Teorema delle probabilità totali e variabili aleatorie
Grazie al teorema delle probabilità totali, dato un evento A e una partizione
B j j = 1, K , n dello spazio campionario è possibile calcolare P ( A ) note le probabilità
P ( B j ) e le probabilità condizionate P ( A | B j ) secondo la formula:
P ( A ) = P ( A | B1 ) ⋅ P ( B1 ) + L + P ( A | Bn ) ⋅ P ( Bn )
che, nel caso più semplice si riduce a
P ( A) = P ( A | B ) ⋅ P ( B ) + P ( A | B ) ⋅ P ( B )
Sinora abbiamo usato tale formula in esercizi che fornivano le probabilità condizionate
come dati del problema.
Non è detto che sia sempre così! A volte può succedere che le probabilità condizionate
debbano essere dedotte da ragionamento o calcolate tramite l‘uso di variabili aleatorie.
Esempio 1 – gli eventi condizionati sono equiprobabili
Siano date due urne 1 e 2 contenenti la prima 3 palline bianche e 2 rosse, la seconda 2
bianche e 2 rosse.
Prima si seglie un’urna a caso e poi si estrae a caso una pallina dall’urna scelta.
Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca.
Il teorema delle probabilità totali ci aiuta a rispondere. Infatti detto A l’evento “è stata
estratta una pallina bianca” e B l’evento “è stata scelta l’urna 1” avremo che:
P ( A) = P ( A | B ) ⋅ P ( B ) + P ( A | B ) ⋅ P ( B )
Ora come ricaviamo i dati?
Per la scelta dell’urna basta osservare che gli eventi sono equiprobabili per ricavare
immediatamente P ( B ) = P ( B ) = 0.5
Analogamente operiamo per i due eventi condizionati: gli eventi favorevoli nell’urna 1
3
2
sono 3 su 5 e nell’urna 2 sono 2 su 4. Quindi: P ( A | B ) = e P ( A | B ) = e, infine:
5
4
3 1 2 1
P ( A) = ⋅ + ⋅
5 2 4 2
Esempio 2 – gli eventi condizionati seguono legge esponenziale
Supponiamo di avere due lampadine differenti: la durata media è 10 mesi per la prima e
8 per la seconda. In entrambi i casi la durata di vita delle lampadine segue legge
esponenziale.
Supponiamo che dobbiate sostituire una lampadina fulminata con una scelta a caso tra le
due che avete a disposizione.
Qual è la probabilità che la lampadina duri almeno 1 anno?
Rinominiamo gli eventi A e B definiti nell’esempio precedente: ora A è l’evento “la
lampadina dura almeno 1 anno” e B è “ho preso la prima lampadina”
Se notate. l’esercizio è identico al precedente. L’unica cosa che cambia è il modo di
calcolare i dati, ovvero di calcolare le probabilità dei due eventi condizionati che ora
non sono più equiprobabili ma si comportano, ognuno, secondo legge esponenziale.
Dunque:
P ( A | B ) = P (T1 > 12 ) e P ( A | B ) = P (T2 > 12 ) dove T1 : Esp (1/10 ) e T2 : Esp (1/ 8 )
Pertanto:
P ( A) = e
−
12
10
1 −128 1
⋅ +e ⋅
2
2
