POLITECNICO DI BARI
Anno Accademico 2016-2017
Programma del Corso di ANALISI MATEMATICA - modulo A
Classe I
Prof. A. Pomponio
NUMERI REALI
Assiomi dei numeri reali. Insiemi separati, insiemi contigui. Intervalli e loro proprietà.
Rappresentazione geometrica di R e R2 . Assioma di completezza dei numeri reali. Conseguenze degli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali,
interi e razionali. Estremo superiore, estremo inferiore, minimo e massimo di un insieme
numerico: definizioni e caratterizzazioni. Teorema sull’esistenza dell’estremo superiore∗ .
Teorema sull’esistenza del minimo di un insieme in N. Illimitatezza superiore di N∗ . Proprietà archimedea dei numeri reali∗ . Proprietà di densità dei numeri razionali e irrazionali in R∗ . Principio di induzione.
NUMERI COMPLESSI
Definizione dei numeri complessi, unità immaginaria. Operazioni con i numeri complessi, addizione, moltiplicazione, reciproco di un numero complesso, divisione tra numeri
complessi. Complesso coniugato, modulo di un numero complesso, argomenti di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre∗ .
Radici di un numero complesso e relativa formula∗ .
PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
Funzioni e rappresentazione dei numeri reali. Funzioni reali e proprietà. Funzioni invertibili, funzioni monotone, funzioni pari, funzioni dispari, funzioni periodiche. Funzioni composte. Valore assoluto di un numero reale e proprietà. Le funzioni elementari:
potenze, radici, esponenziali, logaritmiche, funzioni trigonometriche e loro inverse. Minimi e massimi locali.
LIMITI DI FUNZIONI
L’insieme dei numeri reali ampliato ed operazioni su tale insieme. Intorni di un punto
della retta reale estesa. Punti di accumulazione di un insieme numerico. Limite di una
funzione reale di variabile reale. Successioni di numeri reali. Limiti di successioni di numeri reali. Criterio del rapporto∗ . Legami tra limiti di funzioni e limiti di successioni.
Limite a destra e limite a sinistra. Limiti delle restrizioni∗ . Operazioni sui limiti, forme
indeterminate. Limiti notevoli∗ . Limiti delle funzioni composte. Limiti delle funzioni
monotone. Unicità del limite∗ . Teoremi del confronto∗ . Teorema di permanenza del
segno∗ . Asintoti di un grafico.
FUNZIONI CONTINUE
Funzioni continue e proprietà. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue∗ .
Continuità delle funzioni composte. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo:
Teorema di Weierstrass, Teorema degli zeri di Bolzano, Teorema dei valori intermedi∗ .
Continuità delle funzioni elementari.
DERIVATE
Definizione di derivata, derivata a destra e derivata a sinistra. Interpretazione geometrica
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Con dimostrazione
e cinematica della derivata. Retta tangente al grafico. Regole di derivazione. Derivazione
della funzione composta. Derivazione della funzione inversa∗ . Derivata delle funzioni
elementari. Derivate di ordine superiore.
APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Teorema di Fermat∗ . Teorema di Rolle∗ . Teorema di Lagrange∗ . Conseguenze del teorema
di Lagrange. I Teoremi di de L’Hopital ed applicazioni ai limiti. Criterio di monotonia∗ .
Criterio di stretta monotonia. Concavità, convessità, flessi. Criterio di convessità∗ . Rapporto tra punti di minimi e massimi relativi e derivata seconda∗ . La formula di Taylor
con il resto di Peano∗ . La formula di Taylor con il resto di Lagrange. Studio del grafico di
una funzione.
TESTI CONSIGLIATI
• M. BRAMANTI, C. PAGANI, S. SALSA: Analisi matematica 1. Zanichelli.
• P. MARCELLINI, C. SBORDONE: Elementi di Analisi Matematica uno. Liguori
Editore.
• P. MARCELLINI, C. SBORDONE: Esercitazioni di Matematica, Vol. 1. Liguori Editore.
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Con dimostrazione
