Il concetto di limite in Matematica
In matematica si parla di limite finito di una funzione nei casi in cui il valore di
una funzione si avvicina sempre di più a un certo valore numerico. Tale valore
numerico sarà detto limite della funzione .
Esempio:
lim x 2 9 5
x2
si legge
il limite per x che tende a 2
di x 2 9 è uguale a 5
Il significato dell’affermazione è che quanto più il valore di x si approssima a 2,
tanto più il valore della funzione si avvicina a –5.
Una serie di valori calcolati con Excel rende chiaro questo fatto:
f x x 2 9
x
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
1,999999
1,9999999
1,99999999
1,999999999
2
-5,39
-5,0399
-5,003999
-5,00039999
-5,00004
-5,000004
-5,0000004
-5,00000004
-5,000000004
-5
x
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,00001
2,000001
2,0000001
2,00000001
2,000000001
2
f x x 2 9
-4,59
-4,9599
-4,995999
-4,99959999
-4,99996
-4,999996
-4,9999996
-4,99999996
-4,999999996
-5
Nella prima tabella x tende a 2 da sinistra, nella seconda da destra. In entrambi i casi
avvicinandosi a x=2 il valore f(x) della funzione si approssima sempre di più a –5.
Per x=2 vale esattamente –5.
Qui sotto il grafico della funzione (che è una parabola):
15y
10
5
0
-2 -1 0
-5
-10
-15
x
1
2
3
4
5
Nel grafico si vede che quando x si approssima al valore 2 il
valore di y si approssima al valore –5 che è il limite della
funzione.
I punti sul grafico della curva vanno a terminare nel punto in
rosso, che ha come coordinate x = 2 e y = -5
x = 2 è il valore a cui tende la variabile x
y = -5 è il valore a cui tende la funzione, cioè il limite
L’esempio fatto qui si riferisce alla funzione y x 2 9 . Vediamo ora il caso più generale.
1
lim f x l
x x0
si legge
il limite per x che tende a x0
di f(x) è uguale a l
Le considerazioni fatte prima ci danno un significato intuitivo del concetto di limite, ma non
danno una definizione rigorosa. I primi a ragionare su questi concetti matematici, tra la fine
del 1600 e il 1700, furono il fisico Newton e il filosofo Leibniz. Entrambi sono considerati i padri
della parte della matematica detta calcolo infinitesimale, parte che comprende anche le
operazioni sui limiti di funzione. Successivamente questi concetti furono ampliati da altri
matematici tra il 1700 e il 1800 e la definizione attuale deriva dal loro lavoro.
La definizione è la seguente (prima in simboli, poi tradotta in italiano):
lim f x l
Si dice che x x
0
quando:
0 I x0 : x I x0 x x0
l f x l
traduzione:
Per ogni epsilon > 0 (piccolo a piacere) esiste un intorno I di x 0 tale che “x
appartente a tale intorno e x diverso da x0” implica che f(x) sia compreso tra l- e
l+
Praticamente incomprensibile vero? Non spaventatevi troppo però.
Generazioni di studenti hanno lottato contro questi simboli, alcuni di loro sono
persino riusciti a capirli. Rileggiamo con calma la “traduzione”.
Essa ci dice che per quanto piccolo si possa scegliere epsilonnoi potremo sempre
trovare un intorno di x0 che ha questa proprietà: lse x appartiene a quell’intorno
allora f(x) è vicina al limite l per una distanza minore di epsilon.
Se sceglieremo epsilon più piccolo, anche gli intorni di x0 diventeranno più piccoli,
ma esisteranno sempre e per i valori x in tali intorni i valori f(x) della funzione
disteranno dal limite meno di epsilon.
Il grafico successivo chiarisce meglio questa argomentazione.
2
y
y = f(x)
l
f(x)
l
l
x0 1 x0 x x 0 2
Nella figura è disegnato il grafico di una funzione per la quale
x
lim f x l
x x0
Il grafico si disegna coi seguenti criteri:
Disegniamo, in rosso e un po’ a caso, una parte del grafico della funzione
Dopo aver scelto (epsilon) fissiamo sull’asse y i valori l , l e l
tracciamo da essi delle linee orizzontali fino a incontrare il grafico della funzione
dai punti di incontro tracciamo delle linee verticali fino a incontrare l’asse x
i valori sull’asse x corrispondenti a l e l ci danno gli estremi x 0 1 e x 0 2 che
definiscono l’intorno I cercato (in figura è disegnato in blu).
Prendiamo una x qualsiasi in quell’intorno e vediamo dal grafico che il valore f(x)
corrispondente si trova sull’asse y compreso tra l e l . Questo vale per ogni x
appartenente all’intorno.
Se scegliessimo un altro epsilon più piccolo potremmo ripetere lo stesso
procedimento grafico e troveremmo sull’asse x un intorno più piccolo, ma lo
troveremmo sempre. Abbiamo così rispettato il significato della definizione di
limite e tale significato comprende e completa in modo rigoroso la definizione
“intuitiva” .
Per ogni > 0 (piccolo a piacere) esiste un intorno I di x0 tale che “x appartente
a tale intorno e x diverso da x0” implica che f(x) sia compreso tra l- e l+
Armati della definizione rigorosa di limite proviamo ora a DIMOSTRARE che il limite
dell’esempio specifico fatto all’inizio ha proprio quel valore. Lo facciamo come
esercizio nella pagina successiva.
3
Dimostrare, usando la definizione di limite, che
lim x 2 9 5
x2
0 I x0 : x I x0 x x0
l f x l
Innanzitutto è meglio specificare che le disequazioni l f x l sono equivalenti al
f x l
sistema di disequazioni
f x l
Si parte quindi da questo sistema e si cerca di determinare, risolvendo le relative
disequazioni, un intorno di x0 in cui valga questo sistema.
Visto che x tende a 2 nel nostro caso cercheremo un intorno I(2)
x 2 9 5
x 2 4
f x l
diventa
diventa
2
f x l
x 9 5
x 2 4
( A)
( B)
Risolviamo le due disequazioni separatamente:
x2 4
(A)
Le soluzioni dell’equazione associata sono x1,2 4
Utilizzando il metodo della parabola si ottiene x 4
x2 4
(B)
x 4
Le soluzioni dell’equazione associata sono x1,2 4
Utilizzando il metodo della parabola si ottiene 4 x 4
Ora dobbiamo trovare le soluzioni comuni ad (A) e (B)
SOLUZIONI COMUNI
4
4
4
4
a)
b)
sistema
no
sì
no
sì
no
La soluzione del sistema ci fornisce due intervalli:
I 2 4 , 4 è un intorno di –2, ora non ci interessa.
I 2
4 , 4
è invece proprio l’intorno di 2 che cercavamo. Esso esiste per ogni
valore di ed ogni x di questo intorno è tale che 5 x 2 9 5 .
Esempio numerico:
prendendo 0,01 abbiamo che l’intorno è I 3,99 , 4,01 1,997... , 2,002...
consideriamo x in tale intorno, ad esempio x 1,998
calcoliamo f (x) f (1,998) 1,998 9 -5,007996 che dista da –5 di 0,007996 che è < 0,01.
2
4
