Esame federale di maturità

ESAME SVIZZERO DI MATURITÀ
GENNAIO 2012
Gruppo e nr. .............................
Nome e Cognome: ................................................................................................
MATEMATICA
(livello normale)
- La durata dell’esame è di 4 ore.
- Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.
- Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.
- Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.
- La nota 6 è conseguita con 40 punti.
- È permesso l’uso delle seguenti tavole numeriche senza annotazioni né aggiunte personali:
CRM, CRP, CRC, Formulari e tavole (trad. CMSI), Ed. G d’Encre
CRM, CRP, CRC, Formulaires et tables, Editions du Tricorne
DMK/DPK/DCK, Formeln, Tabellen, Begriffe, Orell Füssli Verlag, Zürich
DMK/DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli Verlag
DMK/DPK, Formeln und Tafeln, Orell Füssli Verlag
- È permesso l’uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non
possa emettere né ricevere informazioni a distanza (modello Casio FX-82 Solar oppure Texas
Instruments TI-30 eco RS).
- Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni
pregiudicano la valutazione.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo ed esatto i due esercizi obbligatori
e due degli esercizi a scelta.
Questi fogli vanno riconsegnati con le soluzioni.
1
PRIMA PARTE : ESERCIZI OBBLIGATORI
Esercizio 1
È data la funzione reale
f ( x )=
x
x
−
2 2 − x2
a) Determinare l’insieme di definizione della funzione f.
b) Determinare gli asintoti della funzione f.
c) Determinare i punti di massimo e di minimo e verificare che la funzione f possiede un flesso a
tangente orizzontale nel punto di ascissa x0 = 0 .
e) Tenendo conto delle informazioni raccolte rispondendo alle domande precedenti, rappresentare
accuratamente il grafico della funzione f . (unità 1 cm)
f) Determinare l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x0 = 1 .
Esercizio 2
h
Una trottola è formata da una ruota
avente quattro raggi che si trovano
su due diametri AC e BD
perpendicolari fra loro e da un asse
h.
Si conoscono le coordinate dei punti
A e B e l’equazione della retta
 x  0 
 2
   
 
h:=
y   3  + λ ⋅  −9 
 z   −9 
 6
   
 
C
D
●
●
M
B (11; −8; −9 )
A ( 8;0;4 )
a) Determinare l’equazione cartesiana del piano contenente i punti A, B e C.
b) Determinare le coordinate dei punti M, C e D.
c) Determinare l’angolo fra la retta h e il piano Oxy.
d) Determinare le coordinate del vertice V di un cono retto avente come base la ruota della trottola
sapendo che il volume del cono è uguale a
1331
π.
3
2
SECONDA PARTE: ESERCIZI A SCELTA (Risolvere due dei tre esercizi proposti)
Esercizio 3
3
3.1. Calcolare
∫4
x2
x3
dx
(
)
9

3.2. Risolvere l’equazione ln x 2 − 6 = ln 2 + ln  x + 
2

π

3.3. Risolvere l’equazione cos  3 x −  =
− sin (π − 2 x )
2

3.4. In una coltura biologica di batteri, il numero N di batteri presenti al tempo t (t espresso in ore)
è dato dalla formula
N ( t )= k
t
⋅ 2T
dove k e T sono due costanti.
Supponendo che T = 5, se al tempo t = 0 ci sono 103 batteri, quanti batteri ci saranno dopo
8 ore?
Esercizio 4
Sono date due circonferenze C1 e C2:
C1 ha equazione x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 15 =
0
C2 ha centro M 2 (12;6 ) e raggio r2 = 5 .
a) Determinare la posizione reciproca delle due circonferenze (cioè determinare se una
circonferenza è interna all’altra, o se sono esterne una all’altra, o tangenti o secanti).
b) Trovare l’equazione della più piccola circonferenza che sia tangente alle due circonferenze date.
c) Verificare che la retta s di equazione x + 3 y =
9 è esterna alla circonferenza C2.
d) Scrivere l’equazione della circonferenza con lo stesso centro di C2 e tangente alla retta s.
3
Esercizio 5
5.1. In un liceo virtuale le probabilità di un allievo di venir promosso sono rispettivamente:
0.66 in prima
0.75 in seconda
0.90 in terza
0.98 in quarta
Per gli allievi ripetenti, le probabilità di essere promossi sono invece:
0.90 in prima
0.80 in seconda
0.95 in terza
0.95 in quarta
Per un allievo iscritto alla prima liceo in quel liceo, calcolare la probabilità:
a) di conseguire la maturità in 4 anni;
b) di finire il liceo in 5 anni;
c) di essere stato bocciato in seconda sapendo che ha finito il liceo in 5 anni.
5.2. Un’urna contiene 100 dadi di cui 60 equilibrati e 40 truccati. La probabilità di ottenere un 1
1
lanciando un dado truccato è pari a p = , mentre gli altri numeri sono equiprobabili.
2
Si estrae un dado dall’urna e lo si lancia.
a) costruire il diagramma ad albero che illustra la situazione presentata e calcolare la probabilità
di ottenere 3.
b) Se il dado estratto viene lanciato due volte, stabilire qual è la probabilità di ottenere 2 al
primo lancio e 3 al secondo.
4