PROBABILITA`

PROBABILITA’
L’esito della prossima estrazione del lotto
L’esito del lancio di una moneta o di un dado
Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla
nascita o la sua altezza…..
Il tempo di attesa ad uno sportello di un dato ufficio
La durata di una lampadina o di un elettrodomestico…
Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è
certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori
(dal latino alea, dado)
PROBABILITA’
Spesso è necessario prendere decisioni in condizioni di
incertezza. Pensiamo, ad esempio, ad un medico che deve
decidere, a partire da certi sintomi, se il paziente è affetto
da una malattia A, piuttosto che B o C, oppure ad un
giudice che deve decidere se un certo fattore inquinante
(amianto, diossina,…) può ritenersi o meno responsabile di
una certa malattia.
E’ quindi fondamentale nei confronti di un fenomeno
dall’esito incerto, poter identificare quali sono gli eventi
che si possono verificare ed inoltre riuscire ad esprimere il
proprio grado di fiducia nel verificarsi di tali eventi.
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Quali sono gli eventi possibili per un dato fenomeno
aleatorio?
Se il fenomeno aleatorio che stiamo esaminando è il lancio
di una moneta, gli eventi possibili saranno due: testa T, o
croce C.
Se il fenomeno aleatorio cui siamo interessati è il genotipo
di un certo locus genetico a due alleli A1 , A2, gli eventi
possibili sono tre: A1 A1, A1 A2, A2 A2 .
Se siamo interessati alla prossima estrazione del lotto, gli
eventi possibili sono tutte le cinquine che si possono
formare con i numeri naturali da 1 a 90 (quante sono?)
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Indichiamo con Ω l’insieme di tutti gli esiti possibili del
fenomeno considerato, tale insieme è detto spazio degli
eventi. Con riferimento agli esempi precedenti, si ha
lancio della moneta
Ω ={T, C}
genotipi
Ω ={A1 A1, A1 A2, A2 A2 }
Si dice evento elementare ogni elemento dell’insieme Ω
Si dice evento composto un sottoinsieme (non singoletto)
di Ω
Ad esempio l’evento “Il genotipo presenta almeno un
allele A1”
è un evento composto costituito dal
sottoinsieme {A1 A1, A1 A2}
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Poichè Ω è costituito da tutti gli esiti possibili del
fenomeno considerato, tale insieme è detto evento certo.
In effetti è conseguenza dei fatti che Ω si verifichi
certamente.
In generale un evento è una proposizione non ambigua
suscettibile di assumere i due valori V vero, F falso.
Diremo evento impossibile, e lo indicheremo Ø un evento
che non può verificarsi in nessun caso, un evento per il
quale è conseguenza dei fatti che sia falso.
Ad esempio nel lancio di un dado a sei facce l’evento
“esce il punteggio 8” è un evento impossibile.
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
In generale, un evento si dirà aleatorio o possibile quando
non si può stabilire a priori se è V o F.
Si dice che un evento A implica un evento B (A⊆B) se il
fatto che A sia vero implica necessariamente il verificarsi
di B.
Ad esempio, nel lancio di un dado, l’evento “esce il
punteggio 3” implica l’evento “esce un punteggio dispari”
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
La negazione ¬A di un evento A (Ω\A) è un evento che
è vero quando A è falso e viceversa.
Ad esempio,nel lancio di un dado, l’evento “esce un
punteggio pari” ha come negazione l’evento “esce un
punteggio dispari”
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Si dirà evento intersezione degli eventi A e B, e si
indicherà con A∩B, l’evento che è vero se sono veri
entrambi gli eventi A e B, mentre risulta falso se almeno
uno dei due è falso.
Ad esempio, nel lancio del dado, l’evento “esce un
punteggio dispari maggiore di 2” , {3,5}, è l’evento
intersezione dei due eventi “esce un punteggio dispari”,
{1,3,5}, “esce un punteggio maggiore di 2”, {3,4,5,6}. PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Si dirà evento unione degli eventi A e B, e si indicherà
con A∪B, l’evento che è vero se uno almeno degli eventi
A , B è vero, mentre risulta falso se entrambi sono falsi.
Ad esempio, nel lancio del dado, l’evento “esce un
punteggio dispari o maggiore di 2” , {1,3,4,5,6}, è
l’evento unione dei due eventi “esce un punteggio
dispari”, {1,3,5}, “esce un punteggio maggiore di 2”,
{3,4,5,6}. PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Si dirà che due eventi A, B sono incompatibili se il
verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro (A∩B=Ø)
Ad esempio, nel lancio del dado, l’evento “esce un
punteggio dispari” è incompatibile con l’evento “esce un
punteggio pari”
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Si dirà che due eventi A, B sono esaustivi se è necessario
che almeno uno si verifichi (A∪B=Ω)
Ad esempio, nel lancio del dado, l’evento “esce un
punteggio dispari” e l’evento “esce un punteggio
maggiore di 1” sono esaustivi
PROBABILITA’
SPAZIO DEGLI EVENTI
Se n eventi A1, A2, …., An, sono esaustivi
(A1∪ A2∪ ….∪An = Ω ) e a due a due incompatibili (Ai∩ Aj =Ø per ogni coppia di indici i, j con i,j=1,2,…n e
i≠j) diremo che essi formano una partizione dello spazio
degli eventi.
Ad esempio, nel lancio del dado, l’evento “esce un
punteggio dispari” e l’evento “esce un punteggio pari”
costituiscono una partizione dello spazio degli eventi
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
La probabilità è una misura delle aspettative nel verificarsi
di un evento.
Il valore della probabilità è la misura (un numero) che
esprime l’opinione del soggetto (decisore) in merito al
verificarsi di un ben determinato evento A, ovvero esprime
il suo grado di fiducia nel verificarsi dell’evento.
La probabilità di un evento non è un numero oggettivo e
tipico dell’evento, ma, piuttosto, è una misura della
certezza individuale nel verificarsi dell’evento, che
dipende dalle informazioni che si hanno a disposizione al
momento di effettuare la valutazione
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
REGOLE DI COERENZA (B. de Finetti)
Tali regole essenzialmente consistono nel fatto che uno
stesso individuo, in una ben precisa situazione, dovendo
scommettere su diversi eventi A1, A2, …., An, può dare alla
probabilità di ciascun evento qualunque valore tra 0 e 1
conformemente al proprio giudizio, facendo però
attenzione a non dare ad un competitore la possibilità di
guadagnare
sicuramente,
mediante
un’opportuna
combinazione di scommesse sugli eventi considerati
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
La probabilità dell’evento A è quel valore p che
l’individuo che procede alla valutazione è disposto a
pagare
per
ricevere
una
vincita
unitaria
(corrispondente a un milione, un dollaro, un euro,…)
nel caso si verifichi l’evento. Per esempio, p=1/5, vuol dire che si è disposti a pagare 20
cents, per ricevere 1 euro se l’evento si verifica.
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
REGOLE DI COERENZA:
1- Se A è un evento certo P(A) = 1, se A è impossibile
P(A) = 0, quindi P(Ω) = 1, P(Ø) = 0
(Nessuno pagherebbe alcuna posta per un evento
impossibile, d’altra parte nessun banco accetterebbe una
posta inferiore a 1 da parte di uno scommettitore su un
evento certo)
2- Se A, B sono incompatibili P(A∪B) = P(A) + P(B)
(Se si è disposti a pagare x per ricevere 1 se si verifica A e
si è disposti a pagare y per ricevere 1 se si verifica B,
saremo disposti a pagare x+y per ricevere 1 se si verifica A
oppure si verifica B)
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
La valutazione di una probabilità si riconduce talvolta a
semplici giudizi qualitativi di equiprobabilità (regola di
valutazione classica)
Se, infatti n eventi incompatibili ed esaustivi sono
giudicati da un individuo ugualmente probabili, la
valutazione di probabilità di ciascun evento non potrà
che essere p= 1/n (perché?….), e un evento che sia
unione di k degli n eventi equiprobabili non potrà che
avere probabilità k/n (perché?….)
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
ESEMPIO: Se lanciamo una moneta e non abbiamo
motivo di dubitare che la moneta sia truccata, potremo
ragionevolmente ritenere ugualmente probabili i due
possibili esiti del lancio, quindi attribuiremo a T e C
probabilità P(T) = P(C)= 1/2.
ESEMPIO: Se lanciamo un dado a sei facce e non
abbiamo motivo di dubitare che il dado sia truccato,
essendo lo spazio degli eventi Ω ={1,2,3,4,5,6}
attribuiremo a ciascun risultato probabilità 1/6, quindi
attribuiremo all’evento “esce un punteggio superiore a 4”
la probabilità 2/6 = 1/3
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
ESEMPIO: Lanciando due dadi indistinguibili si osserva
ad un primo lancio due punteggi uguali 1, 1; ad un
secondo lancio si osservano i punteggi diversi 2, 3.
E’ ragionevole ritenere i due risultati equiprobabili?
NO perché i due punteggi uguali possono essere ottenuti in
un solo modo, mentre punteggi diversi possono essere
ottenuti in due modi. Nel nostro caso 2 su un dado e 3
sull’altro e viceversa.
PROBABILITA’
MISURARE L’ INCERTEZZA
Lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare
l’esperimento del lancio di due dadi è Ω x Ω , vale a dire
l’insieme di tutte le coppie ordinate Ω x Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Se i dadi non sono truccati è ragionevole ritenere gli eventi
semplici equiprobabili, quindi la probabilità di ottenere
punteggio 1 su entrambi i dadi è valutata 1/36, mentre la
probabilità di ottenere su un dado 2 e sull’altro 3,
corrispondente alle coppie (2,3), (3,2), vale 2/36
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l’evento “esce un punteggio inferiore a 4”
A ={1, 2, 3}
B l’evento “esce un punteggio dispari”
B = {1, 3, 5}
Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindi
P(A)=P(B)=1/2.
Supponiamo ora di essere venuti a sapere che
lanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari,
che cosa possiamo dire per la probabilità di A?
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari?
Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lo
spazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,3,5}, in questo
insieme i punteggi dispari sono due: 1,3, possiamo
quindi dire che la probabilità di ottenere un punteggio
inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari è
2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T?
Lo spazio degli eventi è
Ω={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevole
l’equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che al primo lancio si è
ottenuto T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che almeno uno dei due
lanci ha dato T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilità
richiesta è 1/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Torniamo al primo problema:
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A),
sapendo che il punteggio è dispari(evento B)?
Abbiamo detto che Ω=B={1,3,5}, in questo insieme i
punteggi inferiori a 4 sono due:1,3, l’insieme {1,3}
corrisponde di fatto a A∩B. Nel valutare la probabilità
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scritto
di fatto il rapporto tra P(A∩B)=2/6 e P(B)=3/6,
ottenendo appunto 2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
In generale, indichiamo con P(A|B) la probabilità
dell’evento A sapendo che si è verificato B, definiamo
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0 Chiameremo tale probabilità:
probabilità condizionale di A noto B
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma
P(A∩B)= P(B)·P(A|B)
Tale relazione viene detta legge delle probabilità
composte
Tale relazione esprime la probabilità dell’evento
intersezione (o evento congiunto) come prodotto tra la
probabilità di uno dei due eventi e la probabilità
condizionale dell’altro.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavie
da una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(M)
e 6 di sesso femminile (F). Ci domandiamo qual è la
probabilità di scegliere due cavie entrambe di sesso F.
Possiamo pensare in termini di due estrazioni
successive dalla gabbia che contiene le cavie.
Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità di
prendere una cavia F alla prima estrazione, si ha
P(FI)=6/10
Possiamo quindi calcolare P(FII|FI), che esprime la
probabilità di prendere una cavia F alla seconda
estrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Si ottiene P(FII|FI)=5/9
La legge delle probabilità composte ci dice allora che La probabilità di prendere due cavie entrambe F è
P(FI ∩ FII) = P(FI)·P(FII|FI) = (6/10)·(5/9) = 1/3
OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionare
secondo lo schema classico, calcolando il rapporto tra
numero casi “favorevoli” e numero casi “possibili”.
Ottenendo ?…..
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilità
condizionale, scambiando A con B, naturalmente se
P(A)>0, si ottiene P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Per l’evento congiunto, quindi possiamo dire che vale P(A∩B)= P(B)·P(A|B), ma anche P(A∩B)= P(A)·P(B|A)
Dunque, possiamo dire che P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento A
è modificata dal sapere che si è verificato un evento B,
vale a dire P(A|B)≠P(A), come nel caso precedente
delle cavie, o nel caso del lancio del dado per l’evento
“esce un punteggio inferiore a 4” , sapendo che il
punteggio ottenuto è dispari.
Se P(A|B) > P(A) diremo che i due eventi sono
correlati positivamente, B rende A più probabile
ATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia una
causa di A!
Se P(A|B) < P(A) diremo che i due eventi sono
correlati negativamente, B rende A meno probabile.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta, invece, si ottiene P(A|B)=P(A), vale a dire che il venire a conoscenza dell’evento B
non modifica la probabilità dell’evento A
ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte di
una moneta, la probabilità di avere T al secondo lancio
non è modificata dalla conoscenza dell’esito del
primo.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
DEFINIZIONE: Se P(A|B) = P(A), diremo che gli
eventi A, B sono indipendenti.
Quando gli eventi sono indipendenti la legge della
probabilità composta diviene
P(A∩B) = P(A)·P(B)
Si osserva che se P(A|B) = P(A), anche P(B|A) = P(B)
(perché?…)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ATTENZIONE! Non confondere la proprietà di
incompatibilità con quella di indipendenza!
Due eventi A, B sono incompatibili quando A∩B=Ø
In questo caso P(A∩B) =0
Due eventi A, B sono indipendenti quando
P(A∩B) =P(A)·P(B)
Quando due eventi A, B sono sia incompatibili che
indipendenti ?……