Matematica (livello normale)

Esame Svizzero di Maturità
Locarno, giugno 2012
Gruppo e n°: .............................................................
Nome e Cognome: …...................................................................................
Matematica
(livello normale)
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La durata dell'esame è di 4 ore.
Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.
Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.
Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.
La nota 6 è conseguita con 40 punti.
È permesso l'uso delle tavole numeriche CRM-CRP, Tables numériques, Formulari e tavole oppure
DMK-DPK, Formeln und Tafeln senza annotazioni né aggiunte personali.
È permesso l'uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non possa
emettere né ricevere informazioni a distanza.
Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni,
pregiudicano la valutazione.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo e corretto i due
esercizi obbligatori e due dei tre problemi a scelta.
1
Prima parte: Esercizi obbligatori:
Esercizio 1
2x²+1
.
x²+2x
Determinare l'insieme di definizione della funzione f.
Studiare il segno della funzione f.
Determinare gli asintoti della funzione f.
Verificare (illustrando tutti i passaggi in modo chiaro) che la prima derivata della funzione f è
2.(2x²−x −1)
f '( x )=
.
2
x².( x+2)
Determinare i punti di massimi e di minimo della funzione.
Tenendo conto delle informazione raccolte rispondendo alle domande precedenti, rappresentare il
grafico della funzione f.
Senza calcolare la derivata seconda di f, è possibile giustificare l'esistenza di un punto di flesso di
ascissa x >1 ?
1
9
Verificare che la funzione f può essere scritta nella forma f ( x )=2+ −
e calcola
2x 2 (x +2)
E' data la funzione reale
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
f : x → y=f ( x )=
4
∫ (2− f( x)) dx
. Evidenziare sul grafico della funzione f la superficie cui corrisponde l'area trovata.
1
Esercizio 2
In un sistema cartesiano ortonormato Oxyz sono dati:
•
la retta r definita dal punto
•
la retta p di equazione
•
Il punto
A (6 , 2 ,2) e dal vettore
x
5
2
y = 4 +λ 1
z
−1
−1
()( ) ( )
,
5
⃗
v= 0
1
()
;
λ ∈ℝ ;
C( 8, 3, 1) .
i.
ii.
Scrivere un'equazione parametrica della retta r.
Verificare che le rette r e p sono incidenti. Determinare la coordinate del punto di intersezione B.
[Se non trova B per continuare l'esercizio ponga B(−4 , 2 ,0) ]
iii. Verificare che i punti A, B e C non sono allineati e determinare la coordinate del punto D in modo che
ABCD sia un parallelogrammo. Trovare l'area del parallelogrammo.
iv. Scrivere un'equazione del piano α contenente il parallelogrammo ABCD. La retta p è contenuta
nel piano α ?
2
Esercizio 3
Con riferimento alla figura, considerare il quarto di circonferenza di centro O e raggio
POA=x .
sull'arco di circonferenza tale che ̂
Sia inoltre OAPH il trapezio rettangolo di basi OA e HP .
Il trapezio ruota attorno alla base maggiore
cono.
i.
ii.
OA=r
e il punto P
OA generando un solido costituito da un cilindro e da un
Verificare (illustrando tutti i passaggi in modo chiaro) che il volume del solido è dato
1
V (x)= π r³ [ sin² ( x) (2cos (x)+1) ] .
3
Determinare come deve essere scelto x affinchè il solido abbia volume massimo.
Esercizio 4
L'esercizio si compone di tre parti indipendenti
4.1 Un casalinga è indecisa sull'acquisto di un detersivo. La probabilità che compri il detersivo A è
del 12%, del tipo B è del 15% e del tipo C del 73%. Entrata in un supermercato e avendo
accertato che il detersivo C non era in vendita, qual è la probabilità che abbia acquistato il
detersivo A?
4.2 Una squadra di calcio partecipa a due partite E1 e E2 .
Sia A l'evento che la squadra vinca la gara E1 e B l'evento che vinca la gara E2 .
Si assuma che p( A)=0 ,6 , P(B)=0 , 5 , P(A∩B)=0 , 35 .
Descrivere a parole e calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
P(A∪B) , P(A∪B) , P(A∩B) , P(A / B)
4.3 Dimostrare che lanciando due volte una moneta truccata (vale a dire con probabilità che si
presenti testa diversa dalla probabilità che si presenti croce), la probabilità che si presentino due
facce uguali supera la probabilità che si presentino facce diverse.
3
Esercizio 5
Nel seguente diagramma cartesiano è rappresentata la parabola
ascissa rispettivamente a e b .
t A e t B indicano le tangenti alla parabola in A e in B.
s indica la retta passante da A e B.
i.
Porre
a=4 e b=−2 .
Verificare che il rapporto tra le aree delle due regioni
ii.
p : y=x² e due punti generici A e B di
F1 e
F2 vale
1
.
2
Porre b=0 e a>0 .
Dimostrare che il risultato trovato nel punto precedente non dipende dalla scelta di a. In altre parole,
Area(F1 ) 1
=
per qualsiasi valore di a vale
.
Area(F 2 ) 2
4