scritto del 6-7-risoluzione

APPELLO DI MATEMATICA DISCRETA DEL 6-7-2015Prova di Logica
(i quesiti contrassegnati con * riguardano solo gli studenti di Informatica)
1. La proprietà transitiva della inclusione insiemistica è:
(AB  BC)  AC.
a) mostrala intuitivamente con una rappresentazione grafica
A
B
C
b) tramite trasformazioni dimostrare che è equivalente alla
formula
BC ( AB  AC)
Partendo da (AB  BC)  AC, questa è equivalente a
( AB  BC)  AC,
per de Morgan equivalente a
AB  BC  AC,
e quindi
BC  (AB  AC) e quindi
BC  (AB  AC) e da qui la tesi
c) tradurla in una formula della logica dei predicati, usando il
predicato binario .
(x (xA  xB)  x (xB  xC))  x (xA  xC)
d) Dimostrare tale formula (tautologia) con la deduzione naturale.
O la si dimostra come tautologia partendo dall’insieme vuoto di premesse
o si usa il teorema di deduzione per scriverla come
x (xA  xB), x (xB  xC)  x (xA  xC)
x (xA  xB )
premessa
x (xB  xC)
tA
premessa
assunzione per -intro
x (xA  xB) import
tA  tB
-elim
tB
-elim
x (xB  xC)
import
tB  tC
-elim
tC
-elim
tA  tC
export per -intro
x (xA  xC)
-intro
e) * Dimostrarla con le tavole semantiche.
x (xA  xB )
x (xB  xC)
x (xA  xC)
x (xA  xB )
x (xB  xC)
(dA  dC)
x (xA  xB )
x (xB  xC)
dA
 dC
dA  dB
dB  dC
dA
 dC
x …….
dA
dB
dB  dC
dB  dC
dA
 dC
x ……
dA
 dC
x ……
dB
dB
dA
 dC
x ……
dB
dC
dA
 dC
x …..
2. a) Scrivere come formule della logica dei predicati (con
uguaglianza) le frasi: “Solo 0 e 1 soddisfano l’equazione x2 = x.”,
“Per il  vale la proprietà commutativa ed esiste l’elemento
identico”
x (x2 = x)  x=0  x=1
x y (xy = yx)  z x xz = zx = x
b) skolemizzare la formula: x y z yz=zy=x,
y yf(y)=f(y)y=c
c) interpretare la  come il prodotto tra numeri, e usare come
universo del discorso , e -{0}. In quali di queste interpretazioni
la formula è soddisfatta, e perchè?
Se l’universo del discorso è -{0} la formula è soddisfatta,
l’interpretazione più ovvia si ha interpretando f(y)= c y-1 e c=1 (ma
andrebbe bene ogni valore di c): Infatti lo 0 è l’unico elemento di 
che non ammette inverso. Se invece l‘universo è  questa
interpretazione non la soddisfa ma la formula viene soddisfatta da
c=0 e f(y)=0.
3. Che cosa è il ‘general theorem prover’ (gtp)? Qual è un gtp nella
logica delle proposizioni? E’ decidibile?
*Conosci dei gtp nella logica dei predicati? Sono decidibili?
Il gtp è un algoritmo che ha in input un sistema di assiomi e una
formula e in output dice se la formula è dimostrabile o no dagli
assiomi (è un teorema o no). Per la logica delle proposizioni il gtp è
dato da una tavola delle verità: se in tutte le interpretazioni in cui
sono soddisfatti gli assiomi la formula è soddisfatta allora la formula
è dimostrabile (un teorema), ed il gtp è decidibile poiché l’algoritmo
si ferma sempre. Per la logica dei predicati il gtp è dato dalle tavole
semantiche (o dalla risoluzione): se la tavola semantica formata
dagli assiomi e dalla negazione della formula è sempre chiusa, allora
la formula è dimostrabile dagli assiomi (è un teorema). Il gtp è solo
semidecidibile poiché possono crearsi rami infiniti di tavole aperte
nel caso di risposta negativa. Usando la risoluzione applicata agli
assiomi e alla negazione della formula, se si ricava una
contraddizione la formula è un teorema, altrimenti no e l’algoritmo
potrebbe anche non terminare (semidecidibilità).