Formulario di Analisi Matematica 1
Indice degli argomenti
Punti interni, isolati, di accumulazione e di frontiera
Alcune costanti
Proprietà delle potenze
Proprietà degli esponenziali
Proprietà dei logaritmi
Proprietà del valore assoluto
Progressioni
Trigonometria
Disequazioni
Numeri complessi
Limiti
Derivate
Rolle, Cauchy, Lagrange e de l'Hôpital
Max e min per funzioni di 1 variabile
Integrali
Funzione inversa e retta tangente al grafico di funzione
Serie numeriche
1
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Punti interni, di frontiera, di accumulazione, isolati
Dato un insieme
x0
in
X ⊆ R
e
x0 ∈ R
è PUNTO INTERNO a
X
se e solo se ogni intorno del punto
X.
x0
è tutto contenuto
è PUNTO DI FRONTIERA a X se e solo se in ogni intorno del punto
punti appartenenti a X sia punti non appartenenti a X .
x0
x0
cadono sia
è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per X se e solo se ogni intorno del punto
contiene almeno un punto di X diverso da x 0 .
x0
x0
è PUNTO ISOLATO per
X
x0
se non è di accumulazione.
Inoltre, si definiscono i seguenti insiemi:
INTERNO di
∘
X, X
FRONTIERA di
è l'insieme dei punti interni ad
X, F X
X.
è l'insieme dei punti di frontiera di
DERIVATO di
X , DX
CHIUSURA di
X , X = X ∪ F X = X ∪ DX.
X.
è l'insieme dei punti di accumulazione per
X.
¯¯¯¯
∘
Un insieme si dice APERTO
⇔
X = X.
Un insieme si dice CHIUSO
⇔
X = X
¯¯¯¯
⇔
FX ⊆ X
⇔ DX ⊆ X .
Vale sempre la seguente relazione:
∘
¯¯¯¯
X ⊆ X ⊆ X
2
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Alcune costanti fondamentali
e = 2, 7182818285 …
π = 3, 1415926536 …
3
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Proprietà delle potenze ad esponente reale
+
(x, y ∈ R
1.
x
2.
x
3.
x
0
= 1,
α
α
⋅x
⋅y
β
x
5.
x
= x
β
x
α
y
= (
α
6.
(x
7.
x
8.
x
α
1
n
m
n
)
β
α+β
= (xy)
α
4.
α
∀x ∈ R ∖ {0};
= x
α
)
α−β
x
y
α
)
= x
n
,
= √x,
,
α
1
= 1,
∀α ∈ R;
∀α, β ∈ R;
,
∀α ∈ R;
∀α, β ∈ R;
= (
αβ
,
y
x
−α
)
,
∀α ∈ R;
∀α, β ∈ R;
∀n ∈ N,
−
n −−
n
m
m
= √x
= (√x) ,
∀x ∈ R
+
0
;
∀n, m ∈ N,
∀x ∈ R
+
0
;
4
(
,
∈
+
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,
,
≠ 1)
Proprietà degli esponenziali
1.
a
2.
a
3.
a
4.
a
0
x
x
x
5.
a
6.
a
a
a
> 0,
∀x ∈ R;
⋅a
⋅b
y
x
x
= (
x
b
a
8.
(a )
9.
se
−x
x
=
y
x+y
= (ab)
= a
y
x−y
a
b
x
x
x
= a
,
a
x
{
> 1,
se a > 1
,
∀x ∈ R
+
;
∀x ∈ R;
,
x
1
a
) ,
∀x ∈ R;
∀x, y ∈ R;
y
x
se a < 1
∀x ∈ R;
,
x < y ⇒ a
a ≤ b ⇒ a
< 1,
∀x ∈ R;
= (
xy
a, b ≠ 1)
∀x, y ∈ R;
) ,
1
a
,
,
= a;
= (a)
x
7.
10.
1
= 1;
+
(a, b ∈ R
x
b
{
≤ b ,
< a ,
y
> a ,
se a > 1
se a < 1
∀x ∈ R
+
;
;
5
(
,
,
,
∈
+
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,
,
≠ 1)
Proprietà dei logaritmi
1.
a
2.
loga (a ) = x;
3.
loga 1 = 0;
4.
loga xy = loga x + loga y;
5.
loga (
6.
loga (x
7.
loga x =
8.
loga x
+
(x, y, a, b ∈ R
,
a, b ≠ 1)
= x;
x
x
y
) = loga x − loga y;
α
) = α ⋅ loga x,
logb x =
1
= − log
logx a
loga x
loga b
∀α ∈ R;
1
x,
x ≠ 1;
a
;
6
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Proprietà del modulo o valore assoluto
|f (x)| = {
1.
|x| ≥ 0,
2.
|x| = 0 ⇔ x = 0;
3.
| − x| = |x|,
4.
−
−
2
|x| = √x ,
5.
|x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|,
6.
∣
∣
7.
|x + y| ≤ |x| + |y|,
8.
||x| − |y|| ≤ |x − y|,
x
y
∣ =
∣
|x|
|y|
f (x),
se f (x) ≥ 0
−f (x),
se f (x) < 0
∀x ∈ R;
,
∀x ∈ R;
∀x ∈ R;
∀x, y ∈ R;
∀x, y ∈ R, y ≠ 0;
∀x, y ∈ R;
∀x, y ∈ R;
7
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Progressioni
n
1. PROGRESSIONE ARITMETICA:
∑ k =
n(n+1)
2
;
k=1
n
2. PROGRESSIONE GEOMETRICA:
∑ q
k
=
1−q
n+1
1−q
,
q ≠ 1;
k=0
8
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Trigonometria
Per le formule di trigonometria clicca QUI.
9
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Disequazioni
Disequazioni razionali di secondo grado
Sia ax 2 + bx + c = 0, a > 0
l'equazione associata alla disequazione di secondo
grado e siano x 1 e x 2 le eventuali radici di tale equazione con x 1 < x 2 . La soluzione
della disequazione dipenderà dal suo verso e dal segno del Δ :
Δ
>
≥
<
≤
Δ > 0
x < x1 ∨ x > x2
x ≤ x1 ∨ x ≥ x2
x1 < x < x2
x1 ≤ x ≤ x2
Δ < 0
∀x ∈ R
∀x ∈ R
∃x
̸
∈ R
∃x
̸
∈ R
Δ = 0
x ≠ x1
∀x ∈ R
∃x
̸
∈ R
x = x1
Disequazioni fratte
1. Caso
A
B
> 0:
si trovano le soluzioni di A > 0 (1) e
tra (1) e (2) prendendo la parte > 0 .
2. Caso
A
B
A
B
A
B
B > 0
(2), per poi fare il prodotto dei segni
B > 0
(2), per poi fare il prodotto dei segni
B > 0
(2), per poi fare il prodotto dei segni
< 0:
si trovano le soluzioni di A > 0 (1) e
tra (1) e (2) prendendo la parte < 0 .
4. Caso
(2), per poi fare il prodotto dei segni
≥ 0:
si trovano le soluzioni di A ≥ 0 (1) e
tra (1) e (2) prendendo la parte > 0 .
3. Caso
B > 0
≤ 0:
si trovano le soluzioni di A ≥ 0 (1) e
tra (1) e (2) prendendo la parte < 0 .
Disequazioni irrazionali
1. Caso
√A > B
(o
≥):
si risolvono i sistemi e si fa l'unione delle rispettive soluzioni trovate:
10
A ≥ 0
⎧
⎪
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⎧A ≥ 0
⎪
A ≥ 0
⎨B ≥ 0
∨{
⎩
B < 0
⎪
2
A > B
2. Caso
√A < B
(o
≤):
si trovano le soluzioni dell'unico sistema:
A ≥ 0
⎧
⎪
⎨B ≥ 0
⎩
⎪
2
A > B
Disequazioni con valore assoluto
1. Caso
B
non costante e
|A| > B
(oppure
≥, <, ≤):
si risolvono i sistemi e si fa l'unione delle rispettive soluzioni trovate:
{
A ≥ 0
A > B
2. Caso
B
∨{
A < 0
−A > B
costante e
le soluzioni sono
3. Caso
B
(o
≥):
A < −B ∨ A > B
costante e
le soluzioni sono
|A| > B
|A| < B
(o
−B < A < B
(oppure
A ≤ −B ∨ A ≥ B )
≤):
(oppure
−B ≤ A ≤ B)
11
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Numeri complessi
Forma algebrica
−
−−
−−
−
¯
¯
z = x + iy, ∀x, y ∈ R;
1.
¯
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
2.
¯
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
3.
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¯
¯
¯
¯¯
(z ± w) = z̄
±¯
w
,
¯
¯ ¯
¯
¯¯
(zw) = z̄
⋅w
,
|z| = √x
2
+y
2
,
∀z ∈ C
∀z, w ∈ C;
∀z, w ∈ C;
¯
¯ ¯
¯
¯¯
(z/w) = z̄
/w
,
2
z̄ = x + iy,
∀z, w ∈ C;
4.
¯
¯
z ⋅ z̄
= |z| ,
5.
|z| ≥ 0,
6.
|z| = 0 ⇔ z = 0;
7.
¯
¯
|z| = |z̄
|,
8.
|z ⋅ w| = |z| ⋅ |w|,
9.
|z/w| = |z|/|w|,
∀z ∈ C;
∀z ∈ C;
∀z ∈ C;
∀z, w ∈ C;
∀z, w ∈ C, w ≠ 0;
10.
|Re(z)| ≤ |z|,
11.
|z + w| ≤ |z| + |w|,
12.
||z| − |w|| ≤ |z + w|,
|I m(z)| ≤ |z|,
|z| ≤ |Re(z)| + |I m(z)|,
∀z ∈ C;
∀z, w ∈ C;
∀z, w ∈ C;
Forma trigonometrica
z = ρ(cos θ + i sin θ),
dove
se
1.
ρ ∈ R
−
−−
−−
−
2
2
ρ = √x + y ,
w = η(cos ϕ + i sin ϕ),
+
, θ ∈ [0, 2π) ,
cos θ =
η ∈ R
x
2
√x +y
+
2
,
sin θ =
, ϕ ∈ [0, 2π)
y
2
√x +y
2
allora:
zw = ρη [cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)] ;
12
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2.
3.
4.
z
w
z
=
n
ρ
η
[cos(θ − ϕ) + i sin(θ − ϕ)] ;
n
= ρ
[cos(nθ) + i sin(nθ)] ,
n
n
√z = √ρ [cos (
θ+2kπ
n
) + i sin (
" F ormula di M oivre ";
θ+2kπ
n
)] ,
k = 0, 1, 2, … , (n − 1);
Forma esponenziale
iθ
z = ρe
se
1.
2.
3.
4.
, ρ ∈ R
iϕ
w = ηe
+
, θ ∈ [0, 2π) .
, η ∈ R
i(θ+ϕ)
zw = ρηe
z
w
z
n
=
ρ
η
i(θ−ϕ)
e
n
i(nθ)
= ρ e
+
, ϕ ∈ [0, 2π)
allora:
;
;
;
i(θ+2kπ)
n
n
√z = √ρe
n
,
k = 0, 1, 2, … , (n − 1);
13
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Limiti
Forme indeterminate
0
0 ⋅ ∞,
∞
,
,
0
N.B.:
∞
0
0
,
∞
,
∞
0
∞
∞ − ∞,
1
0
,
0 ,
0
∞
∞
non sono forme indeterminate!
Limiti notevoli di successioni
Scala di infiniti/infinitesimi
n
n ,
n!,
a
n
(a > 1),
b
n
(b > 0),
Forma semplice
⎧ +∞
lim
b
n
n→+∞
lim
a
n
n→+∞
lim
se b = 0
⎧ +∞
⎪
⎪
1
= ⎨
0
⎪
⎩
⎪
∄
se a > 1
n
Forma generale
se b > 0
= ⎨1
⎩
0
√a = 1
/
se b < 0
se a = 1
/
se − 1 < a < 1
se a ≤ 1
/
∀a > 0
n→+∞
lim
−
n −
√nb = 1
∀b ∈ R
/
∀b > 0
/
n→+∞
lim
log n
n
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
n
a
a
b
= 0
b
n
log n
= 0
∀a > 1, ∀b > 0
/
= 0
∀a > 1
/
n
n!
n!
n
n
/
= 0
−
−−−−
−
lim
n
√n log
2
/
n = 1
n→+∞
lim
(1 +
n→+∞
lim
n→+∞
sin n
n
1
n
)
n
= e
lim
(1 +
a n →+∞
= 1
lim
a n →+∞
14
{
sin a n
an
1
an
an
)
= e
= 1 = 1
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{
lim
n→+∞
loga n = {
−∞
se 0 < a < 1
+∞
se a > 1
lim
a n →+∞
loga a n = {
−∞
se 0 < a < 1
+∞
se a > 1
Limiti notevoli di funzioni
Siano
e
A(x)
B(x)
due polinomi di grado
n
A(x)
= an x
B(x)
= bm x
n
e
+ a n−1 x
m
m
n−1
+ b m−1 x
rispettivamente, ovvero del tipo:
+ ⋯ + a1 x + a0
m−1
+ ⋯ + b1 x + b0
Allora si ha:
P (x)
lim
x→∞
Q(x)
∞
⎧
⎪
se n > m
= ⎨0
⎩
⎪ an
se n < m
se n = m
bm
Forma semplice
k
lim
x→∞
k
lim
x→0
= 0,
x
lim
f (x)→∞
∀k ∈ R − {0}
a
x
a
x→−∞
x
⎧ +∞
⎪
⎪
1
= ⎨
0
⎪
⎩
⎪
∄
se a > 1
⎧0
⎪
⎪
1
= ⎨
+∞
⎪
⎩
⎪
∄
se a > 1
lim loga x = {
+
x→0
lim
x→+∞
x→∞
1
x
)
x
se − 1 < a < 1
f (x)
lim
a
= 0,
se a = 1
f (x)
f (x)→+∞
se − 1 < a < 1
lim
a
f (x)
f (x)→−∞
se a ≤ 1
se 0 < a < 1
−∞
se a > 1
−∞
se 0 < a < 1
+∞
se a > 1
lim
+
x
∀k ∈ R − {0}
⎧ +∞
⎪
⎪
1
= ⎨
0
⎪
⎩
⎪
∄
se a > 1
⎧0
⎪
⎪
1
= ⎨
+∞
⎪
⎩
⎪
∄
se a > 1
loga f (x) = {
f (x)→0
lim
f (x)→+∞
se a = 1
se − 1 < a < 1
se a ≤ 1
se a = 1
se − 1 < a < 1
se a ≤ 1
+∞
se 0 < a < 1
−∞
se a > 1
loga f (x) = {
−∞
se 0 < a < 1
+∞
se a > 1
f (x)
= e
(1 +
lim
f (x)→∞
1
f (x)
)
= e
1
1
lim x
∀k ∈ R
= ∞,
se a ≤ 1
+∞
loga x = {
lim (1 +
se a = 1
f (x)
k
lim
f (x)→0
x→+∞
lim
k
lim
∀k ∈ R
= ∞,
x
Forma generale
lim
= 1
x→∞
[f (x)]
f (x)
1
1
lim (1 + x)
x→0
= 1
f (x)→∞
x
= e
lim
[1 + f (x)]
f (x)
= e
f (x)→0
15
ln(1+x)
ln[1+f (x)]
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ln(1+x)
lim
x
x→0
= loga e
x
x→0
∀a > 0, a ≠ 1
loga [1+f (x)]
lim
x
x→0
e
lim
= 1
lim
= ln α
x
α
= α
α
loga x = 0
+
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
lim
x→0
−1
= ln α
f (x)
∀α ∈ R
[1+f (x)]
lim
∀α > 0, a > 1
−1
f (x)
f (x)→0
x→0
lim
α
lim
lim
∀a > 0, a ≠ 1
= 1
α
−1
x
x→0
lim x
∀α > 0
f (x)→0
(1+x)
−1
f (x)
x
x→0
f (x)
f (x)
f (x)→0
α −1
lim
= loga e
f (x)
f (x)→0
x
e −1
lim
= 1
f (x)
f (x)→0
loga (1+x)
lim
ln[1+f (x)]
lim
= 1
[f (x)]
α
+
= α
∀α > 0
∀α ∈ R
loga f (x) = 0
∀α > 0, a > 1
f (x)→0
sin x
= 1
x
lim
f (x)→0
1−cos x
=
2
x
1−cos x
1
lim
2
f (x)→0
= 0
x
lim
f (x)→0
tan x
x
= 1
lim
f (x)→0
arcsin x
= 1
x
f (x)→0
arctan x
x
sinh x
x
= 1
lim
f (x)→0
= 1
lim
f (x)→0
cosh x−1
2
x
tanh x
x
lim
=
= 1
1
2
lim
f (x)→0
lim
f (x)→0
16
sin f (x)
= 1
f (x)
1−cos f (x)
[f (x)]
=
2
1−cos f (x)
= 1
f (x)
arcsin f (x)
= 1
f (x)
arctan f (x)
f (x)
sinh f (x)
f (x)
2
tanh f (x)
f (x)
= 1
= 1
cosh f (x)−1
[f (x)]
2
= 0
f (x)
tan f (x)
1
=
1
2
= 1
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Derivate
Funzione
(forma semplice)
k,
x
α
k ∈ R
,
Derivata
0
α ∈ R
αx
α−1
[f (x)]
2√ x
x
x
e
e
x
a
x
⋅ ln a
1
f (x)
a
1
f (x)
′
⋅ ln a ⋅ f (x)
′
⋅ f (x)
f (x)
1
loga f (x)
x ln a
′
⋅ f (x)
1
ln f (x)
′
⋅ f (x)
′
f (x)
e
α−1
⋅ f (x)
2√f (x)
f (x)
a
x
loga x
α[f (x)]
e
1
ln x
α
−
−
−
−
√f (x)
1
√x
a
Funzione
(forma generale)
Derivata
′
⋅ f (x)
f (x) ln a
′
sin x
cos x
sin f (x)
cos f (x) ⋅ f (x)
cos x
− sin x
cos f (x)
− sin f (x) ⋅ f (x)
′
1
tan x
2
cos
−
cot x
2
cot f (x)
x
−
1
√1−x2
1+x
1
sin
2
f (x)
′
⋅ f (x)
2
1
−
′
⋅ f (x)
√1−[f (x)]
1
2
′
1+[f (x)]
2
⋅ f (x)
1
′
arccot f (x)
−
cosh x
sinh f (x)
cosh f (x) ⋅ f (x)
sinh x
cosh f (x)
sinh f (x) ⋅ f (x)
arccot x
−
sinh x
cosh x
2
1+x
cosh
1+[f (x)]
2
⋅ f (x)
′
′
′
1
2
f (x)
tanh f (x)
x
cosh
2
f (x)
′
1
coth x
f (x)
√1−[f (x)]
arctan f (x)
2
tanh x
f (x)
1
arccos f (x)
1
arctan x
−
arcsin f (x)$
√1−x2
arccos x
2
cos
′
1
sin
f (x)
tan f (x)
x
1
arcsin x
′
2
sinh
f (x)
coth f (x)
x
2
sinh
Derivata della funzione composta esponenziale
y = [f (x)]
f (x)
g(x)
′
y
′
= [f (x)]
g(x)
g(x)f (x)
′
[g (x) ln f (x) +
17
]
f (x)
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Teoremi sul calcolo delle derivate
DERIVATA DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE
k
PER UNA FUNZIONE
f:
′
D[k ⋅ f (x)] = k ⋅ f (x)
DERIVATA DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI
e g:
f
′
′
D[f (x) + g(x)] = f (x) + g (x)
DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI
f
e g:
′
′
D[f (x) ⋅ g(x)] = f (x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g (x)
DERIVATA DEL QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI
e g:
′
f (x)
D[
f
′
f (x) ⋅ g(x) − f (x) ⋅ g (x)
] =
g(x)
[g(x)]
18
2
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19
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Max e min relativi e assoluti
TEOREMA DI FERMAT:
Sia
∘
f : X → R, x 0 ∈ X
punto di max o min relativo tale che
∃ f (x 0 ) .
′
Si ha:
′
f (x 0 ) = 0
Sia
f : X → R
una funzione continua in
′
a.
f (x) > 0
∀x ∈ I− (x 0 )
′
f (x) < 0
′
b.
f (x) < 0
′
f (x) > 0
Sia
f : X → R
} ⇒
x 0 max relativo per f
} ⇒
x 0 min relativo per f
∀ ∈ I + (x 0 )
∀x ∈ I− (x 0 )
∀x ∈ I+ (x 0 )
derivabile
′
f (x 0 ) = f
′′
n
e derivabile in un suo intorno. Allora:
x0
volte e sia
(x 0 ) = ⋯ = f
x0
tale che
(n−1)
(x 0 ) = 0
e
f
(n)
(x 0 ) ≠ 0,
allora
a.
n
pari e
f
b.
n
pari e
f
c.
n
dispari e
f
d.
n
dispari e
f
(n)
(n)
(x 0 ) < 0
⇒
x0
max relativo
(x 0 ) > 0
⇒
x0
min relativo
(n)
(n)
(x 0 ) > 0
⇒
f
crescente in
(x 0 ) < 0
⇒
f
decrescente in
x0
x0
Ricerca dei max e min relativi
Se
f : X → R
è derivabile nell'interno di
1. si risolve l'equazione
′
f (x) = 0
X
allora
per determinare i punti critici
2. si applica il teorema 2) o 3) (visti sopra) per decidere se si tratta di max o min
relativi.
Se
f : X → R
non è derivabile nell'interno di
20
X
allora occorre esaminare due tipi di
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punti:
1. punti critici (vedi caso precedente)
∘
2. i punti x 0 ∈ X tali che ∃f̸ ′ (x 0 ): in questo caso bisogna verificare se si tratta di
minimo o di massimo relativo applicando la definizione.
Ricerca dei max e min assoluti
Confrontare i valori che
1.
f : X → R
assume nei punti dei seguenti insiemi:
∘
{x ∈ X
′
:
f (x) = 0}
:
∃ ̸ f (x)}
∘
2.
{x ∈ X
3.
{x ∈ F X ∪ X}
′
Scegliere il più grande M e il più piccolo
e il minimo della funzione
21
m
per trovare rispettivamente il massimo
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Integrali
Integrale
(forma semplice)
∫ 0 dx
0
∫ k dx, k ∈ R
kx + c
∫ x
∫
α
dx,
1
dx
2 √x
∫ e
x
∫ a
x
α+1
α+1
∫ [f (x)]
+ c
e
x
a
dx
1
∫
′
⋅ f (x) dx,
α ∈ R ∖ {−1}
∫ e
f (x)
x
+ c
∫ a
′
⋅ f (x) dx
f (x)
1
e
′
′
sin x + c
∫ cos[f (x)] ⋅ f (x) dx
∫ sin x dx
− cos x + c
∫ sin[f (x)] ⋅ f (x) dx
tan x + c
∫
cot x + c
∫ −
∫
2
dx
x
ln |f (x)| + c
′
sin
dx
2
x
1
′
cos
2
f (x)
tan f (x) + c
dx
f (x)
sin
2
dx
cot f (x) + c
f (x)
1
′
⋅ f (x) dx
∫
arccos x + c
∫ −
arctan x + c
∫
arccot x + c
∫ −
∫ cosh x dx
sinh x + c
∫ cosh[f (x)] ⋅ f (x) dx
∫ sinh x dx
cosh x + c
∫ sinh[f (x)] ⋅ f (x) dx
tanh x + c
∫
coth x + c
∫
∫
∫
1
1
1
1+x
2
dx
√1−[f (x)]2
1
′
⋅ f (x) dx
√1−[f (x)]2
1
arcsin f (x) + c
arccos f (x) + c
′
1+[f (x)]
2
⋅ f (x) dx
1
arctan f (x) + c
′
1+[f (x)]
2
⋅ f (x) dx
arccot f (x) + c
′
sinh f (x) + c
′
cosh f (x) + c
′
1
2
dx
x
f (x)
cosh
2
dx
tanh f (x) + c
dx
coth f (x) + c
f (x)
′
1
sinh
dx
dx
2
cosh
∫
dx
√1−x2
1+x
∫ −
− cos f (x) + c
f (x)
arcsin x + c
√1−x2
∫ −
sin f (x) + c
′
1
∫ −
∫
+ c
′
1
cos
⋅ f (x) dx
f (x)
+ c
f (x)
ln a
∫ cos x dx
dx
f (x)
a
⋅ f (x) dx
∫
x
α+1
√f (x) + c
ln |x| + c
∫
[f (x)]
′
⋅ f (x) dx
2√f (x)
+ c
ln a
α
Primitive
α+1
√x + c
dx
x
1
α ∈ R ∖ {−1}
Integrale
(forma generale)
Primitive
2
dx
x
f (x)
sinh
2
f (x)
Teoremi sul calcolo integrale
INTEGRALE DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE
∫
k
PER UNA FUNZIONE
k ⋅ f (x) dx = k ⋅ ∫
22
f
:
f (x) dx
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INTEGRALE DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI
∫
f
f (x) + g(x) dx = ∫
e g:
f (x) dx + ∫
g(x) dx
METODO DI INTEGRAZIONE PER PARTI:
∫
′
′
f (x) ⋅ g(x) dx = f (x) ⋅ g(x) − ∫
f (x) ⋅ g (x) dx
ESTENSIONE DEL CONCETTO DI INTEGRALE:
b
a
∫
f (x) dx = − ∫
a
b
PROPRIETA' ADDITIVA DELL'INTEGRALE (c
b
∫
f (x) dx
∈ [a, b]
):
c
f (x) dx = ∫
a
b
f (x) dx + ∫
a
f (x) dx
c
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE:
Se
f (x) : [a, b] → R
è continua in
[a, b]
, allora, per ogni
x ∈ [a, b]
si ha:
x
F (x) = ∫
f (x) dx
′
⇒
F (x) = f (x)
a
TEOREMA DELLA MEDIA:
Se
f (x) : [a, b] → R
è continua in
[a, b]
, esiste
c ∈ [a, b]
tale che:
b
∫
f (x) dx = (b − a) ⋅ f (c)
a
Integrali impropri
Se
f (x) : (a, b) → R
è continua in
]a, b]
, si ha:
b
∫
b
f (x) dx =
Se
f (x) : (a, b) → R
è continua in
lim
x0 →a
a
[a, b[
+
∫
f (x) dx
x0
, si ha:
23
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b
∫
x0
f (x) dx =
Se
f (x) : (a, b) → R
è continua in
[a, b] ∖ {c}
b
∫
−
f (x) dx
a
con
c ∈]a, b[
f (x) dx =
lim
x0 →c
a
−
è integrabile in
f (x) : [a, +∞[→ R
b
∫
f (x) dx +
[a, +∞[
lim
∫
è integrabile in
]−∞, b]
f (x) dx
a
, si ha:
b
b
f (x) dx =
lim
f (x) :] − ∞, +∞[→ R
∫
x0 →−∞
−∞
Se
è integrabile in
f (x) dx
x0
]−∞, +∞[
+∞
∫
f (x) dx
x0
, si ha:
x0 →+∞
∫
∫
+
x0
f (x) dx =
a
f (x) :] − ∞, b] → R
lim
x0 →c
a
+∞
∫
Se
, si ha:
x0
∫
Se
lim
x0 →b
a
, si ha:
x2
f (x) dx =
lim
∫
x1 →−∞
−∞
f (x) dx
x1
x2 →+∞
Criteri di integrabilità
Se
f (x)
è una funzione continua in
[a, b[
⎧0
⎪
⎪
⎪
e se
con p < 1, allora ∫
b
a
p
lim (b − x) f (x) = ⎨
∞
−
⎪
⎪
⎩
⎪
l ∈ R ∖ {0}
x→b
Se
f (x)
è una funzione continua in
]a, b]
⎧0
⎪
⎪
⎪
con p ≥ 1, allora ∫
allora ∫
b
a
b
a
e se
b
a
p
con p ≥ 1, allora ∫
x→a
Se
f (x)
è una funzione continua in
[a, +∞[
⎧
⎪
⎪0
lim
x→+∞
allora ∫
b
a
b
a
f (x) dx converge
f (x) dx diverge
f (x) dx converge se e solo se p < 1
e se
con p > 1, allora ∫
p
x f (x) = ⎨ ∞
⎪
⎪
⎩
l ∈ R ∖ {0}
f (x) dx diverge
f (x) dx converge se e solo se p < 1
con p < 1, allora ∫
lim (x − a) f (x) = ⎨
∞
+
⎪
⎪
⎩
⎪
l ∈ R ∖ {0}
f (x) dx converge
con p ≤ 1, allora ∫
allora ∫
+∞
a
24
+∞
a
+∞
a
f (x) dx converge
f (x) dx diverge
f (x) dx converge se e solo se p > 1
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Funzione inversa e retta tangente
Una funzione strettamente monotona (crescente o decrescente) è invertibile.
Se una funzione f (x) è invertibile e derivabile in
derivata prima nel punto sarà:
Df
−1
x0
con
y 0 = f (x 0 ) ,
allora la sua
1
(y 0 ) =
′
f (x 0 )
L'equazione della retta tangente al grafico della funzione
y = f (x)
nel punto
x0
è
′
y − f (x 0 ) = f (x 0 )(x − x 0 )
dove
′
f (x 0 )
è la derivata della funzione
f
calcolata nel punto
25
x = x0 .
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Serie numeriche
Serie a termini non negativi
+∞
Condizione necessaria affinchè una serie a termini non negativi
∑ an
converga è che
n=1
lim
n→+∞
an = 0
Criteri per la determinazione del carattere di una serie numerica
CRITERIO DEL RAPPORTO:
a n+1
lim
n→+∞
an
< 1
⎧
⎪
= l⎨> 1
⎩
⎪
= 1
la serie converge
la serie diverge
nulla si può dire
CRITERIO DELLA RADICE:
⎧< 1
⎪
lim
n→+∞
−
n −
√a n = l ⎨ > 1
⎩
⎪
= 1
la serie converge
la serie diverge
nulla si può dire
CRITERIO DI RAABE:
lim
n→+∞
n(
an
a n+1
< 1
⎧
⎪
− 1) = l ⎨ > 1
⎩
⎪
= 1
la serie diverge
la serie converge
nulla si può dire
CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY:
Se an è non crescente (an+1
anche:
≤ a n ∀n ∈ N ),
la serie è convergente se e solo se lo è
+∞
n
∑ 2 a 2n
n=0
CRITERIO DEL CONFRONTO:
Siano
+∞
+∞
∑ an ,
∑ bn
n=1
due serie a termini non negativi con
a n ≤ b n ∀n ∈ N ,
allora:
n=1
26
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+∞
1. Se
+∞
∑ bn
è convergente con somma
B,
anche
n=1
∑ an
è convergente con somma
n=1
A ≤ B.
+∞
2. Se
+∞
∑ an
è divergente, anche
n=1
∑ bn
è divergente.
n=1
CRITERIO DEL CONFRONTO CON LA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA:
La serie armonica generalizzata è data da:
+∞
∑
n=1
a. Se
∃ p > 1 :
p
lim
n→+∞
b. Se
∃ p ≤ 1 :
an ⋅ n
p
lim
n→+∞
an ⋅ n
1
p
= {
n
< +∞ ,
∈
+∞
se p ≤ 1
< +∞
se p > 1
allora la serie converge
]0, +∞] ,
allora la serie diverge
Serie a termini alterni e serie oscillanti
Indichiamo con
S
la somma della serie e con
Sn
la somma parziale dei primi
n
termini.
TEOREMA DI LEIBENITS:
+∞
Se
∑ (−1)
n
a n , a n ≥ 0 ∀n ∈ N , a n
monotona non crescente (an+1
≤ a n ∀n ∈ N )
n=1
e
lim
n→+∞
an = 0
allora la serie converge ed inoltre
|S − Sn | ≤ a n+1 .
TEOREMA DELLE SERIE OSCILLANTI:
+∞
Se
∑ (−1)
n
a n , a n ≥ 0 ∀n ∈ N , a n
monotona non decrescente (
n=1
a n+1 ≥ a n ∀n ∈ N )
e
lim
n→+∞
an ≠ 0
allora la serie oscilla.
Serie numeriche assolutamente convergenti
27
+∞
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+∞
+∞
Una serie numerica
+∞
∑ an
si dice ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE se
n=1
∑ |a n |
è
n=1
convergente.
Se una serie numerica è assolutamente convergente allora è convergente.
Somma e prodotto di serie
La somma di due serie numeriche
+∞
+∞
+∞
∑ a n + ∑ b n = ∑(a n + b n ) {
n=1
n=1
n=1
converge se entrambi convergono
diverge se almeno una delle due diverge
Il prodotto di due serie numeriche
+∞
+∞
+∞
∑ a n ∗ ∑ b n = ∑(cn )
n=1
n=1
n=1
è convergente solo se entrambe le serie sono convergenti e almeno una delle due è
assolutamente convergente
Alcune serie numeriche notevoli
SERIE GEOMETRICA DI RAGIONE q :
⎧
⎪
⎪
+∞
∑q
n=1
n−1
1
1−q
= ⎨ +∞
⎪
⎩
⎪
∄
se − 1 < q < 1
se q ≥ 1
se q ≤ −1
SERIE TELESCOPICA (DI MENGOLI):
+∞
1
∑
n=1
= 1
n(n + 1)
28
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