integrali impropri

INTEGRALI IMPROPRI
c
Paola
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1
Abbiamo visto che l’integrale di Riemann è definito per funzioni
limitate e su intervalli limitati.
Sia ora I ⊆ R un intervallo non necessariamente limitato e f non
necessariamente limitata.
Z
Def. Un integrale f (x)dx si dice improprio se I è illimitato
I
oppure se I è limitato, ma f non è limitata su I .
I = [1, +∞) è illimitato ,
y
I = (0, 1] è limitato, f è illimitata su I .
y
f (x)
1
f (x)
x
c
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1
Integrali impropri
x
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2
Integrale su intervalli illimitati
Def. Sia I = [a, +∞) ⊂ R, sia f localmente integrabile su I
secondo Riemann e sia Fa (x) la funzione integrale di f (t) t.c.
Fa (a) = 0. Definiamo
Z
+∞
f (t)dt = lim
a
Z
x
x→+∞ a
|
f (t)dt = lim Fa (x)
x→+∞
{z }
Fa (x)
e l’integrale a sinistra è detto integrale improprio di f su [a, +∞).
1
Se il limite esiste finito, diciamo che f è integrabile in senso
improprio su I o che il suo integrale improprio converge
2
se il limite esiste infinito, diciamo che l’integrale improprio di
f è divergente
3
se il limite NON esiste, diciamo che l’integrale improprio di f
è oscillante
c
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3
Esempi
Z
∞
Z0 ∞
Z1 ∞
e −x dx
è convergente
1
dx
x
è divergente
cos(x)dx
è oscillante
0
c
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4
Teorema Se f è una funzione positiva e localmente integrabile,
allora il suo integrale improprio o converge o diverge (non può
oscillare).
Dim. Ricordiamo che se f : [a, +∞) → R è localmente
Z x integrabile
f (t)dt è
e positiva, allora la sua funzione integrale Fa (x) =
a
crescente. Inoltre (per il teorema del limite di funzioni monotone
[si veda cap3a.pdf, pag. 30]) se una funzione Fa (x) definita in un
intorno di +∞ è monotona crescente, allora il lim Fa (x) esiste e
x→+∞
può essere finito o infinito.
Oss. Se f è positiva e lim f (x) = ℓ > 0 o lim f (x) = +∞,
x→+∞
x→+∞
Z +∞
f (x)dx è divergente.
allora
a
c
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5
Teorema
Z
+∞
1
1
dx
xα
converge
diverge
se α > 1
se α ≤ 1
Dimostrazione
Z +∞
1
dx =
xα
1

Z x
 [log(t)]x1
se α = 1
1
1−α x
1
dt
=
lim
= lim
x→+∞ 
x→+∞ 1 t α
se α 6= 1
t
1
 1−α
 log(x)
se α = 1
1
= lim
x→+∞ 
(x 1−α − 1) se α 6= 1
1−α

 +∞
se α ≤ 1
1
=
se α > 1

α−1
Oss. Il comportamento è analogo a quello della serie armonica
∞
X
1
generalizzata
.
nα
n=1
c
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6
La funzione f (x) = 1/x α per x > 1
α=1
α=2
α = 0.5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
c
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x
6
8
Integrali impropri
10
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7
Criterio del confronto
A volte non è possibile calcolare esplicitamente la funzione
2
integrale di una funzione f data (ad es. f (x) = e −x non è
integrabile elementarmente),
però si riesce comunque a stabilire se
Z
+∞
f (x)dx converge o diverge. Si utilizza
l’integrale improprio
a
un criterio del confronto
Teorema (Criterio del confronto analogo a quello delle serie).
Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a, +∞), t.c.
0 ≤ f (x) ≤ g (x), ∀x ∈ I . Allora
Z +∞
Z +∞
g (x)dx
f (x)dx ≤
0≤
a
a
Z
+∞
Z
f (x)dx diverge, allora
e: se
a
Z
Z +∞
g (x)dx converge, allora
se
a
c
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+∞
g (x)dx diverge
a
+∞
f (x)dx converge.
a
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8
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio
Z +∞
2
e −x dx.
1
2
Per x > 1 si ha x 2 > x, quindi −x 2 < −x e e −x < e −x
(ricordiamo che l’esponenziale è una funzione crescente e che la
composizione tra una funzione crescente ed una funzione
decrescente è una funzione decrescente).
Per
il criterio delZconfronto si ha allora
Z +∞
+∞
2
e −x dx.
e −x dx <
1
1
Studiamo
Z
+∞
e
−x
dx
1
Z
= lim
x→+∞ 1
x
e −t dt
= lim [−e −t ]x1 = lim (e −1 − e −x ) = e −1
x→+∞
x→+∞
R +∞
Quindi 1 e −x dx è convergente e, per il criterio del confronto lo
R +∞
2
è anche 1 e −x dx.
c
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9
Criterio di convergenza assoluta
Teorema. Sia f una funzione localmente Zintegrabile su
+∞
|f (x)|dx converga.
I = [a, +∞) a segno variabile e tale che
a
Z +∞
f (x)dx converge e si ha:
Allora anche
a
Z
a
+∞
Z
f (x)dx ≤
+∞
|f (x)|dx.
a
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale
Z
+∞
1
cos x
dx.
x2
cos x
è a segno variabile, ne considero il valore
La funzione integranda f (x) =
x2
assoluto. 1
cos x |f (x)| = 2 ≤ 2 , ∀x ∈ I = [1, +∞). Poiché l’integrale improprio di x12 su
x
x
Z +∞ cos x [1, +∞) è convergente, per il criterio del confronto, anche
2 dx
x
1
converge
e, per il criterio di convergenza assoluta, converge anche
Z +∞
cos x
dx.
x2
1
c
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10
Criterio del confronto asintotico
Sia α ∈ R e f (x) = x1α .
Se α > 0, f (x) è infinitesima quando x → ∞,
se α = 0, f (x) = 1 costante
se α < 0, f (x) è infinita quando x → ∞,
Teorema. Sia f localmente integrabile su I = [a, +∞) e t.c.
ℓ
f (x)
α = ℓ 6= 0, ℓ ∈ R, cioè f (x) ∼ α per x → +∞.
lim
1
x→+∞
x
x
Allora
Z +∞
Z +∞
1
f (x)dx converge ⇔
dx converge ⇔ α > 1
α
x
a
a
Z +∞
Z +∞
1
dx diverge
⇔α≤1
f (x)dx diverge
⇔
α
x
a
a
ℓ
per x → +∞ vuol dire che f si comporta
xα
α
come ℓ/x per x → +∞, cioè è infinita o infinitesima dello stesso
ordine di 1/x α .
Oss. Dire f (x) ∼
c
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11
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio
Z
+∞
x + cos x
dx.
x 3 + sin x
1
x + cos x
1
La funzione integranda f (x) = 3
è f (x) ∼ 2 per
x + sin x
x
x → +∞, quindi abbiamo α = 2 e, per il criterio del confronto
asintotico, l’integrale dato converge.
Es. Esaminare il comportamento degli integrali impropri
Z +∞
Z +∞
arctan x
arctan x
dx.
dx,
2
x
x
1
1
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12
Teorema di McLaurin
Sia f : [1, +∞) → R monotona. Allora
+∞
X
f (n)
n=1
e
Z
+∞
f (x)dx
1
sono entrambi convergenti o divergenti.
Es. Lo abbiamo già osservato con la serie armonica generalizzata:
Z +∞
+∞
X
1
1
converge ⇐⇒
dx converge
α
n
xα
1
n=1
Es. Esaminare il comportamento
dell’integrale
Z +∞
sin5 x1
dx
log(x 2 + 1) − 2 log(x)
1
c
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13
Z
+∞
a
1
dx con a > 1 e α, β ∈ R
x α (log x)β
Il comportamento dell’integrale dipende da α e β.
Z
+∞
a
1
α
x (log x)β
converge se (α > 1 e ∀β) o se (α = 1 e β > 1)
diverge in tutti gli altri casi
β
1
c
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1
α
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14
Oss. Se f è localmente integrabile su I = (−∞, b], l’integrale
improprio di f su I è definito come
Z
b
f (x)dx = lim
−∞
Z
x→−∞ x
b
f (t)dt.
.
c
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15
Integrali di funzioni non limitate
Sia I = [a, b), sia f una funzione localmente integrabile su I , non
definita in x = b (ad es. con lim f (x) = ∞) e sia Fa (x) la
x→b−
funzione integrale di f (x).
Def. Definiamo
Z b
Z x
f (x)dx = lim
f (t)dt = lim Fa (x)
x→b−
x→b− a
a
| {z }
Fa (x)
e l’integrale a sinistra è detto integrale improprio di f su [a, b).
1
2
3
Se il limite esiste finito, diciamo che f è integrabile in senso
improprio su I o che il suo integrale improprio converge
se il limite esiste infinito, diciamo che l’integrale improprio di
f è divergente
se il limite NON esiste, diciamo che l’integrale improprio di f
è oscillante
c
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16
Osservazione Se I = (a, b] e f è una funzione localmente
integrabile su (a, b], ma non necessariamente definita in x = a (ad
es. con lim f (x) = ∞), si definisce in maniera analoga
x→a+
Z
a
b
f (x)dx = lim+
x→a
Z
b
f (t)dt
x
e l’integrale a sinistra è detto integrale improprio di f su (a, b].
.
c
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17
Teorema
Z
1
0
1
dx
xα
converge
diverge
se α < 1
se α ≥ 1
Dimostrazione
Z
1
1
dx =
α
0 x

Z 1
 [log(t)]1x
se
1
1−α 1
dt
=
lim
= lim+
1
α
t
se
x→0+ 
x→0
x t
x
 1−α
 − log(x)
1
= lim+
(1 − x 1−α )
x→0 
1
−
α

+∞
se α = 1


1
=
se α < 1

 1−α
+∞
se α > 1
c
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Integrali impropri
α=1
α 6= 1
se α = 1
se α 6= 1
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18
La funzione f (x) = 1/x α per 0 < x < 1
10
α=1
α=2
α = 0.5
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
c
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0.6
x
0.8
1
Integrali impropri
1.2
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19
La funzione f (x) = 1/x α per x > 0
10
α=1
α=2
α = 0.5
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
c
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x
3
4
Integrali impropri
5
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20
Z
1
0
1
dx
(1 − x)α
Con la sostituzione s = ϕ(x) = 1 − x (per cui
ds = ϕ′ (x)dx = −dx) si ha
Z
1
0
1
dx
(1 − x)α
Quindi
Z
0
1
=−
Z
0
1
1
ds =
sα
Z
0
1
1
ds =
sα
1
dx si comporta come
(1 − x)α
c
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Z
Integrali impropri
0
1
(
CONV
se α < 1
DIV
se α ≥ 1
1
dx
xα
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21
La funzione f (x) = 1/(1 − x)α per x < 1
10
9
α=1
α=2
α = 0.5
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−2
−1.5
−1
−0.5
c
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x
0
0.5
Integrali impropri
1
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22
Z
b
a
1
dx
(x − a)α Z
1
1
ds, cioè
α
0 s
CONVERGE se α < 1 e DIVERGE se α ≥ 1.
si comporta come
Z
b
a
1
dx
(b − x)α Z
1
1
ds, che a sua volta si comporta
si comporta come
α
0 (1 − s)
Z 1
1
dz cioè
come
α
0 z
CONVERGE se α < 1 e DIVERGE se α ≥ 1.
c
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23
Z
0
1/2
1
dx con α, β ∈ R
x α (log x)β
Il comportamento dell’integrale dipende da α e β.
Z
1/2
0
1
α
x (log x)β
converge se (α < 1 e ∀β) o se (α = 1 e β > 1)
diverge in tutti gli altri casi
c
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β
1
1
Integrali impropri
α
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Criterio del confronto (su intervalli limitati)
Teorema.
Siano f e g due funzioni localmente integrabili su I = [a, b), t.c.
0 ≤ f (x) ≤ g (x), ∀x ∈ I = [a, b). Allora
0≤
Z
b
f (t)dt ≤
a
Z
b
b
g (t)dt
a
Z
f (t)dt diverge, allora
e: se
Z ba
Z
se
g (t)dt converge, allora
a
Z
b
g (t)dt diverge
a
b
f (t)dt converge.
a
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale improprio
Z 4r
x −2
dx.
4−x
2
c
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25
Criterio del confronto asintotico
Teorema. Sia f localmente integrabile su I = [a, b) e t.c.
f (x)
ℓ
α = ℓ 6= 0, ℓ ∈ R, cioè f (x) ∼
per x → b − .
lim −
1
(b − x)α
x→b
b−x
Allora
Z b
Z b
1
f (x)dx converge ⇔
dx converge ⇔ α < 1
α
a (b − x)
a
Z b
Z b
1
f (x)dx diverge
⇔
dx diverge
⇔α≥1
(b
−
x)α
a
a
c
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26
analogamente:
Teorema. Sia f localmente integrabile su I = (a, b] e t.c.
f (x)
ℓ
α = ℓ 6= 0, ℓ ∈ R, cioè f (x) ∼
lim per x → a+ .
1
(x − a)α
x→a+
x−a
Allora
Z b
Z b
1
f (x)dx converge ⇔
dx converge ⇔ α < 1
(x − a)α
Za b
Za b
1
dx diverge
⇔α≥1
f (x)dx diverge
⇔
α
a (x − a)
a
Es. Esaminare il comportamento dell’integrale
Z
2
log(x − 1)
dx.
3
3 x − 4x 2 + 4x
2
Riferimenti bibliografici. Canuto Tabacco, cap.10.1
c
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27
Integrale su R = (−∞, ∞)
Consideriamo f : R → R localmente integrabile secondo Riemann e
vogliamo calcolare
Z +∞
f (x)dx.
(1)
−∞
Sia c ∈ R, definiamo
Z +∞
Z
f (x)dx = lim
−∞
a→−∞
b→+∞
= lim
b
f (x)dx =
a
Z
a→−∞ a
c
f (x)dx + lim
Z
b→+∞ c
(2)
b
f (x)dx
e diciamo che l’integrale improprio (1) è convergente (o esiste
finito) SE esistono finiti i due integrali impropri che compaiono in
(2).
Le due variabili a e b per i limiti sono a priori diverse, i due limiti
devono essere indipendenti l’uno dall’altro.
c
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28
Consideriamo ad esempio la funzione f (x) =
ℓ=
Z
+∞
−∞
2x
dx
1 + x2
Z
2x
.
1 + x2
b
b
2x
dx = lim log(1 + x 2 ) a
2
a→−∞
a 1+x
b→+∞
1 + b2
= lim log
a→−∞
1 + a2
b→+∞
= lim
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a→−∞
b→+∞
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29
Ora, se a = −b si ha
ℓ = lim log
b→+∞
1 + b2
=0
1 + b2
f (x)
1
0.5
0
−0.5
−1
−30
−20
−10
0
Rb
a
10
20
30
10
20
30
x
f (x)dx
0
−5
a = −b
−10
−30
−20
−10
c
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0
x
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30
ma se se a = −b 2 si ha
ℓ = lim log
b→+∞
1 + b2
= −∞
1 + b4
Il valore del limite dipende da quanto veloci a e b vanno all’infinito.
f (x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
Rb
a
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
f (x)dx
0
-5
-10
-5
-4
-3
-2
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-1
0
x
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31
Valore Principale di Cauchy
Il Valore Principale di Cauchy di un integrale improprio è l’integrale
improprio calcolato con a = −b, e si scrive come
V.P.
Quindi
Z
∞
−∞
Z
∞
f (x)dx = lim
−∞
2x
dx
1 + x2
b→+∞
Z
b
f (x)dx.
(3)
−b
è una forma indeterminata,
dipende dalla velocità con cui a e b vanno all’infinito, mentre
Z ∞
2x
V .P.
dx = 0.
1
+
x2
−∞
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