Analisi Numerica e Laboratorio (Mat/08)
Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2010-2011
II anno - primo semestre - CFU 9 - codice F1M060
docente : Chiara SIMEONI - [email protected]
Scopo principale del corso e' illustrare i fondamenti matematici dei metodi
numerici per il calcolo scientifico nel contesto di vari campi (analisi, algebra
lineare, geometria, ottimizzazione, …) ed in generale delle scienze applicate
(fisica, biologia, ingegneria, economia e finanza, …)
Le proprietà di stabilita', accuratezza e complessità saranno analizzate per
diversi algoritmi numerici, anche attraverso esempi ed applicazioni, con
l'obiettivo di orientarsi nella scelta del metodo di risoluzione
appropriato per ogni specifico problema.
Le lezioni teoriche saranno accompagnate dalle esercitazioni e dalle sessioni
di laboratorio (per un terzo del volume del corso) e l'esame si articolera' in
tre fasi distinte :
- prova scritta (corrispondente a 4 crediti formativi) con una valutazione
fino a 13 punti
(e' consentito consultare testi ed appunti personali, si deve esibire un
documento d'identita' valido
ed una prova formale della propedeuticita' con il superamento dell'esame di
Analisi Matematica II)
- prova di laboratorio (corrispondente a 3 crediti formativi) con una
valutazione fino a 10 punti
- prova orale (corrispondente a 2 crediti formativi) con una valutazione
compresa tra 4 e 7 punti
(e' possibile sostenere la prova orale durante il corso oppure alla fine del
semestre)
Programma sintetico : Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti ed
iterativi,
approssimazione di autovalori ed autovettori, risoluzione di equazioni (e
sistemi) non lineari,
approssimazione polinomiale di funzioni e dati, integrazione numerica,
introduzione alla
risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie.
Programma dettagliato :
1) Fondamenti della matematica numerica : buona posizione e numero di
condizionamento di un problema, consistenza e stabilita' dei metodi
numerici, relazioni tra stabilita' e convergenza, analisi a priori ed a posteriori,
errori nei modelli computazioni, rappresentazione dei numeri sul calcolatore
(sistema posizionale, numeri floating-point, arrotondamento di un numero
reale), aritmetica IEC/IEEE, operazioni di macchina in virgola mobile.
2) Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti : analisi di stabilita' per
sistemi lineari (numero di condizionamento di una matrice, analisi a priori in
avanti, analisi a priori all'indietro, analisi a posteriori), sistemi triangolari,
aspetti implementativi del metodo delle sostituzioni, calcolo dell'inversa di
una matrice triangolare, il metodo di eliminazione di Gauss e la
fattorizzazione LU, effetto degli errori di arrotondamento, forme compatte di
fattorizzazione (metodi di Crout e di Doolittle), fattorizzazione LDM, matrici
simmetriche definite positive e fattorizzazione di Cholesky, matrici
rettangolari e fattorizzazione QR, pivoting, il calcolo dell'inversa di una
matrice, sistemi a banda (matrici tridiagonali ed aspetti computazioni),
sistemi a blocchi (fattorizzazione LU, calcolo dell'inversa, sistemi tridiagonali),
accuratezza della soluzione generata dal metodo di eliminazione di Gauss,
calcolo approssimato del numero di condizionamento, aumento
dell'accuratezza numerica (equilibratura e raffinamento iterativo), sistemi
indeterminati.
3) Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi : convergenza dei metodi
iterativi, metodi iterativi lineari, metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e del
rilassamento, risultati di convergenza, caso delle matrici a blocchi, forma
simmetrica dei metodi di Gauss-Seidel e SOR, metodi iterativi stazionari e
non stazionari, analisi di convergenza per il metodo di Richardson, matrici di
precondizionamento, il metodo del gradiente, il metodo del gradiente
coniugato ed il metodo del gradiente coniugato precondizionato, criteri di
arresto per metodi iterativi (controllo dell'incremento e controllo del residuo).
4) Approssimazione di autovalori ed autovettori : localizzazione geometrica
degli autovalori, teoremi
di Gershgorin, analisi di stabilita' e condizionamento (stime a priori ed a
posteriori), il metodo delle potenze, calcolo dell'autovalore di modulo
massimo e di modulo minimo, aspetti computazionali e di implementazione,
metodi basati sulle iterazioni QR, convergenza del metodo QR, il metodo QR
per matrici in forma di Hessenberg, matrici di trasformazione di Householder
e di Givens, riduzione e fattorizzazione QR di una matrice in forma di
Hessenberg, aspetti implementativi del metodo Hessenberg-QR, aspetti di
implementazione delle matrici di trasformazione, il metodo QR con shift,
metodi per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche (metodo di Jacobi e
metodo delle successioni di Sturm).
5) Risoluzione di equazioni (e sistemi) non lineari : condizionamento di
un'equazione non lineare, approccio geometrico per la ricerca delle radici, il
metodo di bisezione, i metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton, il
metodo delle iterazioni di punto fisso, risultati di convergenza per il metodo
delle corde e di Newton, radici di polinomi algebrici, il metodo di Horner e la
deflazione, il metodo di Newton-Horner, il metodo di Muller, criteri d'arresto
(controllo del residuo e controllo dell'incremento), tecniche di post-processing
per metodi iterativi, la tecnica di accelerazione di Aitken, tecniche per il
trattamento di radici multiple, introduzione alla risoluzione di sistemi di
equazioni non lineari…
6) Approssimazione polinomiale di funzioni e dati : interpolazione
polinomiale, limiti dell'interpolazione
polinomiale su nodi equispaziati e contro-esempio di Runge, stabilita'
dell'interpolazione polinomiale, forma di Newton del polinomio interpolatore,
proprietà delle differenze divise di Newton, l'errore di
interpolazione, interpolazione composita di Lagrange, interpolazione di
Hermite-Birkoff, funzioni spline, spline cubiche interpolatorie, B-spline, curve
spline di tipo parametrico.
7) Integrazione numerica : formule di quadratura interpolatorie (formula del
punto medio o del rettangolo, formula del trapezio, formula di CavalieriSimpson), formule di Newton-Cotes e formule
composite, integrazione automatica, algoritmi di integrazione adattivi e non
adattivi.
Suggerimenti bibliografici :
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica. Springer Collana Unitext, 2000
A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico. Esercizi e
problemi risolti
con MatLab. Springer - Collana Unitext, 2002
G. Naldi, L. Pareschi, G. Russo, Introduzione al Calcolo Scientifico. Metodi e
Applicazioni
con MatLab. McGraw-Hill, 2001
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare,
Zanichelli, 1988
G. Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino 1985
J. Stoer, R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, Springer, 1993
