Risoluzione e commento del Quesito 6

Esame di Stato di Liceo Scientifico- Corso di Ordinamento - Sessione Ordinaria 2009
Questionario
Risoluzione e commento del Quesito 6
6.
Si calcoli: lim
x →−∞
x2 + 1
x
Soluzione
La funzione assegnata è irrazionale fratta ed il suo dominio di definizione è l’insieme dei
numeri reali privato dello zero: ℝ 0 . Il punto x=-∞ è dunque di accumulazione ed il limite
ha senso. Per il suo calcolo sarà necessario ricordare le due seguenti proprietà:
a) x 2 = x ;
b) per ogni numero reale negativo il valore assoluto del numero coincide con l’opposto del
numero stesso: x = − x .
Prima di passare al calcolo facciamo notare che il limite si presenta nella forma
∞
indeterminata , ma vedremo che esiste ed il suo valore è finito.
∞
Ciò premesso si ha:
x +1
= lim
x →−∞
x
2
lim
x →−∞
1 

1
1
x2 1 + 2 
x 1+ 2
−x 1+ 2
 x 
x = lim
x = lim − 1 + 1 = −1
= lim
x →−∞
x
→−∞
x
→−∞
x
x
x
x2
Commento
Il quesito non è particolarmente impegnativo. Nel corso della preparazione liceale gli studenti sono
abituati ad affrontare limiti il cui studio è di gran lunga più complesso, senza dimenticare che
spesso anche nei corsi tradizionali ormai si affronta l’argomento <<confronto di infiniti e di
infinitesimi>>. Gli studenti che hanno lavorato sull’argomento indicato riescono a “calcolare il
valore del limite a vista” perché riconoscono che numeratore e denominatore della frazione, per
x → −∞ , sono due infiniti che hanno lo stesso ordine e sanno addirittura che per x → +∞ e per
x → −∞ l’infinito x 2 + 1 è equivalente all’infinito campione x ; sono dunque in grado di valutare
che il limite proposto vale -1 (meno uno).
Per gli studenti meno preparati qualche difficoltà può essere generata dalla richiesta che si debba
studiare il limite per x→-∞ e non per x→+∞, nonché dalla presenza della radice quadrata.
Quest’ultima, sia che il candidato decida di trasportare fuori dalla radice un fattore, sia che decida
di effettuare il calcolo del limite trasportando sotto il segno di radice il fattore presente al
denominatore della frazione, deve fare attenzione all’utilizzo del valore assoluto.
Livello di difficoltà : 3
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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