Bayes
DSF
CDS SFA
2015-2016
Teorema di Bayes
Sia uno spazio campionario suddiviso in due sottoinsiemi A1 e A2 come indicato in
figura.
A2
A1
Tali sottoinsiemi sono tali che la loro intersezione è vuota e la loro unione forma lo
spazio campionario.
In questo caso si dice che la suddivisione costituisce una partizione. Sia
qualunque evento sottoinsieme di
ora E un
la cui intersezione con gli eventi A1 e A2 non è
vuota come è indicato in figura:
E1
A1
E2
A2
Gli eventi E1= E∩ A 1 e E2=E∩ A 2 costituiscono una partizione di E. Allora si può
costruire il seguente schema noto come schema di disintegrazione degli eventi da cui si
può calcolare la dei singoli eventi.
Da cui si ricava
E= E1∪ E2=E∩ A 1∪E∩ A 1 ed essendo E1 ed
partizioni di E si ha che
Pagina 1
E1∩E 2=∅ . Allora :
E2
Bayes
p E= pE∩ A1 p E∩ A 2
per il teorema delle probabilità condizionate si ha:
pE= pE / A 1⋅p A 1 p E/ A 2⋅p A 2
Che costituisce un rimo importante rislutato.
Il vero teorema di Bayes è ottenuto dall'osservazione che per il teorema della
probabilità condizionata si ottiene:
p A 1/ E⋅pE= p E/ A 1⋅p A 1
da cui si ottiene :
p A 1/ E=
p E/ A 1⋅p A 1
p E / A 1⋅p A 1
=
p E
p E/ A 1⋅p A 1 p E/ A 2⋅p A 2
Lo schema è chiaro sulla base della seguente rappresentazione:
E1
A1
p E1∣A1⋅p A1
E2
p E2∣A1⋅p A1
E1
A2
p E1 A 2⋅p A 2
E2
p E2∣A 2⋅p A 2
Estrazione da un'urna.
1. Un'urna contiene 6 palline bianche e 10 nere e una seconda urna 8 bianche e 2 nere. Si
sceglie a caso un'urna e si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che essa sia
bianca.
Pagina 2
Bayes
2. Un'urna contiene 6 palline bianche e 10 nere e una seconda urna 8 bianche e 2 nere. Si
sceglie a caso un'urna e si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che essa
provenga dalla prima urna sapendo che la pallina estratta è bianca.
Guasto nella produzione
3. Due robot eseguono il montaggio del lo stesso pezzo meccanico. Il primo robot esegue
il 45% dei pezzi con un tasso di errore nel montaggio del 5% , il secondo ha un tasso di
errore del 7,5%. Calcolare la probabilità che estraendo un pezzo esso sia guasto.
4. Due robot eseguono il montaggio del lo stesso pezzo meccanico. Il robot n. 1 esegue il
45% dei pezzi con un tasso di errore nel montaggio del 5% , il robot n. 2 ha un tasso di
errore del 7,5%. Estratto a caso un pezzo meccanico e verificato che sia guasto
calcolare la probabilità che sia stato eseguito dal robot n.1
La probabilità di causa.
5. Due ipotesi
I1
ed
I 2 complementari tra essi si verificano con frequenza
rispettivamente del 80% e del 20%. Un evento
E
è condizionato ad
I 1 ed I 2
con probabilità 4% e del 6%. Si calcoli la probabilità che non si verifichi l'evento
6. Due ipotesi
I1
ed
E .
I 2 complementari tra essi si verificano con frequenza
rispettivamente del 80% e del 20%. Un evento è condizionato ad
I 1 ed I 2
con
probabilità 4% e del 6%. Se si è verificato l'evento E calcolare la probabilità che sia
stato determinato dall'ipotesi
I 1.
Il teorema di Bayes e la medicina.
7.
In uno studio sull'effetto di due nuovi farmaci
F1
ed
F2
una malattia. 400
pazienti sono stati suddivisi in due gruppi . Il primo gruppo costituito da 250 pazienti
è stato trattato con il farmaco F 1
Pagina 3
ed il secondo gruppo B con il farmaco F 2 .
Bayes
L'analisi dei risultati ha mostrato che il 70% del primo gruppo ha manifestato
miglioramenti mentre il 35% del gruppo B ha non ha manifestato nessun
miglioramento. Calcolare la probabilità che estraendo un paziente a caso egli
abbia manifestato un miglioramento
8.
In uno studio sull'effetto di due nuovi farmaci
F1 ed
F2 una malattia. 400
pazienti sono stati suddivisi in due gruppi . Il primo gruppo costituito da 250 pazienti
è stato trattato con il farmaco F 1
ed il secondo gruppo B con il farmaco F 2 .
L'analisi dei risultati ha mostrato che il 70% del primo gruppo ha manifestato
miglioramenti mentre il 35% del gruppo B ha non ha manifestato nessun
miglioramento. Calcolare la probabilità che estraendo un paziente a caso che ha
manifestato un miglioramento egli sia stato trattato con il farmaco
F1
9. L'esame per la rilevazione di presenza di alcol in un campione di automobilisti ha un
esito positivo nel 5% dei casi. La taratura dello strumento utilizzato ha evidenziato che
il 95% dei casi con esito positivo aveva fatto effettivo uso di alcol al di sopra dei limiti
consenti e che il 95% dei casi delle persone con esito negativo non aveva fatto uso di
alcol. Calcolare la probabilità che una persona che ha fatto un uso esagerato
di alcol risulti positiva all'alcol.
10. Un esame istologico ha riposta positiva del 2% dei casi analizzati. Ma il laboratorio
che esegue il monitoraggio della validità dell'esame ha mostrato che nel 2% dei casi
effettivamente positivi l'esame ha esito negativo e che il 4% dei casi negativi vengono
segnalati come positivi. Qual'è la probabilità che un caso negativo sia segnalato
dall'esame come positivo ( falso positivo )
Pagina 4
