a.a. 2015/2016
Laurea triennale in Fisica
Analisi Matematica III
Equazioni differenziali
Nota: questo file differisce da quello proiettato
in aula per la sola impaginazione.
Terminologia e notazioni
• Equazione differenziale:
l’incognita è una funzione di una o più variabili;
relazione tra le variabili, la funzione e alcune delle sue derivate
• Ordine . . .
• Equazione differenziale ordinaria:
l’incognita è una funzione di una variabile reale
(altrimenti: equazione differenziale alle derivate parziali)
• Equazione differenziale in forma generale:
F (t, x, x 0 , . . . , x (n) ) = 0, con F : Ω ⊆ R × Rn+1 → R e n ∈ N∗
Esempio:
F (t, x1 , x2 ) = t 3 − x1 + cos(x2 ), Ω = R × R2
−→
t 3 − x + cos(x 0 ) = 0
1
• Soluzione (locale) di una equazione in forma generale:
coppia (ϕ, I), con ϕ funzione e I intervallo tali che
• ϕ è derivabile n volte in I
t, ϕ(t), ϕ0 (t), . . . , ϕ(n) (t) ∈ Ω
• per ogni t ∈ I : F t, ϕ(t), ϕ0 (t), . . . , ϕ(n) (t) = 0
• per ogni t ∈ I :
Esempio:
sin(t + c), R è soluzione dell’equazione x 2 + x 02 − 1 = 0
equazione autonoma
(non dipende esplicitamente da t )
Osservazione
L’intervallo è parte della soluzione.
Esempio:
sin(t), (0, π) è soluzione dell’equazione x|x| + x 02 − 1 = 0,
sin(t), (−π, 0) non lo è.
2
• Equazione differenziale in forma normale:
x (n) = f (t, x, x 0 , . . . , x (n−1) ), con f : Ω ⊆ R × Rn → R e n ∈ N∗
Esempio:
−→
q
1 − x12 , Ω = R × [−1, 1]
√
x0 = 1 − x2
(equazione autonoma in forma normale)
f (t, x1 ) =
• Soluzione (locale) di una equazione in forma normale:
coppia (ϕ, I), con ϕ funzione e I intervallo tali che
• ϕ è derivabile n volte in I
• per ogni t ∈ I :
t, ϕ(t), ϕ0 (t), . . . , ϕ(n−1) (t) ∈ Ω
• per ogni t ∈ I : ϕ(n) (t) = f t, ϕ(t), ϕ0 (t), . . . , ϕ(n−1) (t)
3
• Sistemi di equazioni differenziali in forma normale:
m equazioni di ordine arbitrario, in ciascuna delle quali compaiono
m funzioni incognite. Soluzione?
Esempi: moto nello spazio di un corpo soggetto a una forza esterna,
sistema preda-predatore
Osservazione
Una equazione in forma normale di ordine n è equivalente a un sistema
di n equazioni del primo ordine. Esplicitare . . .
Conseguenza: possiamo limitarci a considerare sistemi di equazioni
differenziali di ordine 1.
4
• Sistema di equazioni differenziali di ordine 1:
x10 = f1 (t, x1 , . . . , xn )
x 0 = f2 (t, x1 , . . . , xn )
2
.
..
x 0 = f (t, x , . . . , x )
n
1
n
n
con fi : Ω ⊆ R × Rn → R,
per i ∈ {1, . . . , n}
• Forma vettoriale:
x 0 = f (t, x) con f : Ω ⊆ R × Rn → Rn .
Soluzione?
• Problema di Cauchy:
Sia f : Ω ⊆ R × Rn → Rn e sia (t0 , x0 ) ∈ Ω.
(
x 0 = f (t, x)
x(t0 ) = x0
“condizione iniziale”
Soluzione? Problema di Cauchy per equazioni di ordine n ?
5
Esistenza e unicità locale per problemi di Cauchy
Esempi introduttivi
• Sia x0 ∈ R e sia f : R → R definita ponendo f (x) = 1 per x ≤ x0 ,
f (x) = 0 per x > x0 . Il problema di Cauchy
x 0 = f (x),
non ha soluzione.
x(0) = x0
Comportamento di f in x0 ?
• Il problema di Cauchy
x 0 = 3 x 2/3 ,
ha infinite soluzioni.
x(0) = 0
Comportamento di f in x = 0 ?
Osservazione
Soluzioni ottenute “incollando” due soluzioni . . .
6
Preliminari al teorema di esistenza e unicità locale
Sia Ω ⊆ R × Rn e sia f : Ω → Rn .
Diciamo che f è Lipschitziana rispetto a x (uniformemente in t )
se esiste L ∈ (0, +∞) tale che
kf (t, x) − f (t, y )k ≤ Lkx − y k
per ogni (t, x) ∈ Ω e (t, y ) ∈ Ω.
Osservazione
Sia Ω un insieme convesso. Condizione sufficiente affinché f sia
Lipschitziana rispetto a x è che f sia derivabile parzialmente rispetto
alle variabili x1 , . . . , xn con derivate parziali continue e limitate.
7
Diciamo che f = f (t, x) è localmente Lipschitziana rispetto a x in Ω
se è Lipschitziana rispetto a x in ogni sottoinsieme di Ω del tipo J × B ,
con J intervallo chiuso e limitato di R e B palla chiusa di Rn .
Condizione sufficiente per la locale Lipschitzianità?
Osservazione
La funzione x 7→ x α , con α ∈ (0, 1), non è lipschitziana in alcun intorno
di x = 0.
8
Lemma di Gronwall
Sia I ⊆ R un intervallo e siano u, v : I → R+ funzioni continue.
Sia c ∈ R+ . Fissato a ∈ I , supponiamo
Z t
u(s)v (s)ds per ogni t ∈ I .
v (t) ≤ c + a
Allora:
v (t) ≤ c e |
Rt
a
u(s)ds |
per ogni t ∈ I .
Dimostrazione . . .
9
Due disuguaglianze che verranno usate ripetutamente
• Sia I ⊆ R un intervallo e siano u, v : I → R funzioni continue
tali che 0 ≤ u(t) ≤ v (t) per ogni t ∈ I .
Per ogni a, b ∈ I si ha:
Z b
Z b
v (t)dt .
u(t)dt ≤ a
a
• Sia I ⊆ R un intervallo. Sia v : I → Rn localmente integrabile.
Per ogni a, b ∈ I si ha:
Z b
Z
≤
v
(t)dt
a
a
b
kv (t)kdt .
10
Teorema (esistenza e unicità locale)
{x ∈ Rn | kx − x0 k ≤ b}
Sia (t0 , x0 ) ∈ R × Rn .
↓
Siano a, b ∈ (0, +∞) e sia C := [t0 − a, t0 + a] × B b (x0 ).
Sia f : C → Rn continua e Lipschitziana rispetto a x in C .
Allora: esiste δ ∈ (0, +∞) tale che il problema di Cauchy
x 0 = f (t, x),
x(t0 ) = x0
ha una e una sola soluzione nell’intervallo [t0 − δ, t0 + δ].
Soluzioni in avanti / all’indietro . . .
Dimostrazione . . .
1 definizione di δ
2 equivalenza con equazione integrale
3 costruzione di soluzioni approssimate
4 passaggio al limite
5 esistenza di una soluzione
6 unicità
11
Osservazione (unicità globale)
Sia Ω ⊆ R × Rn un insieme aperto.
Sia f : Ω → Rn continua e localmente Lipschitziana rispetto a x .
Siano ϕ : I → Rn e ψ : J → Rn soluzioni dell’equazione
x 0 = f (t, x).
Supponiamo che esista t̄ ∈ I ∩ J tale che ϕ(t̄) = ψ(t̄).
Allora: ϕ(t) = ψ(t) per ogni t ∈ I ∩ J .
Verifica . . .
12
Osservazione (regolarità delle soluzioni)
Sia Ω ⊆ R × Rn e sia f : Ω → Rn .
Supponiamo che f sia di classe C k in Ω (k ∈ N).
Allora:
ciascuna soluzione dell’equazione x 0 = f (t, x) è di classe C k+1
nel proprio intervallo di definizione. Motivare . . .
f di classe C ∞ ; f analitica . . .
Equazioni di ordine superiore . . .
13
Dipendenza continua dai dati
Posizione del problema
Siano Ω ⊆ R × Rn , f ∈ C (Ω, R n ), (t̄, x̄) ∈ Ω.
Siano date:
• {tk } ⊂ R tale che tk → t̄ ;
• {xk } ⊂ Rn tale che xk → x̄ ;
• {fk } ⊂ C (Ω, Rn ) tale che fk → f in Ω.
Supponiamo che il problema di Cauchy
( P̄)
x 0 = f (t, x),
x(t̄) = x̄
e ciascuno dei problemi di Cauchy
(Pk )
x 0 = fk (t, x),
x(tk ) = xk
abbia un’unica soluzione.
Possiamo dire che la successione delle soluzioni di (Pk ) converge
in qualche senso alla soluzione di ( P̄)?
14
Teorema
Con le notazioni introdotte, assumiamo le seguenti ipotesi:
• la successione {fk } converge a f uniformemente sui sottoinsiemi
compatti di Ω;
• per ogni Ω0 ⊂ Ω compatto esiste L ∈ (0, +∞) tale che ciascuna
funzione fk è Lipschitziana rispetto a x in Ω0 con costante di
Lipschitz L. (Nota: anche f lo è.)
Sia ϕ l’unica soluzione di ( P̄), definita in (α, β).
Sia [a, b] ⊆ (α, β) con t̄ ∈ (a, b). Allora:
1
2
3
per k ∈ N sufficientemente grande, l’intervallo di definizione di ϕk ,
unica soluzione del problema di Cauchy (Pk ), contiene [a, b];
esiste un sottoinsieme compatto di Ω che contiene il grafico di ϕ|[a,b]
e il grafico di ϕk |[a,b] , per k ∈ N sufficientemente grande;
la successione {ϕk } converge a ϕ uniformemente in [a, b].
Dimostrazione di
3
...
Cosa si può dire in intervalli illimitati?
15
Prolungamenti e soluzioni massimali
Sia Ω ⊆ R × Rn e sia f : Ω → Rn .
Siano ϕ : I → Rn e ψ : J → Rn soluzioni dell’equazione x 0 = f (t, x).
Diciamo che ψ è un prolungamento di ϕ se
• I⊂J,
• per ogni t ∈ I : ψ(t) = ϕ(t).
Osservazione
In ipotesi di esistenza e unicità locale, è sufficiente verificare che
le due soluzioni coincidano in un punto di I .
In particolare, due soluzioni di un medesimo problema di Cauchy
con domini confrontabili sono una il prolungamento dell’altra.
16
Diciamo che una soluzione dell’equazione x 0 = f (t, x) è massimale
se non ammette nessun prolungamento.
Teorema
In ipotesi di esistenza e unicità locale, ogni soluzione dell’equazione
x 0 = f (t, x) ammette un prolungamento massimale.
Come si fa a stabilire se una soluzione è massimale?
17
Proposizione
Sia Ω ⊆ R × Rn . Sia f : Ω → Rn continua e localmente Lipschitziana
rispetto a x .
Sia ϕ : (a, b) → Rn soluzione di x 0 = f (t, x). Supponiamo:
1 b ∈ R;
(analogo risultato vale per l’estremo a )
2
esiste lim ϕ(t) = ξ ;
3
(b, ξ) è punto interno di Ω.
t→b −
Allora: ϕ è prolungabile a destra di b .
Dimostrazione . . .
Osservazione
Nella proposizione possiamo sostituire l’ipotesi
2’
2
con
esiste una successione crescente {tk } tale che
tk → b e ϕ(tk ) → ξ .
Ipotesi sostitutiva per l’estremo a ?
18
Teorema
Sia Ω ⊆ R × Rn .
Sia f : Ω → Rn continua e localmente Lipschitziana rispetto a x .
Sia ϕ : (a, b) → Rn soluzione di x 0 = f (t, x).
Sia b ∈ R estremo massimale.
Allora: per ogni insieme compatto K contenuto nell’interno di Ω
esiste δ ∈ (0, +∞) tale che per ogni t ∈ (b − δ, b): t, ϕ(t) ∈
/ K.
Dimostrazione . . .
Analogo risultato vale per l’estremo a .
Significato? Non è detto che le soluzioni “tendano a un punto del bordo”. . .
19
Osservazione
Sia Ω ⊆ R × Rn .
Sia f : Ω → Rn continua e localmente Lipschitziana rispetto a x .
Sia ϕ : (a, b) → Rn soluzione dell’equazione x 0 = f (t, x).
In base al teorema precedente:
se esiste U intorno sinistro di b tale che il grafico di ϕ|U sia contenuto
in un compatto K ⊂ Ω̊, allora b non è estremo massimale.
(Analogamente per a .)
Caso particolare:
Ω := I × Rn , con I ⊆ R intervallo di primo estremo α e secondo
estremo β .
Se b < β e in un intorno sinistro di b la soluzione ϕ è limitata,
allora b non è estremo massimale. (Analogamente per a .)
Interpretazione per equazioni di ordine 1, 2, 3 ?
20
Soluzioni globali in un dominio di tipo “striscia”
Siano I ⊆ R un intervallo, Ω := I × Rn , f : Ω → Rn .
Diciamo che f è sublineare in Ω se esistono p, q : I → R+ funzioni
continue tali che
kf (t, x)k ≤ p(t) + q(t) kxk
∀(t, x) ∈ Ω.
Significato? Esempi?
21
Teorema (globalità delle soluzioni massimali)
Siano I ⊆ R un intervallo, Ω := I × Rn , f : Ω → Rn .
Supponiamo che f sia continua, localmente Lipschitziana rispetto a x
(uniformemente in t ), e sublineare.
Allora: ogni soluzione massimale dell’equazione
x 0 = f (t, x)
è globale, cioè definita in I .
Dimostrazione . . .
Corollario (esistenza e unicità globale)
Con le notazioni e nelle ipotesi del teorema precedente:
per ogni (t0 , x0 ) ∈ Ω, il problema di Cauchy
x 0 = f (t, x),
x(t0 ) = x0
ammette una e una sola soluzione definita in I .
22
Condizioni sufficienti per la sublinearità
Siano I ⊆ R un intervallo, Ω := I × Rn , f : Ω → Rn .
• Se f è limitata, allora f è sublineare.
• Se f (t, x) = g (t)h(x) con g continua e h limitata,
allora f è sublineare.
• Se t ∈ I 7→ f (t, 0) è continua e f è Lipschitziana rispetto a x ,
allora f è sublineare.
23
Sistemi lineari
Sia I un intervallo; per i, j ∈ {1, . . . , n} siano aij , bi : I → R.
• Forma scalare:
x10 = a11 (t) x1 + a12 (t) x2 + . . . + a1n (t) xn + b1 (t)
x 0 = a (t) x + a (t) x + . . . + a (t) x + b (t)
21
1
22
2
2n
n
2
2
.
..
0
xn = an1 (t) x1 + an2 (t) x2 + . . . + ann (t) xn + bn (t)
• Forma vettoriale: x 0 = A(t) x + B(t)
A = A(t) matrice quadrata n×n di componenti aij
B = B(t) vettore colonna a n righe di componenti bi
• Terminologia:
integrale generale e integrale particolare . . .
sistema omogeneo e sistema completo . . .
sistema omogeneo associato a un sistema completo . . .
24
Teorema (struttura dell’integrale generale)
Sia I ⊆ R un intervallo. Per i, j ∈ {1, . . . , n} siano aij , bi ∈ C (I, R).
Sia A = A(t) la matrice di componenti aij .
Sia B = B(t) il vettore di componenti bi .
Sia V l’integrale generale del sistema completo x 0 = A(t) x + B(t).
Sia V0 l’integrale generale del sistema omogeneo associato.
Allora:
1
V e V0 sono sottoinsiemi di C 1 (I, Rn );
2
V0 è un sottospazio vettoriale di C 1 (I, Rn ) di dimensione n ;
3
V è un sottospazio affine di C 1 (I, Rn ).
Precisamente: denotato con xp un qualsiasi integrale particolare
del sistema completo, si ha V = V0 + xp .
Dimostrazione . . .
Come si determina V0 ? E xp ?
25
Determinare l’integrale generale di un sistema omogeneo equivale
a determinare n soluzioni linearmente indipendenti del sistema
(“sistema fondamentale di soluzioni”).
Come si stabilisce la lineare indipendenza delle soluzioni?
Dall’algebra lineare: caratterizzazione della lineare indipendenza di vettori . . .
• Matrice Wronskiana di n soluzioni . . .
• Determinante Wronskiano di n soluzioni . . .
Osservazione
Siano ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn soluzioni del sistema x 0 = A(t)x , con A = A(t)
matrice di funzioni continue nell’intervallo I .
• La matrice Wronskiana corrispondente risolve l’equazione differenziale
matriciale W 0 = A(t)W .
• Il determinante Wronskiano corrispondente risolve l’equazione
differenziale w 0 = tr(A(t))w . (“equazione di Liouville”)
26
Teorema (caratterizzazione della lineare indipendenza)
Siano ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn soluzioni del sistema x 0 = A(t)x ,
con A = A(t) matrice di funzioni continue nell’intervallo I .
Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
(a) ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn sono soluzioni linearmente indipendenti;
(b) w (t) 6= 0 per ogni t ∈ I ;
(b) ⇔ (c) segue dalla
equazione di Liouville
(c) esiste t̄ ∈ I tale che w (t̄) 6= 0.
Dimostrazione . . .
Esempio
Verificare che ϕ(t) =
!
t
e ψ(t) =
1
t2
2t
linearmente indipendenti del sistema x 0 =
!
sono soluzioni
!
0
1
x.
−2/t 2 2/t
27
Osservazione
Siano ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn soluzioni linearmente indipendenti del sistema
x 0 = A(t)x , con A = A(t) matrice di funzioni continue nell’intervallo I ,
e sia W = W (t) la matrice Wronskiana corrispondente.
L’integrale generale del sistema è W (t)c , con c ∈ Rn .
Esempio
Scrivere l’integrale generale del sistema x 0 =
0
1
2
−2/t 2/t
!
x.
Nota
Se esiste t0 ∈ I tale che W (t0 ) è la matrice identica, allora W viene
detta matrice di transizione. Motivazione . . .
28
Determinazione di un integrale particolare del sistema completo
Principio di sovrapposizione
ϕ1 soluzione di x 0 = A(t) x + B1 (t)
ϕ2 soluzione di x 0 = A(t) x + B2 (t)
=⇒
ϕ1 + ϕ2 soluzione di x 0 = A(t) x + B1 (t) + B2 (t)
Metodo di Lagrange di variazione delle costanti
Supponiamo di aver determinato un sistema fondamentale di soluzioni;
sia W = W (t) la matrice Wronskiana corrispondente.
Cerchiamo xp (t) = W (t) c(t), con c ∈ C 1 (I, Rn ) . . .
Si basa sulla possibilità di risolvere il sistema omogeneo; come si fa?
29
Sistemi lineari a coefficienti costanti
x 0 = A x + B(t)
A matrice quadrata n×n che non dipende da t
B = B(t) vettore colonna con componenti bi ∈ C (I, R)
Integrale generale del sistema omogeneo associato
• Per l’equazione scalare x 0 = a x , con a ∈ R, l’integrale generale
è c e at , al variare di c ∈ R.
• Per il sistema x 0 = A x , con A matrice n×n , l’integrale generale
è e tA c , al variare di c ∈ Rn .
Che cosa è e tA ?
30
Primo intermezzo di algebra lineare: matrice esponenziale
• Mn spazio vettoriale delle matrici reali n × n
• Per A ∈ Mn : kAk :=
n
X
|ai,j |
i,j=1
∀ A, B ∈ Mn : kA Bk ≤ kAk kBk
• (Mn , k · k) spazio di Banach
• Per A ∈ Mn : A0 := In , Ak+1 = A Ak ;
• La serie di termine
• e A :=
∀k ∈ N: kAk k ≤ kAkk
1 k
A converge in Mn .
k!
∞
X
1 k
A matrice esponenziale
k!
k=0
• A matrice nulla =⇒ e A = In
• A B = B A =⇒ e A+B = e A e B
31
Sia A ∈ Mn una matrice non nulla.
Per ogni t ∈ R, e tA è la matrice esponenziale corrispondente alla
matrice t A.
• Per t = 0: e tA = In
• ∀ t, s ∈ R: e (t+s)A = e tA e sA
• ∀ t ∈ R: [e tA ]−1 = e −tA
• ∀ t ∈ R:
e tA
0
= A e tA
• Al variare di t ∈ R, le colonne della matrice e tA costituiscono un
sistema fondamentale di soluzioni per il sistema x 0 = A x .
(L’affermazione di pagina 30 è provata.)
32
Come si calcola e tA ?
• A matrice diagonale . . .
• A matrice diagonalizzabile in R . . .
Esempi
Determinare l’integrale
0
x = y − z
y 0 = 2x + y + 6z
0
z =y −z
generale dei sistemi
0
x = y − z + t
y 0 = 2x + y + 6z
0
z = y − z + e 2t
0
x = −2x + 2y − 3z
y 0 = 2x + y − 6z
0
z = −x − 2y
Per il terzo sistema, risolvere il problema di Cauchy di condizione iniziale
x(0) = 1, y (0) = z(0) = 0
33
Sistemi lineari a coefficienti costanti nel caso di autovalori complessi
Sia λ = α + iβ con α ∈ R e β ∈ R∗ .
• Se λ è autovalore della matrice A, anche λ̄ lo è.
• Se w = u + iv è autovettore corrispondente a λ,
allora w̄ = u − iv è autovettore corrispondente a λ̄.
• Le funzioni t 7→ e λt w e t 7→ e λ̄t w̄ sono l’una la coniugata dell’altra.
• Posto η(t) := e λt w :
η e η̄ risolvono il sistema x 0 = Ax , sono linearmente indipendenti,
e hanno valori in Cn .
• Posto ϕ := Re(η) e ψ := Im(η):
ϕ e ψ risolvono il sistema x 0 = Ax , sono linearmente indipendenti,
e hanno valori in Rn .
Come si determinano esplicitamente ϕ e ψ ?
34
Esempi
Determinare l’integrale generale dei sistemi
0
x 0 = 5x − 6y
x = 3x − y
y 0 = 2y − z
y 0 = 3x − y
0
z = 5y − 2z
35
Secondo intermezzo di algebra lineare: blocchi di Jordan
Una matrice quadrata n × n reale o complessa B si dice in forma
canonica di Jordan se essa è diagonale a blocchi, cioè della forma
B1
B2
B=
..
.
Bm
dove ciascuna matrice Bj è una matrice
λj 1
0
0 λj
1
.
..
.
.
.
Bj =
..
.
.
.
.
0 ··· ···
quadrata qj × qj del tipo
··· ··· 0
0 ··· 0
.
..
..
.
. ..
..
..
. 0
.
λj 1
· · · 0 λj
36
• Se qj = 1: Bj = λj (matrice 1 × 1)
• q1 + q2 + . . . + qm = n
• Bj ha unico autovalore λj , di molteplicità qj
• Blocchi distinti possono avere autovalori uguali.
37
Teorema (di Jordan)
Ogni matrice reale o complessa è simile su C a una matrice in forma
di Jordan. Esplicitare . . .
Osservazioni
• λ1 , . . . , λm sono gli autovalori di A;
• A diagonalizzabile ⇐⇒ tutti i blocchi hanno dimensione 1;
• a ogni blocco Bj corrisponde, a meno di multipli, un unico autovettore
di A relativo a λj ;
• se λj ∈ C \ R, allora i blocchi relativi a λj e λ̄j sono in ugual numero
e hanno le stesse dimensioni.
38
Determinazione dell’integrale generale di x 0 = A x
• A = S B S −1 =⇒ e tA = S e tB S −1
• e tB è matrice a blocchi
• calcolo esplicito per n ≤ 3 . . .
• autovettori generalizzati
Esempi
0
x = 2x + y
y 0 = 2y + z
0
z = 2z
0
x = x + y
y0 = z
0
z = −x − y + 3z
0
x = 4x
y 0 = x + 4y − z
0
z = 4z
x 0 = x − y
y 0 = x + 3y
39
Equazioni lineari di ordine n
• Forma:
x (n) = a1 (t)x (n−1) + a2 (t)x (n−2) + . . . + an−1 (t)x 0 + an (t)x + b(t),
con ai , b ∈ C (I, R)
• Equivalenza con un sistema lineare di equazioni differenziali lineari di
ordine 1 −→ struttura dell’integrale generale dell’equazione completa
e dell’equazione omogenea associata
40
Determinazione di V0 per l’equazione a coefficienti costanti
x10 = x2
x 0 = x3
2
..
• Sistema equivalente:
.
0
= xn
xn−1
x 0 = a x + a x
1 n
2 n−1 + . . . + an−1 x2 + an x1
n
0
1
0
0
0
0
1
0
.
.
.
..
..
..
• Matrice dei coefficienti: A =
.
..
0
0
0
0
an an−1 an−2 · · ·
···
···
···
···
0
0
..
.
1
a1
• Equazione caratteristica: det(A − λIn ) = 0
⇐⇒
λn − a1 λn−1 − a2 λn−2 − . . . − an−1 λ − an = 0
41
Supponiamo che l’equazione caratteristica abbia n soluzioni distinte
λ1 , λ2 , . . . , λn . Siano v1 , v2 , . . . , vn autovettori corrispondenti.
Osservazione
È facile vedere che tutti gli autovettori di A hanno la prima componente
diversa da 0; possiamo allora assumere che v1 , v2 , . . . , vn abbiano la prima
componente uguale a 1.
• Sappiamo che le funzioni e λ1 t v1 , e λ2 t v2 , . . . , e λn t vn sono soluzioni
linearmente indipendenti del sistema equivalente.
• Prendendo la prima componente di ciascuna di esse, otteniamo n
soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea:
e λ1 t , e λ2 t , . . . , e λn t .
• L’integrale generale dell’equazione omogenea è :
c1 e λ1 t + c2 e λ2 t + . . . + cn e λn t , al variare di c1 , . . . , cn ∈ R.
42
Osservazioni
• A una coppia di autovalori complessi coniugati α ± iβ possiamo
associare le soluzioni reali e αt cos(βt) e e αt sin(βt).
Esempi
Determinare l’integrale generale delle equazioni
x 00 − 4 x = 0
x 00 + 4 x = 0
x 000 + x = 0
• A una soluzione λ dell’equazione caratteristica di molteplicità m ≥ 2
possiamo associare le soluzioni e λt , t e λt , . . . , t m−1 e λt .
Esempi
x 000 − x 00 − x 0 + x = 0
x 0000 + 4x 00 + 4x = 0
43
Equazioni lineari non omogenee
• Metodo di Lagrange per equazioni . . .
Esempio: Determinare l’integrale generale di x 00 − x =
1
1 + et
• Metodo di somiglianza (equazioni complete a coefficienti costanti) . . .
Esempi
3t 2 + 5t
x 000 − x 00 − x 0 + x = (3t 2 + 5t)e −t
(3t 2 + 5t)e t
e t (1 + sin(t))
x 000 − x 00 + x 0 − x =
sin(t)
x 000 + 4x 00 + x 0 − 26x = (t + 3)e −t + cos(2t)
x 000 − 6x 00 + 21x 0 − 26x = 36te αt
(α ∈ R)
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Una classe di equazioni lineari non autonome: equazioni di Eulero
• Forma generale: an t n x (n) + an−1 t n−1 x (n−1) + . . . + a1 tx 0 + a0 x = b(t)
• L’equazione è singolare per t = 0;
la risolviamo in (−∞, 0) oppure in (0, +∞).
• Cambiamento di variabile t = −e s oppure t = e s
−→
equazione lineare a coefficienti costanti nella funzione incognita
z(s) := x(−e s ) oppure z(s) := x(e s )
• Procedimento alternativo per determinare il polinomio caratteristico
dell’equazione lineare associata . . .
Esempi
t 2 x 00 + 3t x 0 − 3x = 0
t 2 x 00 − 3t x 0 + 13x = 0
t 2 x 00 − 5t x 0 + 9x = 2t 3
t 3 x 000 + t 2 x 00 − 2x = t −3 ln(t)
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