Formulario Analisi Matematica I

Limiti notevoli logaritmici
Limiti notevoli esponenziali
x
1
 1
n 2 sen 2 = 1
1) lim 1 +  = e nlim
→ +∞
x →+∞
n
x

senx
1) lim
=1
x→0
x
senax a
2) lim
=
x →0
bx
b
tgx
3) lim
=1
x →0 x
tgax a
4) lim
=
x →0 bx
b
1 − cos x
5) lim
=0
x →0
x
1 − cos x 1
=
6) lim
x →0
x2
2
arcsenx
7) lim
=1
x →0
x
arcsen ax a
=
8) lim
x →0
bx
b
arctg x
9) lim
=1
x →0
x
arctg ax a
10) lim
=
x →0
bx
b
x − senx 1
11) lim
=
x →0
x3
6
x − arctgx 1
12) lim
=
x →0
x3
3
x
 1
2) lim1 +  = e
x
x→−∞ 
x
 a
3) lim 1 +  = e a
x→ +∞
x

nx
 a
4) lim 1 +  = e na
x →+∞
x

x
1
 1
5) lim 1 −  =
x→−∞
x
e

1
x
6) lim(1 + ax ) = e a
x →0
1
7) lim lg a (1 + x) x =
x →0
1
lg e a
lg e (1 + x)
=1
x
x
a −1
ex −1
9) lim
= ln a lim
=1
x →0
x
x
(1 + x) a − 1
=a
10) lim
x→0
x
a
(1 + x) − 1
11) lim
=1
x→0
ax
8) lim
x →0
12) lim x r lg a x = 0 ∀a ∈ R + − (1), ∀r ∈ R +
x→0
lg x
13) lim ar = 0 ∀a ∈ R + − (1), ∀r ∈ R +
x →0 x
14) lim x r a x = lim a x ∀a ∈ R + − (1), ∀r ∈ R +
Altri limiti notevoli
n! ⋅ a n
nα
=0
lim
= 0 lim
n →+∞ a n
n → +∞ n n
x → +∞
x → +∞
15) lim x a x = lim a x
r
x → −∞
x → −∞
∀a ∈ R + − (1), ∀r ∈ R +
x
e
16) lim r = lim a x ∀r ∈ R +
x →+∞ x
x →+∞
r
x
17) lim x = lim a x ∀r ∈ R +
x→+∞ e
x →+∞
18) lim e x x r = 0 ∀r ∈ R +
n
a
lim
= 0 lim a = 0
n → +∞ n!
n → +∞ n n
3 

lim 1 + 2

 n + n4 
lim
x →0
∞/0 = ∞
n/0 = ∞
=e
(1 + x )α − 1 = α
x
Criterio del rapporto:
n > a = ±∞
n =a = rapp.coeff.
n<a=0
FORME INDETERMINATE
0/0 mettere in evidenza num. e den.
∞/∞ mettere in evidenza
+ ∞ - ∞ razz. o mcd
0 · ∞ trasformo in ∞/∞ o in 0/0 capovolgendo
esempi
n/∞ = 0
n 2 +n4
3
n→ +∞
x → −∞
se:
lim
xⁿ + bxⁿ¹ + c
x→±∞
xª+bxª¹ +c
n
∞/n = ∞
0/n = 0
a + 1 → < 1 an → 0
lim n
=
→ > 1 an → ∞
n→ ∞ a
n
Teorema della media aritmetica:
se la successione an ammette limite allora:
lim
n →∞
a1 + a2 + ...an
= lim an
n→ ∞
n
Teorema della media geometrica:
lim n a1 + a2 ... + an = lim an
n→∞
n→∞
Derivate di funzioni:
INTEGRALI notevoli immediati
D : arctg x →
D : x n → nx n−1
D: x →
1
2 x
m
n n x n −m
D : n xm →
D : a x → a x log e a
D : ex → ex
D : cos x → − senx
1
D : log a x → log a e
x
1
D : ln x →
x
1
cos 2 x
1
D : cotgx → −
sen 2 x
1
D : arcsen x →
1 − x2
m −1
m
D:
f ( x) →
D : n [ f ( x)]
m
0 ⋅ ∞ capovolgere
+ ∞ − ∞ MCD o razionalizzazione
Talvolta può essere utile ricondurre alle identità:
f

 g
f - g = f 1 -  = g  − 1
 f
g 
D : a f ( x ) → a f ( x ) ⋅ f ' (x ) ⋅ log a e
1
D : log f (x ) →
⋅ f ' (x )
f (x )
1
D : log a f (x ) →
⋅ f ' (x ) ⋅ log a e
f (x )
D : cos f ( x ) → − senf ( x) ⋅ f ' ( x)
D : [ f ( x )] → [ f ( x )] ⋅

f ' ( x) 
 g ' ( x ) log f ( x ) + g ( x ) f ( x ) 


g (x)
1
⋅ f ' ( x)
cos 2 f ( x)
1
⋅ f ' ( x)
sen 2 f ( x)
1
D : arcsen f ( x) →
⋅ f ' ( x)
2
1 − [ f ( x)]
D : cotg f ( x) → −
D : arccos f ( x) → −
]
D : e f ( x) → e f ( x ) ⋅ f ' (x)
D : sen f ( x) → cos f ( x) ⋅ f ' ( x )
D : tg f ( x) →
]
[
1
⋅ f ' ( x)
2 f ( x)
mf ' ( x)
→
n−m
n n [ f ( x)]
1
1 − [ f ( x)]
2
⋅ f ' ( x)
11) ∫
1
6) ∫
dx = tgx + C
cos 2 x
12) ∫
(
1+ x
1
dx = log(x +
x −1
1
2
2
g (x )
1
[ f (x )]α +1 + C
⋅ f ' ( x ) dx =
α +1
f ' (x )
dx = tgf ( x ) + C
cos 2 f ( x )
f ' (x )
7) ∫
dx = arcsenf (x ) + C
1 − f 2 (x )
6) ∫
f ' (x )
dx = arctgf (x ) + C
1 + f 2 (x )
10) ∫
f ' (x )
f
2
(
(x ) − 1
(
....... + f
n
(x0 ) ⋅
( x − x 0 )n
(
+ (x − x0 )
n!
n
)
( x − x 0 )2
+ ......................
2!
)
Sviluppi :
( )
x2
xn
+ ... +
+ xn
2
n!
3
5
x
x
x 2n+1
n
2)senx = x − + + ... + (− 1) ⋅
+ x 2n+ 2
3! 5!
(2n + 1)!
1)e x = 1 + x +
(
2
3) cos x = 1 −
(
4
x
x
x 2n
n
+
+ ... + (− 1) ⋅
+ x 2 n+1
(2n )!
2
4!
4) log(1 + x ) = x −
2
3
)
)
( )
n
x
x
n +1 x
+ − ... + (− 1) ⋅ + x n
2
3
n
( )
1
n
= 1 − x + x 2 − ... + (− 1) ⋅ x n + x n
1+ x
)
)
f 2 (x ) − 1 + C
f ' (x )
1
1 + f (x )
11) ∫
dx = log
+C
1 − f 2 (x )
2
1 − f (x )
( )
(
)
1
n
= 1 − x 2 + x 4 − ... + (− 1) ⋅ x 2 n + x 2 n+1
1 + x2
2
x
(2n − 1)!! ⋅ x 2 n + (x 2 n+1 )
1
3
= 1+
+ x 4 + ... +
9)
2
2
8
(2n)!!
1− x
(2n − 1)!! ⋅ x n + (x n )
1
x 3
10)
= 1 + + x 2 + ... +
(2n )!!
2 8
1− x
8)
dx = log f ( x) + 1 + f 2 (x) + C
dx = log f (x ) +
(
1
x 3
n (2 n − 1)!!
6)
= 1 − + x 2 + ... + (− 1) ⋅
⋅ xn + xn
2 8
(2n)!!
1+ x
2
3
x x
x
n +1 (2 n − 3)!!
+
− ...(− 1) ⋅
⋅ x n + (x n )
7) x + 1 = 1 + −
2 8 16
(2n )!!
5) ∫ senf (x ) ⋅ f ' (x ) dx = − cos f ( x ) + C
1 + f 2 (x )
f ' (x )
)
− 1) + C
5)
4) ∫ cos f (x ) ⋅ f ' (x ) dx = senf (x ) + C
9)∫
x2
f ( k ) ( x0 )
(x − x0 )k + (x − x0 )n
k!
f (x ) = f (x 0 ) + f ' (x 0 )( x − x 0 ) + f ' ' (x 0 ) ⋅
1
1
1+ x
+C
dx = log
1− x2
2
1− x
3) ∫ e f ( x ) ⋅ f ' ( x ) dx = e f ( x ) + C
8)∫
K =0
dx = log x + 1 + x 2 + C
f ' (x )
dx = log f ( x ) + C
f (x )
2) ∫
x
1
D : arctg f ( x) →
⋅ f ' (x )
2
1 + f (x )
1
D : arccotg f ( x) → −
⋅ f ' (x )
2
1 + f (x )
⋅ f ' ( x)
5) ∫ senxdx = − cos x + C
n
f (x ) = ∑
dx = arcsenx+ C
1− x2
1
9) ∫
dx = arctgx + C
1+ x2
10) ∫
1) ∫ f (x )
[
D : [ f ( x)] → m[ f ( x)]
1
8)∫
1
3) ∫ dx = log x + C
x
4)∫ cos xdx = senx + C
α
Formula di Taylor con resto di Peano
1
1
dx = −
+C
tgx
sen 2 x
Integrazione con la prima regola di sostituzione:
D : x → x (log x + 1)
x
11) arctgx = x −
x3 x5
x 2n+1
n
+ − ... + (− 1) ⋅
+ x 2 n+ 2
3 5
2n + 1
(
)
(2n − 1)!! ⋅ x 2n+1 + x 2 n+ 2
x3 3
12)arcsenx = x + + x 5 + ... +
6 40
(2n )!! (2n + 1)
(
13) arccos x =
π
2
−x−
x
3 5
(2n − 1)!! ⋅ x
−
x − ... −
+ x 2n+2
6 40
(2n )!! (2n + 1)
2 n +1
3
(
1
2
7 7
14) tan x = x + x 3 + x 5 +
x + (x 8 )
3
15
315
D : [ f (g (x ))] → f ' [g ( x )]⋅ g ' (x )
Regola di decomposizione in somma:
D : [ f (x ) ⋅ g (x )] → f ' (x ) ⋅ g ( x ) + f (x )⋅ g ' (x )
∫ a ⋅ f (x ) ±b ⋅ g (x )
dx = a ∫ f (x )dx ± b ∫ g ( x )dx
∫ f (φ (x ))⋅ φ ' (x ) dx = [∫ f (t )dt ]
Fattoriali:
3!=6 ; 4!=24 ; 5!=120 ; 6!=720
Prima formula di sostituzione:
 f (x )
f ' (x ) ⋅ g (x ) − f (x ) ⋅ g ' (x )
D: 
→
[g (x )]2
 g (x ) 
t =φ ( x )
Integrazione per parti:
∫ f ' (x )⋅ g (x ) dx = f (x )⋅ g (x ) − ∫ f (x )⋅ g ' (x )dx
integrazione per parti 2° modo:
∫ f (x )⋅ g (x )dx = F (x )⋅ g (x ) − ∫ F (x )⋅ g ' (x )dx
FUNZIONI FRATTE:
N ≥ D :divido il numeratore per il denominatore
∞³/ ∞³ = 1 (stessa potenza)
REGOLA DE L’HOPITAL:
la regola de l’Hopital si applica nelle forme ∞/∞ o 0/0
1
1+ x2
D : sen x → cos x
D : tgx →
1) ∫ x k dx =
1
1 + x2
D : arccotg x → −
7) ∫
x k +1
+C
k +1
x
x
2) ∫ e dx = e + C
1
1− x2
D : arccos x → −
D : costante k → 0
Q(x) = quoziente R(x) = resto
dove F(x) è una primitiva immediata di f(x)
dove
g(x) = divisore
N<D:
1° caso ∆ > 0 Bisogna scomporre il denominatore come prodotto, trovare il
valore dei parametri A e B e separare l’integrale
2° caso ∆ = 0 1) Scompongo il denominatore facendolo diventare quadrato di
binomio e lo elevo ad una potenza negativa (-2)
2) Se il numeratore contiene la x uso i parametri A e B (come nel
1° caso)
3° caso ∆ < 0 1) Riconduco l’integrale alla Formula n° 1.
2) Se il numeratore contiene la x (es.
trasformo per farlo diventare come f’(x)/f(x)
) allora lo
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)
)
gradi
rad
Sen
Cos
Tg (sen/cos)
Cotg (1/tg)
0
0
0
1
0
±∞
18
π/10
0.314
1
4
0.523
0.785
3
2
1.047
2π/5 1  10 + 2 5 
1.256
72
4
π/2
90
1.57
π
180
3.1415
270
3π/2
360
2π
4.712
6.283

1
1−
2
5
5
y’’= 0 Punti di flesso
y’’> 0 Concavità verso l’alto
y’’< 0 Concavità verso il basso
3
1
5 −1
4
1
3
3
3
5+2 5
2
1−
5
5
±∞
-1
0
±∞
-1
0
±∞
0
0
±∞
y = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 )
Formule goniometriche
Formule di addizione
sen ( x + y ) = senx cos y + senx cos y
cos( x + y ) = cos x cos y − senxseny
tgx + tgy
tg ( x + y ) =
1 − tgx ⋅ tgy
sen (π − x ) = senx
π

sen + x  = cos x
cos(π − x ) = − cos x
2

tg (π − x ) = −tgx
π

cos + x  = − senx
2

π

tg  + x  = −ctgx
2

Formule di sottrazione
sen ( x − y ) = senx cos y − seny cos x
cos(x − y ) = cos x cos y + senxseny
tgx − tgy
tg (x − y ) =
1 + tgx ⋅ tgy
Formule di duplicazione:
derivabilità
Formule di bisezione:
1
[cos( x + y ) + cos(x − y )] cos x = ± 1 + cos x
2
2
2
1
senx ⋅ cos y = [sen ( x + y ) + sen( x − y )]
x
1 − cos x
senx
1 − cos x
2
tg = ±
=
=
2
1 + cos x 1 + cos x
senx
cos x ⋅ cos y =
Dom.
-∞ ; +∞
-∞ ; +∞
-∞ ; +∞
-∞ ; +∞
-1 ; +1
interv. Graf.
-p/2 ; p/2
0;p
-1 ; +1
Arccos
Arctg
-1 ; +1
-∞ ; +∞
-1 ; +1
-∞ ; +∞
-p/2; (3/2)p
-p ; p
Cod.
-1 ; +1
-1 ; +1
-∞ ; +∞
-∞ ; +∞
-p/2 ; + p /2
0 ; p
-p/2 ; + p /2
Monotonia
oscillante
oscillante
monotona
decrescente
monotona
decrescente
monotona
e
lim f ' (x ) = l1
x → x0
lim f (x ) = ±∞
x →±∞
Allora è necessario trovare gli eventuali asintotoi obliqui
m = lim
f (x)
q = lim [ f (x ) − mx]
x →±∞
x
− b ± b 2 − 4ac
2a
ax² + bx + c > 0
∆ > 0 x1<0 U x2>0
∆ = 0 ∀ x € R - ( x1= x2)
∆ < 0 ∀x € R
ax² + bx + c = 0
∆ > 0 x1 ; x2 con x1< x2
∆ = 0 x1= x2
∆ < 0 N.S. reale
ax² + bx + c < 0
∆ > 0 x1<x <x2
∆ = 0 N.S. reale
∆ < 0 N.S. reale
2
Qualora entrambi i limiti esistano e siano finiti con m ≠ 0, allora la
retta y = m x + q è un asintoto obliquo della funzione
x1, 2 =
derivabilità
n
sn = a1 + a2 + ...an = ∑ ak
Per conoscere il carattere della serie vediamo la soma parziale
1-h n per la regola di ruffini si ha ciò
K =1
tale successione prende il nome di serie di termine generale an
sen (π + x ) = − senx
cos(π + x ) = − cos x
tg (π + x ) = tgx
Formule di triplicazione
sen3x = 3senx − 4 sen 3 x
cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x
3tgx − tg 3 x
tgx =
1 − 3tg 2 x
∑a
K =1
k
= lim sn = lim
n → +∞
n → +∞
n
∑a
K =1
k
sn = 1 + h + h 2 + ... + h n−1 =
1− h
b
b
− ±
− ac
2
2
a
Proprietà delle potenze:
1) a n + m = a n ⋅ a m
2 ) ( a n ) m = a n⋅ m
3) a 0 = 1
n
1
1
4) a − n =   = n
a
a
m
m
1
 1
5) a n =  a n  = (a m )n = n a m
 
Es. : 4 x − 2 2 x+1 → 2 2 x − 2 2 x ⋅ 2
→ 2 2 x (1 − 2)
Proprietà dei logaritmi:
1) log a x ⋅ y = log a x + log a y
x
2) log a = log a x − log a y
y
3) log a (x ) = k log a x
log b x
4) log a x =
log b a
5) a log a x = x
1

il termine a primo membro si legge somma o serie per k che va
la serie converge a 1-h per -1 > h > 1
da 1 a +∞, di ak
1 − hn 
s n = lim
= la serie diverge per h ≥ 1
1) se il limite per n→+∞ di an esiste ed è un numero finito si dice lim
n→∞
n→∞ 1 − h
la serie è indetermin ata per h ≤ −1
che la serie è convergente

2) se il limite di sn vale +∞ oppure -∞ , si dice che la serie è

divergente.
Una serie divergente o convergente si dice regolare.
SERIE ARMONICA (diverge positivamente)
3) Se non esiste il limite per n→+∞ di sn si dice che la serie è
indeterminata.
1 1
1
Il carattere di una serie è la sua proprietà di essere convergente 1 + 2 + 3 + ... + n + ...
o divergente oppure indeterminata.
SERIE ARMONICA GENERALIZZATA:
converge se α > 1
1
1
Condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una 1 + 2α + ... + nα + ...diverge se α ≤ 1

serie:
se la serie ∞
è convergente allora la successione an tende a
∑a
K =1
n
CRITERIO DEL RAPPORTO: solo per le succ. a termini positivi
Sia an una successione a termini positivi e supponiamo che
zero per n→+∞
esista il limite:
Riassumendo:
allora si ha che
∞
se la serie converge: → il limite della successione an tende a l = lim an+1
l < 1 ⇒ ∑ ak < +∞ converge
n → +∞ a
zero
k =1
n
∞
ma non è vero il contrario
l > 1 ⇒ ∑ ak = +∞ diverge
se il limite della successione è diverso da zero → allora la serie
k =1
necessariamente diverge.
nel caso il limite è = 1 non possiamo dire nulla riguardo al carattere
della serie
sen 2α + cos 2 α = 1
sen α = 1− cos α
∑ (ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk
cos 2 α = 1 − sen 2α
PROPOSIZIONE 2) se la serie di termine generale ak è
regolare, anche la serie di termine generale c • ak è regolare per
ogni c app. a R.
2
∞
∞
k =1
k =1
∞
∑c⋅a
k =1
∞
k
= c ⋅ ∑ ak
k =1
∞
k =1
Es.3 x ≥ 2 → x ≥ log 3 2
Esemp.3 x = 2 → log 3 3 x = log 3 2 →
moltiplicando e dividendo per (1-h)
il carattere della serie è quindi dato dal limite:
Proprietà sulle serie:
PROPOSIZIONE 1) se le serie di termine generale ak e bk sono CRITERIO DELLA RADICE
regolari allora anche la serie di termine generale (ak + bk) è
solo per le succ. a termini positivi
Sia an una successione a termini non negativi e supponiamo che
regolare.
2
x1, 2 =
k
Relaz. fond. della trig.
1
[cos(x − y ) − cos(x + y )] sen x = ± 1 − cos x
2
2
2
Funz.
Sen
Cos
Tg
Cotg
Arcsen
lim f ' ( x ) = l
0+
SERIE GEOMETRICA (potenze di un numero)
SERIE
∞
Consideriamo una successione an di numeri reali
k
2
n
La somma dei primi n termini della successione detta somma parziale ∑ x = 1 + h + h + ... + h ...
k =0
si indica con:
il numero h si dice ragione della serie geometrica.
sen2 x = 2senx cos x
x+ y
x− y
senx + seny = 2sen
cos
cos(2 x ) = cos 2 x − sen 2 x = 1 - 2sen 2 x = 2 cos 2 x − 1
2
2
hgkjkjnknn
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
x+ y
x− y
sen 2 x =
; cos 2 x =
senx − seny = 2 cos
sen
2
2
2
2
x+ y
x− y
2tgx
cos x + cos y = 2 cos
cos
tg 2 x =
2
2
1 − tg 2 x
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2sen
sen
2
2
senx ⋅ seny =
⇒ continuità
continuità
Formule di prostaferesi:
Formule di Werner:
x→ x
x→ x −
0+
0
2ª specie: uno dei due limiti va all’infinitox →
o xnon
esiste
3ª specie: discontinuità di tipo eliminabile:
esisteunedpunto
è di cuspide quando:
x0 se
risulta
finito il limite
lim f ' (x ) = +∞ e lim f ' (x ) = −∞
x → x +funzione
x→ x −
ed x0 non appartiene al dominio della
0
0
lim f ( x ) = l
x →±∞
∞
π

sen  − x  = cos x
2

π

cos − x  = senx
2

π

tg  − x  = ctgx
2

0−
Punto angoloso: sia x0 un punto non
appartenente al dominio D(y’). x0 è un punto
angoloso se:
lim = l2
0
0
1
Retta tangente in un punto
y-f(x ) = f ’(x ) (x - x )
Angoli associati:
sen(− x ) = −senx
cos(− x ) = cos x
tg (− x ) = −tgx
x→ x
≠
Asintoti obliqui: y = m x + q Quando il limite
0
0
lim = l1
y’= 0 Massimi e minimi
y’> 0 Intervalli crescenti (crescenza)
y’< 0 Intervalli decrescenti (decrescenza)
5+2 5
3
3
2
2
1
2
3
2
π/3
60
1
 10 + 2 5 

4
2
2
π/4
45
)
5 −1
1
2
π/6
30
(
Tipi di discontinuità:
1ª specie: La funzione fa un salto
f pari f(-x) = f(x)
f dispari f(-x) = - f(x)
→ x log 3 3 = log 3 2 → x = log 3 2
operazioni con i radicali:
9
n
64 = 9 26 → 3 2 2
a ⋅ n b = n a ⋅b
3
5 ⋅ 2 = 6 52 ⋅ 6 23 = 6 25 ⋅ 8
2
3⋅2 3 = 3
Scomposizione di un’eq. di 2° grado.
ax 2 + bx + c = x1 , x 2
a ( x − x1 )( x − x2 )
Scomposizione con s e p
x 2 − sx + p
Prodotti notevoli
(a
2
− b 2 ) = (a + b )(a − b )
(a 3 − b3 ) = (a − b )(a 2 + ab + b 2 )
(a 4 − b 4 ) = (a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 )
(a ± b)3 = a3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3
Regola di Ruffini
(2 x 4 − 18 x 2 − x + 3) ÷ (x - d )
Nel nostro caso d = 3 : il divisore è (x-3)
d
esista il limite:
l = lim
n → +∞
n
an
allora se:
l <1
⇒
∞
∑a
k
< +∞ converge
k =1
l >1
⇒
∞
∑a
k
= +∞ diverge
k =1
nel caso il limite è = 1 non possiamo dire nulla riguardo al carattere
della serie
CRITERIO DI LEIBENIZ (si usa per le serie a segni alterni)
Una serie è a termini non negativi se per ogni n ∈ N risulta an
∞
≥ 0.
(− 1)n ⋅ an
an ≥ 0
Una serie è a termini positivi se an >0 per ogni n .
n =1
Teorema sulle serie a termini non negativi: una serie a termini non
negativi non può essere indeterminata. È quindi convergente oppure
∀n
lim an = 0 an ≥ an + 1
divergente positivamente.
∑
n →∞
quindi la serie converge
Formulario Analisi Matematica I
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