4 = 0
⇒ x = 1, x = −1
20
Le equazioni reciproche di grado pari di I specie non hanno radici fisse.
Tuttavia, è possibile risolvere le equazioni reciproche di quarto grado di I
specie on il seguente procedimento:
2
1. dividere tutti i termini per x (operazione possibile perché zero non è
una radice dell’equazione);
2. raccogliere i fattori numerici comuni a più termini;
3. porre y = x +
1
;
x
4. elevare ambo i membri dell’uguaglianza precedente: y = x +
2
⇒ y 2 − 2 = x2 +
2
1
+2
x2
1
;
x2
5. sostituire, nell’equazione ottenuta al passo 2, le espressioni di y e
y2 − 2 ;
6. risolvere l’equazione in y ;
7. determinare le radici dell’equazione in x , ricordando che y = x +
1
.
x
Esempio
18 x 4 − 21x3 − 94 x 2 − 21x + 18 = 0
1
1
2
1. 18 x − 21x − 94 − 21 + 18 2 = 0 ;
x
x
1
 2 1 

2. 18  x + 2  − 21 x +
 − 94 = 0
x 
x 


1
3. Posto y = x + ;
x
1
1
2
2
2
2
4. y = x + 2 + 2 ⇒ y − 2 = x + 2 ;
x
x
2
5. 18 ( y − 2 ) − 21 y − 94 = 0
−
6. 18 y − 21 y − 130 = 0 ⇒ y =
2
13
6
21 ± 212 + 4 ⋅ 18 ⋅ 130 21 ± 99 ր
=
=
ց
36
36
10
3
21
7. x +
−
3
2
−
2
3
1
13
−13 ± 5 ր
= − ⇒ 6 x 2 + 13 x + 6 = 0 ⇒
=
ց
x
6
12
3
x+
1 10
5± 4 ր
= ⇒ 3 x 2 − 10 x + 3 = 0 ⇒
=
ց
x 3
3
1
3
Risolvi le seguenti equazioni
•
( 3 − x ) x − 10 ( 4 x 2 − 1) = (1 − 2 x 2 )( 3x 2 + 1) + x ( x3 + 4 x + 3)
•
(2x
•
•
•
•
2
− 5 x + 1) + ( 2 x 2 − 5 x + 1) − 2 = 0
2
x8 + 15 x 4 − 16 = 0
2 x3 − 5x 2 − 5x + 2 = 0
6 x 4 − 35 x3 + 62 x 2 − 35 x + 6 = 0
4 x 4 − 17 x 3 + 17 x − 4 = 0
22