probabilita` condizionale

PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con
A l’evento “esce un punteggio inferiore a 4”
A ={1, 2, 3}
B l’evento “esce un punteggio dispari”
B = {1, 3, 5}
Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindi
P(A)=P(B)=1/2.
Supponiamo ora di essere venuti a sapere che
lanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari,
che cosa possiamo dire per la probabilità di A?
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari?
Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lo
spazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,3,5}, in questo
insieme i punteggi dispari sono due: 1,3, possiamo
quindi dire che la probabilità di ottenere un punteggio
inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari è
2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T?
Lo spazio degli eventi è
Ω={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevole
l’equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che al primo lancio si è
ottenuto T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che almeno uno dei due
lanci ha dato T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilità
richiesta è 1/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Torniamo al primo problema:
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A),
sapendo che il punteggio è dispari(evento B)?
Abbiamo detto che Ω=B={1,3,5}, in questo insieme i
punteggi inferiori a 4 sono due:1,3, l’insieme {1,3}
corrisponde di fatto a A∩B. Nel valutare la probabilità
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scritto
di fatto il rapporto tra P(A∩B)=2/6 e P(B)=3/6,
ottenendo appunto 2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
In generale, indichiamo con P(A|B) la probabilità
dell’evento A sapendo che si è verificato B, definiamo
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0
Chiameremo tale probabilità:
probabilità condizionale di A noto B
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma
P(A∩B)= P(B)·P(A|B)
Tale relazione viene detta legge delle probabilità
composte
Tale relazione esprime la probabilità dell’evento
intersezione (o evento congiunto) come prodotto tra la
probabilità di uno dei due eventi e la probabilità
condizionale dell’altro.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavie
da una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(M) e
6 di sesso femminile (F). Ci domandiamo qual è la
probabilità di scegliere due cavie entrambe di sesso F.
Possiamo pensare in termini di due estrazioni
successive dalla gabbia che contiene le cavie.
Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità di
prendere una cavia F alla prima estrazione, si ha
P(FI)=6/10
Possiamo quindi calcolare P(FII|FI), che esprime la
probabilità di prendere una cavia F alla seconda
estrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Si ottiene P(FII|FI)=5/9
La legge delle probabilità composte ci dice allora che
La probabilità di prendere due cavie entrambe F è
P(FI ∩ FII) = P(FI)·P(FII|FI) = (6/10)·(5/9) = 1/3
OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionare
secondo lo schema classico, calcolando il rapporto tra
numero casi “favorevoli” e numero casi “possibili”.
Ottenendo ?…..
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilità
condizionale, scambiando A con B, naturalmente se
P(A)>0, si ottiene
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Per l’evento congiunto, quindi possiamo dire che vale
P(A∩B)= P(B)·P(A|B), ma anche
P(A∩B)= P(A)·P(B|A)
Dunque, possiamo dire che
P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento A
è modificata dal sapere che si è verificato un evento B,
vale a dire P(A|B)≠P(A), come nel caso precedente
delle cavie, o nel caso del lancio del dado per l’evento
“esce un punteggio inferiore a 4” , sapendo che il
punteggio ottenuto è dispari.
Se P(A|B) > P(A) diremo che i due eventi sono
correlati positivamente, B rende A più probabile
ATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia una
causa di A!
Se P(A|B) < P(A) diremo che i due eventi sono
correlati negativamente, B rende A meno probabile.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta, invece, si ottiene P(A|B)=P(A),
vale a dire che il venire a conoscenza dell’evento B
non modifica la probabilità dell’evento A
ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte di
una moneta, la probabilità di avere T al secondo lancio
non è modificata dalla conoscenza dell’esito del primo.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
DEFINIZIONE: Se P(A|B) = P(A), diremo che gli
eventi A, B sono indipendenti.
Quando gli eventi sono indipendenti la legge della
probabilità composta diviene
P(A∩B) = P(A)·P(B)
Si osserva che se P(A|B) = P(A), anche P(B|A) = P(B)
(perché?…)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ATTENZIONE! Non confondere la proprietà di
incompatibilità con quella di indipendenza!
Due eventi A, B sono incompatibili quando A∩B=Ø
In questo caso P(A∩B) =0
Due eventi A, B sono indipendenti quando
P(A∩B) =P(A)·P(B)
Quando due eventi A, B sono sia incompatibili che
indipendenti ?……
TEST DIAGNOSTICI
Si chiama test diagnostico un esame effettuato per
stabilire se un dato individuo è affetto o no da una
certa malattia.
Il test, come ogni esame, ha un certo margine di errore,
può risultare positivo anche se l’individuo è sano, o
negativo se l’individuo è malato.
TEST DIAGNOSTICI
Indichiamo con
M l’evento “l’ individuo è affetto dalla malattia”
¬M l’evento “l’individuo non è affetto dalla malattia”
T+ l’evento “il test è risultato positivo”
T− l’evento “il test è risultato negativo”
Si definisce specificità del test la probabilità
condizionale P(T− | ¬M )
Si definisce sensibilità del test la probabilità
condizionale P(T+ | M )
TEST DIAGNOSTICI
Si dicono valori predittivi del test le probabilità
condizionali P(M| T+ ), P(¬M | T− )
La probabilità P(M) viene detta tasso di incidenza
della malattia
La specificità e la sensibilità del test viene testata su
campioni di individui per i quali è noto se sono o meno
affetti dalla malattia.
A partire dalla conoscenza del tasso di incidenza della
malattia e della specificità e sensibilità del test, si
calcolano i valori predittivi.
TEST DIAGNOSTICI
P(M| T+ ) = P(M)·P(T+ |M) / P(T+ )
Come calcoliamo P(T+ )?
Il test può risultare positivo se la persona è affetta dalla
malattia oppure se la persona non è affetta, ma il test ha
dato erroneamente esito +
P(T+ ) = P(M)·P(T+ |M) + P(¬M ) ·P(T+ |¬M)
Quanto vale P(T+ |¬M)?
P(T+ |¬M) = 1 - P(T− | ¬M )
TEST DIAGNOSTICI
P(M| T+ ) = P(M)·P(T+ |M) /[P(M)·P(T+ |M) + P(¬M )
·(1-P(T− | ¬M ))]
Analogamente
P(¬M | T− ) = P(¬M) ·P(T− |¬M) /[P(¬M) ·P(T− |¬M)
+ P(M)(1- P(T+ |M))]
TEST DIAGNOSTICI
Una certa malattia, presente in una data popolazione,
ha un tasso di incidenza 0.003. Un test diagnostico nei
confronti della malattia ha
sensibilità 0.999 e
specificità 0.998. Calcolare i valori predittivi del test.
Abbiamo P(M) = 0.003, P(T+ | M ) = 0.999,
P(T− | ¬M )= 0.998
Vogliamo calcolare P(M| T+ ) e P(¬M | T− )
TEST DIAGNOSTICI
P(M| T+ ) =P(M)·P(T+ |M) /[P(M)·P(T+ |M) + P(¬M )
·(1-P(T− | ¬M ))]
P(M| T+ ) =0.003·0.999/[0.003·0.999 + 0.997·0.002 ] ≈
0.6 quindi il valore predittivo del test nel caso risulti
positivo è circa del 60%, vale a dire che la probabilità
che l’individuo sia effettivamente malato è circa 0.6
TEST DIAGNOSTICI
P(¬M | T− ) = P(¬M) ·P(T− |¬M) /[P(¬M) ·P(T− |¬M)
+ P(M)(1- P(T+ |M))] = 0.997·0.998/[0.997·0.998 +
0.003·0.001]≈0.99999
Il valore predittivo in caso di esito negativo del test è
molto alto