Problema: la geometria sulla sfera è euclidea?

SFERA 2 - scheda per gli studenti
Problema: la geometria sulla sfera è euclidea?
Ricordando quanto scoperto nella prima lezione (sulla superficie sferica le rette, nella loro qualità di “vie diritte” sono sostituite dalle circonferenze massime)
siete invitati a riformulare, nel nuovo spazio costituito dalla superficie sferica, le definizioni degli oggetti fondamentali della geometria, le loro proprietà, gli
assiomi.
La scheda è suddivisa in tre colonne: a sinistra sono riportate definizioni, proprietà e assiomi della geometria euclidea del piano (in corsivo sono riportate le
diciture originali di Euclide), all’estrema destra ci sono gli spazi nei quali siete invitati a riscrivere, opportunamente modificate, le corrispondenti definizioni
proprietà od assiomi validi sulla superficie sferica.
A supporto della riflessione teorica vengono forniti, nella colonna intermedia, suggerimenti ed indicazioni per effettuare prove grafiche disegnando sugli
oggetti di forma sferica che vi sono stati forniti
Geometria Euclidea del piano
SPAZIO: superficie piana 2 Dimensioni
Geo sulla superficie sferica
Indicazioni, suggerimenti…..
SPAZIO: superficie sferica
2 Dimensioni (visione intrinseca)
3 Dimensioni (visione estrinseca)
Il concetto di PUNTO conserva il suo significato primitivo in qualsiasi spazio. Le superfici e le linee, le rette e le geodetiche in particolare sono ovunque
concepibili come insiemi di punti. Analizziamo quelle proprietà che consentono di mettere in risalto le differenze tra geo sul piano e geometria sulla sfera
PIANO
 è indefinitamente esteso
Sulla sfera, chi sostituisce il ruolo del piano?
Con quali proprietà?
RETTA


Si può prolungare indefinitamente (II°
postulato: che una retta terminata si possa
prolungare continuamente in linea retta)
I° postulato : che si possa condurre una linea
retta da un punto ad ogni altro punto
questo postulato viene così più semplicemente e
spresso
Per due punti passa una ed una sola retta
Sappiamo già che retta geodeticacirc massima
Con quali proprietà? (C’è differenza di valutazioni
tra chi sta sulla sfera e chi guarda dal di fuori?)
Rappresentate la situazione sul corpo sferico a
disposizione:
………………………………………………………….
Prima prova: prendere due punti qualsiasi e
congiungerli con un tratto di geodetica
Seconda prova: individuare due punti antipodali
(ovvero in posizione di due poli opposti) : cosa
succede?

L’intersezione di due rette distinte o è vuota
oppure è formata da un solo punto

Ogni retta divide il piano in due semipiani

Assioma di ordinamento: Su ogni retta si
possono stabilire due ordinamenti totali, l’uno
opposto all’altro, rispetto ai quali dati due punti A e
B appartenenti alla retta è possibile dire se A
precede B oppure se lo segue
SEMIRETTA
fissati su di una retta un punto A ed un ordinamento,
si dice semiretta l’insieme di tutti i punti della retta
che seguono (o che precedono) A
SEGMENTO
fissati due punti A e B su di una retta, si dice
segmento di estremi A e B l’insieme dei punti che
stanno tra A e B
Per due punti (qualsiasi) della sup ……………………..
ma ……………………………………………………..
……………………………………………………………..
…………………………………………………………….
Come deve essere modificata questa affermazione?
Scegliere due punti A e B su una delle circonferenze Conclusione:
massime già disegnate: muovendosi da A verso B
si può affermare che A………………B ma se si
continua a muoversi nello stesso senso si finisce per
affermare che B……………A
Quanto scoperto sopra a proposito dell’ordinamento, come si riflette sulla possibilità di definire le
semirette?
E come si riflette sulla definizione di segmento?
ANGOLO
Due rette che si intersechino dividono il piano in 4
angoli, ciascuno dei quali è una porzione infinita di
piano, delimitata da due delle semirette uscenti dal
punto di intersezione
Chi sta sulla sfera cosa osserva localmente?
Visione 2D locale :
Ma se si considerano due circonferenze massime
complete che si intersechino in due poli opposti,
quale particolare partizione della superficie si
Visione 3D
osserva? Ciascuna delle parti formatesi (quante?) si
chiama biangolo o lunula.
Definire la lunula mediante gli elementi che la
compongono
RETTE PERPENDICOLARI
Quando una retta innalzata su un’altra retta forma gli Disegnare e poi descrivere la situazione che porta
angoli adiacenti uguali tra loro, ciascuno dei due
alla definizione di angolo (o biangolo) retto
angoli è retto, e la retta innalzata si chiama
perpendicolare a quella su cui è innalzata.
IV° Postulato : che tutti gli angoli retti siano uguali
tra loro
Descrivere le caratteristiche particolari di una
lunula retta: come sono disposti i suoi lati? Quanto
vale la somma degli angoli interni?
Se si considera un equatore ed un suo polo……
Unicità della perpendicolare
Data una retta ed un punto (esterno ad essa oppure no)
è unica la perpendicolare alla retta passante per il
punto
Biangolo (lunula) =
RETTE PARALLELE
 due rette si dicono parallele se hanno intersezione
vuota
Assioma: Data una retta r ed un punto P del piano, è
unica la retta passante per P e parallela ad r
Si prenda una circonferenza massima ed un punto al .Conclusioni sul parallelismo:
di fuori: è possibile tracciare per esso un’altra
circ.massima che non intersechi la prima?
Euclide lo aveva formulato così: V° Postulato : se
una retta venendo a cadere su due rette forma gli
angoli interni e dalla stessa parte (coniugati interni)
minori di due retti (somma minore di un angolo
piatto), le due rette prolungate illimitatamente
verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli
angoli minori di due retti
Disporre due meridiani sulla circonferenza e
tagliarli con una terza geodetica in modo da
formare angoli coniugati interni non retti: i due
meridiani si incontrano solo dalla parte in cui la
somma dei due coniugati è minore dell’angolo
piatto?
………………………………………………….
…………………………………………………..
CONCLUSIONE : la geometria sulla sfera è euclidea? ………….Perché ?
SEGUONO DEGLI APPROFONDIMENTI
APPROFONDIMENTI
Visto che la geometria sulla sfera non è euclidea (non sono validi il 1° e il 5° postulato), non tutti i teoremi validi sul piano lo saranno anche sulla sfera.
Proviamo in particolare a considerare il teorema degli angoli alterni interni che , nella geometria euclidea del piano è una fondamentale cerniera tra 1° e 5°
Postulato.
Teorema: se due rette formano con una trasversale angoli alterni interni congreunti, sono parallele.
Lo discutiamo a confronto sul piano e sulla sfera.
Sul piano
Situazione : due rette r ed s , tagliate dalla trasversale t formano gli
angoli alterni interni  e 
Sulla sfera
Riproduci sulla sfera una situazione analoga, disponendo le tre
geodetiche in modo da avere angoli alterni interni differenti tra loro.
Effettua qui sotto un disegno illustrativo
Le due rette sono tra loro ……………….
r ed s sono tra loro ………………….
I due angoli sono ………………………..
I due angoli sono …………………..
E’ possibile disporre le rette, sul piano, e le geodetiche, sulla sfera, in modo che i due angoli  e  diventino congruenti?
Nel piano , il Teorema degli angoli alterni interni prova ad ammettere , per assurdo, che  possa divenire congruente a  pur restando r ed s incidenti.
Nel corso della dimostrazione si evidenzia però una grave contraddizione con il I° Postulato di Euclide :
Q
r
t
A


s
B


P
Se infatti   , sarebbe possibile, prendendo QABP, costruire un triangolo ABQ
congruente ad ABP da parte opposta rispetto a t; ciò comporterebbe la congruenze tra  e
 ed in definitiva la necessità che anche + equivalgano ad un angolo piatto, come +
che sono adiacenti; in tal caso Q,B e P risulterebbero allineati su di una stessa retta. La
conseguenza assurda è che dunque tra i punti P e Q finirebbero per passare due diverse
rette, una per A ed una per B.
La conclusione cui perviene il Teorema nel piano è dunque che se  le due rette
sono tra loro parallele.
Sulla sfera : disponete due geodetiche r ed s in modo che formino
angoli alterni interni congruenti con un geodetica trasversale t.
(sugg: Fissate r ed s e poi variate la posizione di t fino a trovare
una situazione dalle caratteristiche volute)
Riportate un disegno illustrativo, commentando la disposizione
Come sono disposte tra loro r ed s ? …
Quanto valgono i due angoli  e  ….
Provate a commentare perché la dimostrazione per assurdo, efficace
sul piano, non è invece praticabile sulla sfera