matematica

Liceo Scientifico dicembre 2009
Nome ___________________________________________ classe _________ data ___________
Semplifica le seguenti espressioni letterali
1. 1 xy − ⎛⎜ − 1 xy ⎞⎟ + 4 xy − 5xy + 3xy 2
2
⎝ 2 ⎠
2
⎤
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 4 5 ⎞ ⎛ 3 3 3 ⎞ ⎡⎛ 1 3 ⎞
2. 2ab ⎜ − y ⎟ + ⎜ x y ⎟ : ⎜ − x y ⎟ − ⎢⎜ xy ⎟ ⋅ 4 x 2 y − ⎛⎜ 1 x6 y8 ⎞⎟ : ⎛⎜ − 9 x 2 y ⎞⎟ ⎥ : ⎛⎜ 2 x3 y5 ⎞⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝7
⎠ ⎝ 7
⎠ ⎣⎢⎝ 3
⎠
⎝9
⎠ ⎝ 2
⎠ ⎦⎥ ⎝ 3
⎠
3. ⎛⎜ 1 a 2 − 1 a ⎞⎟ ⎛⎜ 3 a 4 + 1 a 2 ⎞⎟ − ⎛⎜ 3 a + 1 a 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 a 2 − 1 a 2 ⎞⎟
3 ⎠⎝ 4
9 ⎠ ⎝2
3 ⎠⎝ 4
3 ⎠
⎝2
4. ⎛⎜ y + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ y 2 + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ y 4 + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ y − 1 ⎞⎟
2 ⎠⎝
4 ⎠⎝
16 ⎠ ⎝
2⎠
⎝
2
5. ⎛⎜ 3a − 1 ab2 ⎞⎟
2
⎝
⎠
6. ⎛⎜ a 2 + 1 ab + b2 ⎞⎟ ⎛⎜ a 2 − b2 + 1 ab ⎞⎟ applica i prodotti notevoli.
3
3 ⎠
⎝
⎠⎝
7. ⎛⎜ 1 b
⎝3
8.
2
1 ⎞
− b⎟
2 ⎠
3
3
⎡2
8 3 ⎛1
2 ⎞ ⎤
⎛ 2 1 2 ⎞⎛ 1 2
2⎞
⎜ b − a ⎟⎜ a + b ⎟ + ⎢ ab ( x + 2 y ) + b − ⎜ a + b ⎟ ⎥ ( −3a )
3 ⎠⎝ 3
27
3 ⎠ ⎦⎥
⎝
⎠ ⎣⎢ 9
⎝3
9. ⎡⎣8 + ( x + 4 )( x − 2 )⎤⎦ + (1 + a )( a + 1) − ( a − 1)
10. Dati due numeri a e b. Calcola il quadrato della differenza tra il loro prodotto e la loro somman
n
2
2n
2n
n
3
Togli dal risultato ottenuto il quadrato della somma di a con b. Semplifica l’espressione ottenuta.
11. Due monomi che hanno coefficienti uguali, stesse lettere e stesso grado sono necessariamente
uguali? Se non lo sono, può fare due esempi di monomi distinti che verificano le condizioni?
12. Qual è la somma algebrica dei coefficienti del seguente polinomio?
(x
21
+ 4 x 2 − 3)
2001
− ( x 21 + 4 x 2 + 3)
667
+ x 21 + 4 x 2
13. Dato il triangolo isoscele ABC di vertice A, prolunga i lati congruenti AB e AC dalla parte di
A di due segmenti congruenti AD e AE, con D sul prolungamento di AC ed E sul prolungamento di
AB. Congiungi B con D, C con E, dimostra che BD = CE. Detto P il punto di incontro dei
prolungamenti di BD ed EC dimostra che PBC è isoscele.
Ricorda che un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti.
Svolgimento
1. 1 xy − ⎛⎜ − 1 xy ⎞⎟ + 4 xy − 5xy + 3xy 2
2
⎝ 2 ⎠
1
1
xy + xy + 4 xy − 5 xy + 3 xy 2
2
2
1
1
⎛
⎞
2
⎜ + + 4 − 5 ⎟ xy + 3xy
⎝2 2
⎠
2
3xy
2
⎤
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 4 5 ⎞ ⎛ 3 3 3 ⎞ ⎡⎛ 1 3 ⎞
2. 2ab ⎜ − y ⎟ + ⎜ x y ⎟ : ⎜ − x y ⎟ − ⎢⎜ xy ⎟ ⋅ 4 x 2 y − ⎛⎜ 1 x6 y8 ⎞⎟ : ⎛⎜ − 9 x 2 y ⎞⎟ ⎥ : ⎛⎜ 2 x3 y5 ⎞⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝7
⎠ ⎝ 7
⎠ ⎣⎢⎝ 3
⎠
⎝9
⎠ ⎝ 2
⎠ ⎦⎥ ⎝ 3
⎠
2
3 7
1 2
⎡1
⎤ ⎛2
⎞
− aby − ⋅ xy 2 − ⎢ x 2 y 6 ⋅ 4 x 2 y + ⋅ x 4 y 7 ⎥ : ⎜ x3 y 5 ⎟
3
7 3
9 9
⎣9
⎦ ⎝3
⎠
2
2
⎡4
⎤ ⎛2
⎞
− aby − xy 2 − ⎢ x 4 y 7 + x 4 y 7 ⎥ : ⎜ x3 y 5 ⎟
3
81
⎣9
⎦ ⎝3
⎠
2
⎡ 36 + 2 4 7 ⎤ ⎛ 2 3 5 ⎞
− aby − xy 2 − ⎢
x y ⎥ :⎜ x y ⎟
3
⎣ 81
⎦ ⎝3
⎠
2
38
⎛2
⎞
− aby − xy 2 − x 4 y 7 : ⎜ x 3 y 5 ⎟
3
81
⎝3
⎠
2
38 3
− aby − xy 2 − ⋅ xy 2
3
81 2
2
19 2
− aby − xy 2 −
xy
3
27
2
−27 − 19 2
− aby +
xy
3
27
2
46 2
− aby −
xy
3
27
3. ⎛⎜ 1 a
1 ⎞⎛ 3
1 ⎞ ⎛3
1 ⎞⎛ 3
1 ⎞
− a ⎟⎜ a 4 + a 2 ⎟ − ⎜ a + a 2 ⎟ ⎜ a 2 − a 2 ⎟
3 ⎠⎝ 4
9 ⎠ ⎝2
3 ⎠⎝ 4
3 ⎠
⎝2
3 6 1 4 1 5 1 3 ⎛3
1 ⎞⎛ 9 − 4 2 ⎞
a + a − a − a − ⎜ a + a2 ⎟ ⎜
a ⎟
8
18
4
27
3 ⎠ ⎝ 12
⎝2
⎠
3 6 1 4 1 5 1 3 ⎛3
1 ⎞5
a + a − a − a − ⎜ a + a2 ⎟ a2
8
18
4
27
3 ⎠ 12
⎝2
3 6 1 4 1 5 1 3 5 3 5 4
a + a − a − a − a − a
8
18
4
27
8
36
3 6 1 5 2 − 5 4 −8 − 135 3
a − a +
a +
a
8
4
36
216
3 6 1 5 3 4 143 3
a − a − a −
a
8
4
36
216
2
4. ⎛⎜ y + 1 ⎞⎛
⎟⎜ y
1 ⎞⎛
1 ⎞⎛
1⎞
+ ⎟⎜ y 4 + ⎟⎜ y − ⎟
2 ⎠⎝
4 ⎠⎝
16 ⎠⎝
2⎠
⎝
1 ⎞⎛
1 ⎞⎛ 2 1 ⎞⎛ 4 1 ⎞
⎛
⎜ y + ⎟⎜ y − ⎟⎜ y + ⎟⎜ y + ⎟
2 ⎠⎝
2 ⎠⎝
4 ⎠⎝
16 ⎠
⎝
⎛ 2 1 ⎞⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 4 1 ⎞
⎜ y − ⎟⎜ y + ⎟ ⎜ y + ⎟
4 ⎠⎝
4 ⎠⎝
16 ⎠
⎝
⎛ 4 1 ⎞⎛ 4 1 ⎞
⎜ y − ⎟⎜ y + ⎟
16 ⎠ ⎝
16 ⎠
⎝
1
y8 −
256
5. ⎛⎜ 3a − 1 ab
⎝
2
2
2
⎞
⎟
⎠
2
1
9a 2 − 3a 2b 2 + a 2b 4
4
6. ⎛⎜ a
1
1 ⎞
⎞⎛
+ ab + b 2 ⎟ ⎜ a 2 − b 2 + ab ⎟ applica i prodotti notevoli.
3
3 ⎠
⎝
⎠⎝
1
⎛ 2 1
2 ⎞⎛ 2
2⎞
⎜ a + ab + b ⎟ ⎜ a + ab − b ⎟
3
3
⎝
⎠⎝
⎠
2
⎛⎛ 2 1 ⎞ 2 ⎞⎛⎛ 2 1 ⎞ 2 ⎞
⎜ ⎜ a + 3 ab ⎟ + b ⎟ ⎜ ⎜ a + 3 ab ⎟ − b ⎟
⎠
⎠
⎝⎝
⎠⎝⎝
⎠
2
⎛ 2 1 ⎞
2
⎜ a + ab ⎟ − b
3
⎝
⎠
2
1
a 4 + a 3b + a 2 b 2 − b 2
3
9
3
7. ⎛⎜ 1 b2 − 1 b ⎞⎟
2 ⎠
⎝3
1 6
1
1
1
1
⎛ 1 ⎞
b + 3 ⋅ b 4 ⋅ ⎜ − b ⎟ + 3 ⋅ b 2 ⋅ b 2 − b3
27
9
3
4
8
⎝ 2 ⎠
1 6 1 5 1 4 1 3
b − b + b − b
27
6
4
8
3
⎡2
1 2
8 3 ⎛1
2 ⎞ ⎤
2⎞
a
+
b
+
ab
x
+
2
y
+
b
−
a
+
b
8. ⎛⎜ b2 − 1 a 2 ⎞⎛
(
)
⎟⎜
⎟ ⎢
⎜
⎟ ⎥ ( −3a )
3 ⎠⎝ 3
27
3 ⎠ ⎥⎦
⎝
⎠ ⎢⎣ 9
⎝3
4
8 3 ⎛ 1 3
1 2 2
1 4 2 8 3 ⎞⎤
⎛ 2 1 2 ⎞⎛ 2 1 2 ⎞ ⎡ 2
⎜ b − a ⎟⎜ b + a ⎟ + ⎢ abx + aby + b − ⎜ a + 3 ⋅ a ⋅ b + 3 ⋅ a ⋅ b + b ⎟ ⎥ ( −3a )
3 ⎠⎝
3 ⎠ ⎣9
9
27
9
3
3 9
27 ⎠ ⎦
⎝
⎝ 27
1
4
8
1
2
4
8 ⎤
⎡2
b 4 − a 4 + ⎢ abx + aby + b3 − a 3 − a 2 − ab 2 − b3 ⎥ ( −3a )
9
9
27
27
9
9
27 ⎦
⎣9
1
2
4
8
1
2
4
8
b 4 − a 4 − a 2bx − a 2by − ab3 + a 4 + a 3 + a 2b 2 + ab3
9
3
3
9
9
3
3
9
1
2
4
8
1
2
4
8
b 4 − a 4 − a 2bx − a 2by − ab3 + a 4 + a 3 + a 2b 2 + ab3
9
3
3
9
9
3
3
9
2
4
2
4
b 4 − a 2bx − a 2by + a 3 + a 2b 2
3
3
3
3
9. ⎡⎣8 + ( x
n
+ 4 )( x n − 2 ) ⎤⎦ + (1 + a 2 n )( a 2 n + 1) − ( a n − 1)
2
⎡⎣8 + x 2 n − 2 x n + 4 x n − 8⎤⎦ + (1 + a 2 n ) − ( a n − 1)
2
2
3
3
⎡⎣ x 2 n + 2 x n ⎤⎦ + 1 + 2a 2 n + a 4 n − ( a 3n − 3a 2 n + 3a n − 1)
x 4 n + 4 x3n + 4 x 2 n + 1 + 2a 2 n + a 4 n − a 3n + 3a 2 n − 3a n + 1
x 4 n + 4 x 3n + 4 x 2 n + a 4 n − a 3n + 5a 2 n − 3a n + 2
2
10. Dati due numeri a e b. Calcola il quadrato della differenza tra il loro prodotto e la loro
somma- Togli dal risultato ottenuto il quadrato della somma di a con b. Semplifica l’espressione
ottenuta.
⎡⎣ ab − ( a + b ) ⎤⎦ − ( a + b )
2
2
[ ab − a − b] − ( a 2 + 2ab + b2 )
2
a 2b 2 + a 2 + b 2 − 2a 2b − 2ab 2 + 2ab − a 2 − 2ab − b 2
a 2b 2 − 2a 2b − 2ab 2
11. Due monomi che hanno coefficienti uguali, stesse lettere, stesso grado sono necessariamente
uguali? Se non lo sono, può fare due esempi di monomi distinti che verificano le condizioni?
3a 2b e 3ab 2
12. Qual è la somma algebrica dei coefficienti del seguente polinomio?
(x
21
+ 4 x 2 − 3)
2001
− ( x 21 + 4 x 2 + 3)
I coefficienti si ottengono sostituendo 1 alla x
(1
21
+ 4 ⋅12 − 3)
2001
− (121 + 4 ⋅12 + 3)
(1 + 4 − 3) − (1 + 4 + 3)
2001
667
( 2 ) − (8) + 1 + 4
2001
22001 − ( 23 )
667
+5
22001 − 22001 + 5
5
667
+1+ 4
667
+ 121 + 4 ⋅12
667
+ x 21 + 4 x 2
13. Dato il triangolo isoscele ABC di vertice A, prolunga i lati congruenti AB e AC dalla parte di
A di due segmenti congruenti AD e AE, con D sul prolungamento di AC ed E sul prolungamento di
AB. Congiungi B con D, C con E, dimostra che BD = CE. Detto P il punto di incontro dei
prolungamenti di BD ed EC dimostra che PBC è isoscele.
Ricorda che un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti.
Ipotesi
AB ≅ AC
P
AD ≅ AE
Tesi
BD ≅ CE
PB ≅ PC
D
E
Dimostrazione
I triangoli DAB e EAC hanno:
A
AD ≅ AE per ipotesi;
AB ≅ AC perché ABC è isoscele;
Dl
AB ≅ E l
AC opposti al vertice.
Per il I criterio di congruenza DAB ≅ EAC
In particolare BD ≅ CE .
Per dimostrare la seconda tesi
I triangoli BPE e CPD hanno:
BE ≅ DC perché somma di segmenti
congruenti;
B
l ≅ PDC
l perché supplementari
PEB
l e ADB
l , che sono
rispettivamente di AEC
congruenti per la congruenza dei triangoli DAB e EAC;
l ≅ PCD
l perché si corrispondono nei triangoli DAB e EAC che sono congruenti.
PBE
Per il II criterio di congruenza PEB ≅ PDC ,
in particolare PB ≅ PC .
C