Il concetto di limite in Matematica
In matematica si parla di limite finito di una funzione nei casi in cui il valore di
una funzione si avvicina sempre di più a un certo valore numerico. Tale valore
numerico sarà detto limite della funzione .
Esempio:
(
)
lim x 2 − 9 = −5
x→2
si legge
il limite per x che tende a 2
di (x 2 − 9 ) è uguale a − 5
Il significato dell’affermazione è che quanto più il valore di x si approssima a 2,
tanto più il valore della funzione si avvicina a –5.
Una serie di valori calcolati con Excel rende chiaro questo fatto:
f (x ) = x 2 − 9
x
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
1,999999
1,9999999
1,99999999
1,999999999
2
-5,39
-5,0399
-5,003999
-5,00039999
-5,00004
-5,000004
-5,0000004
-5,00000004
-5,000000004
-5
x
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,00001
2,000001
2,0000001
2,00000001
2,000000001
2
f (x ) = x 2 − 9
-4,59
-4,9599
-4,995999
-4,99959999
-4,99996
-4,999996
-4,9999996
-4,99999996
-4,999999996
-5
Nella prima tabella x tende a 2 da sinistra, nella seconda da destra. In entrambi i casi avvicinandosi a x=2 il valore f(x) della funzione si approssima sempre di più a –5.
Per x=2 vale esattamente –5.
Qui sotto il grafico della funzione (che è una parabola):
15y
10
5
0
-2 -1 0
-5
-10
-15
x
1
2
3
4
5
Nel grafico si vede che quando x si approssima al valore 2 il
valore di y si approssima al valore –5 che è il limite della funzione.
I punti sul grafico della curva vanno a terminare nel punto in
rosso, che ha come coordinate x = 2 e y = -5
• x = 2 è il valore a cui tende la variabile x
• y = -5 è il valore a cui tende la funzione, cioè il limite
L’esempio fatto qui si riferisce alla funzione y = x 2 − 9 . Vediamo ora il caso più generale.
1
lim f ( x ) = l
x → x0
si legge
il limite per x che tende a x0
di f(x) è uguale a l
Le considerazioni fatte prima ci danno un significato intuitivo del concetto di limite, ma non
danno una definizione rigorosa. I primi a ragionare su questi concetti matematici, tra la fine
del 1600 e il 1700, furono il fisico Newton e il filosofo Leibniz. Entrambi sono considerati i padri
della parte della matematica detta calcolo infinitesimale, parte che comprende anche le operazioni sui limiti di funzione. Successivamente questi concetti furono ampliati da altri matematici
tra il 1700 e il 1800 e la definizione attuale deriva dal loro lavoro.
La definizione è la seguente (prima in simboli, poi tradotta in italiano):
Si dice che xlim
→ x0
f (x ) = l
quando:
∀ε > 0 ∃ I ( x0 ) : x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0
→ l − ε < f (x ) < l + ε
traduzione:
Per ogni epsilon > 0 (piccolo a piacere) esiste un intorno I di x0 tale che “x appartente a tale intorno e x diverso da x0” implica che f(x) sia compreso tra l-ε e
l+ε.
Praticamente incomprensibile vero? Non spaventatevi troppo però.
Generazioni di studenti hanno lottato contro questi simboli, alcuni di loro sono
persino riusciti a capirli. Rileggiamo con calma la “traduzione”.
Essa ci dice che per quanto piccolo si possa scegliere epsilon noi potremo sempre
trovare un intorno di x0 che ha questa proprietà: lse x appartiene a quell’intorno
allora f(x) è vicina al limite l per una distanza minore di epsilon.
Se sceglieremo epsilon più piccolo, anche gli intorni di x0 diventeranno più piccoli,
ma esisteranno sempre e per i valori x in tali intorni i valori f(x) della funzione disteranno dal limite meno di epsilon.
Il grafico successivo chiarisce meglio questa argomentazione.
2
y
y = f(x)
l +ε
f(x)
l
l −ε
x 0 − δ 1 x0 x x 0 + δ 2
Nella figura è disegnato il grafico di una funzione per la quale
x
lim f ( x ) = l
x → x0
Il grafico si disegna coi seguenti criteri:
• Disegniamo, in rosso e un po’ a caso, una parte del grafico della funzione
• Dopo aver scelto ε (epsilon) fissiamo sull’asse y i valori l , l − ε e l + ε
• tracciamo da essi delle linee orizzontali fino a incontrare il grafico della funzione
• dai punti di incontro tracciamo delle linee verticali fino a incontrare l’asse x
• i valori sull’asse x corrispondenti a l − ε e l + ε ci danno gli estremi x 0 − δ 1 e x 0 + δ 2 che
definiscono l’intorno I cercato (in figura è disegnato in blu).
• Prendiamo una x qualsiasi in quell’intorno e vediamo dal grafico che il valore f(x) corrispondente si trova sull’asse y compreso tra l − ε e l + ε . Questo vale per ogni x appartenente
all’intorno.
Se scegliessimo un altro epsilon più piccolo potremmo ripetere lo stesso procedimento grafico e troveremmo sull’asse x un intorno più piccolo, ma lo troveremmo
sempre. Abbiamo così rispettato il significato della definizione di limite e tale significato comprende e completa in modo rigoroso la definizione “intuitiva” .
Per ogni ε > 0 (piccolo a piacere) esiste un intorno I di x0 tale che “x appartente
a tale intorno e x diverso da x0” implica che f(x) sia compreso tra l-ε e l+ε.
Armati della definizione rigorosa di limite proviamo ora a DIMOSTRARE che il limite
dell’esempio specifico fatto all’inizio ha proprio quel valore. Lo facciamo come esercizio nella pagina successiva.
3
Dimostrare, usando la definizione di limite, che
(
)
lim x 2 − 9 = −5
x→2
∀ε > 0 ∃ I ( x0 ) : x ∈ I ( x0 ) ∧ x ≠ x0
→ l − ε < f (x ) < l + ε
• Innanzitutto è meglio specificare che le disequazioni l − ε < f (x ) < l + ε sono equivalenti al
f (x ) > l − ε
sistema di disequazioni
f ( x ) < l + ε
• Si parte quindi da questo sistema e si cerca di determinare, risolvendo le relative disequazioni, un intorno di x0 in cui valga questo sistema.
Visto che x tende a 2 nel nostro caso cercheremo un intorno I(2)
x 2 − 9 > −5 − ε
x 2 > 4 − ε
f (x ) > l − ε
diventa
diventa
→
→
f ( x ) < l + ε
x 2 − 9 < −5 + ε
x 2 < 4 + ε
( A)
( B)
• Risolviamo le due disequazioni separatamente:
x2 > 4 − ε
(A)
Le soluzioni dell’equazione associata sono x1,2 = ± 4 − ε
Utilizzando il metodo della parabola si ottiene x < − 4 − ε
x2 < 4 + ε
(B)
∨
x > 4−ε
Le soluzioni dell’equazione associata sono x1,2 = ± 4 + ε
Utilizzando il metodo della parabola si ottiene − 4 + ε < x < 4 + ε
• Ora dobbiamo trovare le soluzioni comuni ad (A) e (B)
SOLUZIONI COMUNI
− 4+ε
− 4−ε
4−ε
4+ε
a)
b)
sistema
no
sì
no
sì
no
La soluzione del sistema ci fornisce due intervalli:
(
)
I (− 2 ) = − 4 + ε , − 4 − ε è un intorno di –2, ora non ci interessa.
I (2 ) =
(
)
4 − ε , 4 + ε è invece proprio l’intorno di 2 che cercavamo. Esso esiste per ogni valo-
re di ε ed ogni x di questo intorno è tale che − 5 − ε < x 2 − 9 < −5 + ε .
Esempio numerico:
• prendendo ε = 0,01 abbiamo che l’intorno è I = − 3,99 , − 4,01 = (− 1,997... , − 2,002...)
• consideriamo x in tale intorno, ad esempio x = −1,998
(
)
• calcoliamo f ( x ) = f ( −1,998) = (− 1,998) − 9 = -5,007996 che dista da –5 di 0,007996 che è < 0,01.
2
4
