A.A. 2009/2010
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE
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FACOLTA’ DI INGEGNERIA
PROGRAMMA DEL CORSO DI
DOCENTE
ANALISI NUMERICA I
Alfredo BELLEN
PREMESSE: Conoscenze di base del linguaggio MATLAB e delle funzioni relative ai
temi trattati nel corso. Files script e function. Rappresentazione floating point dei numeri
reali. Errore assoluto e relativo. L’epsilon di macchina. Stabilita’ come dipendenza dalle
perturbazioni sui dati di un problema e di un algoritmo. Analisi differenziale dell’errore e
indici di condizionamento.Calcolo dell’epsilon di macchina. Esempi.
INTERPOLAZIONE. Approssimazioni di funzioni. Varie classi di approssimazione
(polinomi algebrici, trigonometrici, esponenziali, polinomi a tratti, splines, ecc).
Polinomio di Taylor. I e II Teorema di Weierstrass. Polinomi di Bernstein. Interpolazione
di Lagrange. Determinante di Vandermonde. Stima dell'errore per funzioni di classe C.
Il caso dei nodi equidistanti. Il fenomeno di Runge. Polinomi di Chebishev e sua
proprieta’ ottimale. Differenze divise e polinomio di Newton. Nodi semplici e multipli.
Interpolazione di Hermite e di Birkoff. Interpolazioni a tratti: errore e convergenza.
Interpolazione “shape preserving”. Interpolazione con funzioni spline cubiche naturali,
periodiche, complete e not-a-knote.
Interpolazione trigonometrica e base esponenziale complessa. Trasformata discreta di
fourier DFT e trasformata inversa IDFT.Applicazione della DFT: filtraggio e ricerca di
cicli nei dati. La trasformata rapida FFT
MINIMI QUADRATI: Interpolazione sopradimensionata e sistemi lineari
sopradimensionati. Premesse di algebra lineare. Soluzione ai minimi quadrati.
L’equazione normale. Esistenza e unicita’ della soluzione ai minimi quadrati. Matrici di
rango massimo e non singolarita’ di ATA. La fattorizzazione QR e l’indice di
condizionamento.
FORMULE DI QUADRATURA E APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONALI LINEARI.
Formule Lagrangiane e di Newton-Cotes. Ordine polinomiale per n pari e dispari. Stima
dell'errore e convergenza in base all’ordine polinomiale. Formule composte dei trapezi e
di Cavalieri-Simpson e loro ordine di convergenza. Soglia d’errore di discretizzazione +
errore di troncamento. Estrapolazione di Richardson e quadratura adattativa. Sviliuppo
asintotico dell’errore delle formule di quadratura e di altri funzionali lineari (derivata
prima, derivata seconda).
ALGEBRA LINEARE. Premesse di algebra lineare: Notazione "colonna" dei vettori.
Prodotto scalare e prodotto di matrici. Forme quadratiche, matrici simmetriche,
hermitiane, ortogonali ed unitarie. Matrici di permutazione. Autovalori ed autovettori.
Polinomio caratteristico associato. Matrici definite e semidefinite. Teorema di
Gerschgorin.. Norme di vettori e di matrici. Equivalenza delle norme. Norme compatibili.
Raggio spettrale e sue proprietà. Le norme ||A||1, ||A||2, ||A||. Serie di von Neumann e
condizioni di convergenza. Sistemi lineari strutturati derivati da discretizzazioni di
equazioni differanziali. Discretizzazione del problema dei due punti e positivita’ della
matrice tridiagonale. La matrice di Hilbert ed i sistemi mal condizionati come esempio di
fallacita’ del criterio del residuo per la stima dell’errore.
RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI. Splitting e Metodi iterativi. Il metodo di Jacobi: e
di Gauss-Seidel. Convergenza per matrici a predominanza diagonale e per matrici
tridiagonali Caratteristiche di parallelizzabilita’ del metodi di Jacobi. Criteri d’arresto a
“priori” e “a posteriori”.
Il metodo di riduzione di Gauss e la fattorizzazione LU. Strategie con e senza "pivoting".
Unicità della fattorizzazione LU. Algoritmo della pavimentazione e fattorizzazione di
Choleski. Complessita’ computazionale. Lemma di perturbazione di Banach.
Condizionamento del sistema lineare e indici di condizionamento della matrice. Calcolo
del residuo e stima dell'errore. Analisi “all’indietro” di Wilkinson. Rafinamento iterativo.
EQUAZIONI NON LINEARI. Metodo dicotomico, metodi iterativi e teorema generale di
convergenza per il problema di punto fisso per equazioni scalari e per sistemi.Iterazione
di Picard. Metodo di Newton e delle secanti nel caso scalare e loro ordine di
convergenza. Stima dell’errore e criterio di convergenza locale. Il caso delle radici
multiple. Cenni sui sistemi di equazioni. Il metodo di Newton-Raphson, Newton
modificato e delle secanti. Metodo dell’omotopia per i sistemi.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI: Il problema di Cauchy. Metodi di Eulero Esplicito, Eulero
implicito e Trapezi. Formato generale di un metodo a un passo con la funzione
incrementale. Errore locale di discretizzazione ed errore di propagazione. Teorema di
convergenza dei metodi a un passo e ordine di convergenza globale. La condizione di
stabilita’ per la crescita lineare dell’errore rispetto alla finestra di integrazione. Il metodo
di Heun come perturbazione del metodo dei trapezi. La lipschitzianita’ della funzione
incrementale dei tre metodi E.E. E.I. e TR. La A-stabilita’. La funzione di A-stabilita’ dei 3
metodi e loro regione di stabilita’. Risolubilita’ dei metodi impliciti con l’iterazione di
Picard.
TESTI CONSIGLIATI:
A. Bellen: Corso di Analisi Numerica (gia’ :Calcolo Numerico Triennale)
(appunti disponibili in rete http://www.dmi.units.it/~bellen )
L. Torelli e S. Maset: Introduzione a MATLAB (appunti disponibili in rete
http://www.dmi.units.it/corsi )
