ESAME SVIZZERO DI MATURITÀ GENNAIO 2012 Gruppo e nr. ............................. Nome e Cognome: ................................................................................................ MATEMATICA (livello normale) - La durata dell’esame è di 4 ore. - Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori. - Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio. - Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti. - La nota 6 è conseguita con 40 punti. - È permesso l’uso delle seguenti tavole numeriche senza annotazioni né aggiunte personali: CRM, CRP, CRC, Formulari e tavole (trad. CMSI), Ed. G d’Encre CRM, CRP, CRC, Formulaires et tables, Editions du Tricorne DMK/DPK/DCK, Formeln, Tabellen, Begriffe, Orell Füssli Verlag, Zürich DMK/DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli Verlag DMK/DPK, Formeln und Tafeln, Orell Füssli Verlag - È permesso l’uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non possa emettere né ricevere informazioni a distanza (modello Casio FX-82 Solar oppure Texas Instruments TI-30 eco RS). - Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni pregiudicano la valutazione. Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo ed esatto i due esercizi obbligatori e due degli esercizi a scelta. Questi fogli vanno riconsegnati con le soluzioni. 1 PRIMA PARTE : ESERCIZI OBBLIGATORI Esercizio 1 È data la funzione reale f ( x )= x x − 2 2 − x2 a) Determinare l’insieme di definizione della funzione f. b) Determinare gli asintoti della funzione f. c) Determinare i punti di massimo e di minimo e verificare che la funzione f possiede un flesso a tangente orizzontale nel punto di ascissa x0 = 0 . e) Tenendo conto delle informazioni raccolte rispondendo alle domande precedenti, rappresentare accuratamente il grafico della funzione f . (unità 1 cm) f) Determinare l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x0 = 1 . Esercizio 2 h Una trottola è formata da una ruota avente quattro raggi che si trovano su due diametri AC e BD perpendicolari fra loro e da un asse h. Si conoscono le coordinate dei punti A e B e l’equazione della retta x 0 2 h:= y 3 + λ ⋅ −9 z −9 6 C D ● ● M B (11; −8; −9 ) A ( 8;0;4 ) a) Determinare l’equazione cartesiana del piano contenente i punti A, B e C. b) Determinare le coordinate dei punti M, C e D. c) Determinare l’angolo fra la retta h e il piano Oxy. d) Determinare le coordinate del vertice V di un cono retto avente come base la ruota della trottola sapendo che il volume del cono è uguale a 1331 π. 3 2 SECONDA PARTE: ESERCIZI A SCELTA (Risolvere due dei tre esercizi proposti) Esercizio 3 3 3.1. Calcolare ∫4 x2 x3 dx ( ) 9 3.2. Risolvere l’equazione ln x 2 − 6 = ln 2 + ln x + 2 π 3.3. Risolvere l’equazione cos 3 x − = − sin (π − 2 x ) 2 3.4. In una coltura biologica di batteri, il numero N di batteri presenti al tempo t (t espresso in ore) è dato dalla formula N ( t )= k t ⋅ 2T dove k e T sono due costanti. Supponendo che T = 5, se al tempo t = 0 ci sono 103 batteri, quanti batteri ci saranno dopo 8 ore? Esercizio 4 Sono date due circonferenze C1 e C2: C1 ha equazione x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 15 = 0 C2 ha centro M 2 (12;6 ) e raggio r2 = 5 . a) Determinare la posizione reciproca delle due circonferenze (cioè determinare se una circonferenza è interna all’altra, o se sono esterne una all’altra, o tangenti o secanti). b) Trovare l’equazione della più piccola circonferenza che sia tangente alle due circonferenze date. c) Verificare che la retta s di equazione x + 3 y = 9 è esterna alla circonferenza C2. d) Scrivere l’equazione della circonferenza con lo stesso centro di C2 e tangente alla retta s. 3 Esercizio 5 5.1. In un liceo virtuale le probabilità di un allievo di venir promosso sono rispettivamente: 0.66 in prima 0.75 in seconda 0.90 in terza 0.98 in quarta Per gli allievi ripetenti, le probabilità di essere promossi sono invece: 0.90 in prima 0.80 in seconda 0.95 in terza 0.95 in quarta Per un allievo iscritto alla prima liceo in quel liceo, calcolare la probabilità: a) di conseguire la maturità in 4 anni; b) di finire il liceo in 5 anni; c) di essere stato bocciato in seconda sapendo che ha finito il liceo in 5 anni. 5.2. Un’urna contiene 100 dadi di cui 60 equilibrati e 40 truccati. La probabilità di ottenere un 1 1 lanciando un dado truccato è pari a p = , mentre gli altri numeri sono equiprobabili. 2 Si estrae un dado dall’urna e lo si lancia. a) costruire il diagramma ad albero che illustra la situazione presentata e calcolare la probabilità di ottenere 3. b) Se il dado estratto viene lanciato due volte, stabilire qual è la probabilità di ottenere 2 al primo lancio e 3 al secondo. 4