Lumbar Lordosis and Pelvic

Principio di induzione
1. Enunciare il principio di induzione matematica e applicarlo alla dimostrazione della
2
 n 
seguente relazione:  i    i  la quale esprime una proprietà dei numeri naturali
i 1
 i 1 
conosciuta come “teorema di Nicomaco” (da Nicomaco di Cerasa, filosofo e matematico
ellenico vissuto intorno all’ anno 100 d. C.).
n
3
Soluzione
Il principio di induzione afferma: “Se un’ affermazione è vera per un numero naturale n0
(n = 0 o n = 1) e, supposto che sia vera per un numero naturale n, si dimostra che è vera
per il suo successivo n + 1, allora è vera per ogni numero naturale n  n0”.
2
 n 
La relazione  i    i  è vera per n = 1 e quindi i3 = i2.
i 1
 i 1 
Si deve mostrare che, supposta vera per un certo numero naturale n non nullo, allora è
n
3
2
 n 
vera anche per n + 1, cioè se è vera  i    i  deve essere anche vera
i 1
 i 1 
n
3
nn  1
 n 
 nn  1
i
, si ha   i   

 . Si può scrivere
2
 2 
i 1
 i 1 
2
n
Ricordando che
2
 n1 
i

 i  .

i 1
 i 1 
n 1
3
2
 n 
 nn  1
3
3




i

1

2

...

n

n

1

i

n

1

  i   n  1  


  n  1 
2


i 1
i 1
 i 1 
n 1
3
3
3
n  12 n  22

2
n
3
3
2
3
3
2
 n 1 
 i .
4
 i 1 
E’ quindi dimostrato che vale per ogni n.
n
n
2. Dimostrare la disuguaglianza n!    e dedurre che 300! 100 300 .
e
Soluzione (dimostrazione per induzione) La disuguaglianza è vera se n = 1: infatti
1
k
1
k
1!    ; supponendola allora vera per n = k (cioè è vero che k!   ), dobbiamo
e
e
provare che è vera per k + 1. Moltiplicando entrambi i membri per k + 1, si ottiene:
k
k  1k! k  1!  k  k  1.
e
k  1!  k  1 
 e 
k 1

e
 1
1  
 k
k
Moltiplica ndo e / o dividendo per
e
k  1k
, si ottiene
.
k 1
e  k 1
 1
 k 1
Poiché 1    e , a maggior ragione si avrà k  1! 
  

e  e 
 e 
 k
Essendo allora la disuguaglianza vera anche per k + 1, è vera per ogni n. In
k
 300 
particolare, 300! 

 3 
300
 100 300.
1
k 1
.
1. Calcolare il valore della seguente somma: 12  2 2  3 2  ...  100 2 .
Soluzione
nn  12n  1
. Per
6
induzione, dal momento che la formula vale per n = 1, supposto che sia vera per un certo n,
nn  12n  1
Sn 
, si deve provare che vale anche per n + 1, cioè che
6
n  1n  1  12n  2  1  n  1n  22n  3 .
S n 1 
6
6


n
n

1
2
n  1
2
2
 n  1 ; sommando e scomponendo in
Si ha S n 1  12  ...  n 2  n  1 
6
fattori si dimostra che la formula vale anche per n + 1. In questo caso
100  101  201
S100 
 338350.
6
La somma dei quadrati dei primi n numeri interi è data da S n 
2