PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con
A l’evento “esce un punteggio inferiore a 4”
A ={1, 2, 3}
B l’evento “esce un punteggio dispari”
B = {1, 3, 5}
Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,
valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindi
P(A)=P(B)=1/2.
Supponiamo ora di essere venuti a sapere che
lanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari,
che cosa possiamo dire per la probabilità di A?
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari?
Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lo
spazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,3,5}, in questo
insieme i punteggi dispari sono due: 1,3, possiamo
quindi dire che la probabilità di ottenere un punteggio
inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari è
2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T?
Lo spazio degli eventi è
Ω={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevole
l’equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che al primo lancio si è
ottenuto T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte
di ottenere due T, sapendo che almeno uno dei due
lanci ha dato T?
Lo spazio degli eventi diventa, in base
all’informazione ricevuta
Ω={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilità
richiesta è 1/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Torniamo al primo problema:
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato,
di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A),
sapendo che il punteggio è dispari(evento B)?
Abbiamo detto che Ω=B={1,3,5}, in questo insieme i
punteggi inferiori a 4 sono due:1,3, l’insieme {1,3}
corrisponde di fatto a A∩B. Nel valutare la probabilità
di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il
punteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scritto
di fatto il rapporto tra P(A∩B)=2/6 e P(B)=3/6,
ottenendo appunto 2/3
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
In generale, indichiamo con P(A|B) la probabilità
dell’evento A sapendo che si è verificato B, definiamo
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0
Chiameremo tale probabilità:
probabilità condizionale di A noto B
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma
P(A∩B)= P(B)·P(A|B)
Tale relazione viene detta legge delle probabilità
composte
Tale relazione esprime la probabilità dell’evento
intersezione (o evento congiunto) come prodotto tra la
probabilità di uno dei due eventi e la probabilità
condizionale dell’altro.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavie
da una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(M)
e 6 di sesso femminile (F). Ci domandiamo qual è la
probabilità di scegliere due cavie entrambe di sesso F.
Possiamo pensare in termini di due estrazioni
successive dalla gabbia che contiene le cavie.
Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità di
prendere una cavia F alla prima estrazione, si ha
P(FI)=6/10
Possiamo quindi calcolare P(FII|FI), che esprime la
probabilità di prendere una cavia F alla seconda
estrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Si ottiene P(FII|FI)=5/9
La legge delle probabilità composte ci dice allora che
La probabilità di prendere due cavie entrambe F è
P(FI ∩ FII) = P(FI)·P(FII|FI) = (6/10)·(5/9) = 1/3
OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionare
secondo lo schema classico, calcolando il rapporto tra
numero casi “favorevoli” e numero casi “possibili”.
Ottenendo ?…..
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilità
condizionale, scambiando A con B, naturalmente se
P(A)>0, si ottiene
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Per l’evento congiunto, quindi possiamo dire che vale
P(A∩B)= P(B)·P(A|B), ma anche
P(A∩B)= P(A)·P(B|A)
Dunque, possiamo dire che
P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento A
è modificata dal sapere che si è verificato un evento B,
vale a dire P(A|B)≠ P(A), come nel caso precedente
delle cavie, o nel caso del lancio del dado per l’evento
“esce un punteggio inferiore a 4” , sapendo che il
punteggio ottenuto è dispari.
Se P(A|B) > P(A) diremo che i due eventi sono
correlati positivamente, B rende A più probabile
ATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia una
causa di A!
Se P(A|B) < P(A) diremo che i due eventi sono
correlati negativamente, B rende A meno probabile.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
Talvolta, invece, si ottiene P(A|B)=P(A),
vale a dire che il venire a conoscenza dell’evento B
non modifica la probabilità dell’evento A
ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte di
una moneta, la probabilità di avere T al secondo lancio
non è modificata dalla conoscenza dell’esito del primo.
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
DEFINIZIONE: Se P(A|B) = P(A), diremo che gli
eventi A, B sono indipendenti.
Quando gli eventi sono indipendenti la legge della
probabilità composta diviene
P(A∩B) = P(A)·P(B)
Si osserva che se P(A|B) = P(A), anche P(B|A) = P(B)
(perché?…)
PROBABILITA’ CONDIZIONALE
ATTENZIONE! Non confondere la proprietà di
incompatibilità con quella di indipendenza!
Due eventi A, B sono incompatibili quando A∩B=Ø
In questo caso P(A∩B) =0
Due eventi A, B sono indipendenti quando
P(A∩B) =P(A)·P(B)
Quando due eventi A, B sono sia incompatibili che
indipendenti ?……
