Integrali

Appunti sull’
Integrale Indefinito e Definito
Il concetto d’integrale nasce per risolvere due classi di
problemi:
Integrale Definito
Integrale Indefinito
• calcolo dell’ area e del perimetro di
figure delimitate da curve
• calcolo di volumi
• calcolo del lavoro di una forza
• calcolo dello spazio percorso …..
• Problema inverso del calcolo della
derivata:
nota la derivata di una funzione
calcolare la funzione stessa.
1
Calcolo delle Aree
• Area dei poligoni:
È la situazione più semplice in quanto qualunque poligono
può essere scomposto in triangoli e la sua area ricondotta
all’area di un rettangolo equivalente.
Area del Rettangolo
A=bh
Basta ricoprire la superficie
del rettangolo con quadratini
di area unitaria
2
Calcolo delle Aree
• Poligoni regolari
Scomponendoli in triangoli congruenti è facile
calcolare l’area
Area di un esagono
regolare
Atriangolo
l a

2
a l
a  l  n a  (l  n) a  2 p
Apoligono 
n 


 a p
2
2
2
2
a
l' area di un poligono regolare e' uguale al semiperimetro
l per l' apotema (raggio del cerchio inscritto)
3
Calcolo delle Aree
• Poligoni Irregolari
Basta scomporli opportunamente in triangoli
Area di un Poligono qualsiasi
n
A poligono   Atriangoli
1
4
Calcolo delle Aree
• Area del Cerchio
Il calcolo dell’area è molto più complesso in quanto non è
possibile scomporre il cerchio in triangoli.
E’ possibile però calcolare l’area per approssimazioni successive
servendosi del concetto di limite:
Indichiamo con A la classe dei poligoni regolari inscritti nel cerchio,
3, 4, 5, 6, n lati rispettivamente
e con a3, a4, a5, … an le relative aree;
di
e con B la classe dei poligoni regolari circoscritti al cerchio
di 3, 4, 5, 6, …n lati
e con b3, b4, b5, bn le rispettive aree.
Se S è l’area del cerchio (incognita) sarà sempre:
an  S  bn
5
Calcolo delle Aree
e passando al limite di infiniti lati:
lim an  lim bn  S  Area Cerchio
n
n
L’area del cerchio è uguale al limite comune, quando il
numero lati  , al quale tendono le successioni formate
dalle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio e si
può dimostrare che questo limite è p r2 dove r è il raggio
del cerchio
6
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
• Area del Rettangoloide (o Trapezoide)
Vogliamo calcolare l’area della figura mistilinea determinata
dal diagramma di una funzione y = f(x) definita e continua
nell’intervallo [a, b] che in un primo momento supponiamo
anche non negativa che si dice Rettangoloide o Trapezoide
determinato da f e da [a, b]
Osserva che non è
richiesto che la funzione
sia derivabile infatti la
C funzione del grafico
presenta un punto
angoloso
y
D
A
B
a
b
x
7
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Possiamo determinare l’area approssimandola con dei
rettangoli inscritti e dei rettangoli circoscritti
Utilizzando lo stesso metodo usato per il cerchio.
Dividendo in n parti
l’intervallo [a, b], avremo n
rettangoli di base
h = (b – a)/n
y
C
Indichiamo con
sn =  areaRett.inscritti
D
A
L’area del plurirettangolo
inscritto
B
a
b
x
8
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Analogamente possiamo determinare l’area Sn del
plurirettangolo circoscritto
Indichiamo con
Sn =  areaRett.circoscritti
y
C
D
A
B
a
b
x
L’area S del trapezoide sarà sempre compresa tra sn e Sn
 areaRett.inscritti  S   areaRett.circoscritti
9
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di
S sarà sempre più precisa.
Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo
due successioni di aree di
plurirettangoli inscritti s1, s2, … sn, … e di
plurirettangoli circoscritti
S1, S2, …Sn,…
che convergono all’area del trapezoide ABCD
Teorema 1. Se y = f(x) è continua e non negativa in [a, b],
allora le successioni delle aree s1, s2, … sn, … e S1, S2,
…Sn,… convergono allo stesso limite S uguale all’area del
rettangoloide ABCD
lim sn  lim Sn  S
n
n
10
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Possiamo finalmente giungere al concetto d’integrale definito
• Integrale Definito
Data la funzione y=f(x) definita, continua e non negativa in [a, b],
dopo aver diviso l’intervallo in n parti, indichiamo con
mi = min f(x) e con Mi = max f(x) nell’intervallino i-esimo di
ampiezza h
ARettcircoscritto. = Mih
Arettinscritto
= mih
y
C
Mi
D
sn =AreaPluriRettinscr. =  mih
Sn =AreaPluriRettcirco. =  Mih
mi
i
A
a
.
h
B
b
x
11
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Allora, indicando con f(i ) il
valore della funzione in un
punto qualsiasi dell’intervallo
i-esimo, tenendo conto del
teorema del confronto (dei
«carabinieri»)e del teorema 1
y
mi  f ( i )  M i
 m  f ( )   M
i
i
i
 m  h  f ( )  h   M  h
i
i
i
Le somme  f ( i )  h prendono il nome di
Mi
D
C
SOMME DI RIEMANN
f(i )
dato che lim  mi  h  lim  M i  h S
mi
n
A
B
i
a
b
x
n
avremo che:
mi  h  lim  M i  h  lim  f ( i )  h S

n
n
n
lim
12
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Se la funzione y = f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b] è
invece non positiva
y
a
b
A
B
D
C
x
13
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli
inscritti e dei rettangoli circoscritti allo stesso modo di come abbiamo
fatto per le funzioni non negative nelle diapositive 7,8 e 9. Otterremo
ugualmente che
L’area S del trapezoide sarà sempre compresa tra sn e Sn
 areaRett.inscritti  S   areaRett.circoscritti
Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di S
sarà sempre più precisa.
Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due
successioni di aree di
plurirettangoli inscritti s1, s2, … sn, … e di
plurirettangoli circoscritti
S1, S2, …Sn,…
che convergono all’area del rettangoloide ABCD
14
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Il Teorema 1 si può quindi riformulare anche per le funzioni non
positive continue in un intervallo
Teorema 1*. Se y = f(x) è continua e non negativa oppure non positiva in
[a, b], allora le successioni delle aree s1, s2, … sn, … e S1, S2, …Sn,…
convergono allo stesso limite S uguale all’area del rettangoloide ABCD
15
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
A questo punto si possono ripetere tutti i passaggi effettuati a partire
dalla diapositiva n°11 e, tenendo presente che in questo caso i valori
della funzione sono non positivi, dopo aver diviso l’intervallo in n
parti, indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x)
nell’intervallino i-esimo di ampiezza h
y
ARettcircoscritto. = - mih
Arettinscritto
= - Mih
a
h
b
A
x
Sn =AreaPluriRettinscr.= - Mih
sn =AreaPluriRettcirco.= - mih
B
Mi
i
D
mi
C
16
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Allora, indicando con f(i ) il valore della funzione in un punto
qualsiasi dell’intervallo i-esimo,
tenendo conto del teorema del confronto (dei «carabinieri») e del
teorema 1* si hanno i passaggi esplicitati nella successiva
diapositiva:
y
h
a
b
A
B
f(i )
x
Mi
D
mi
C
17
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
mi  f ( i )  M
 mi   f ( i )   M
 m   f ( )    M
i
i
i
 m  h   f ( )  h    M
i
i
i
h
lim  mi  h   lim  mi  h
n 
n 
lim   M i  h   lim  M i  h
n 
n 
lim   f ( i )  h   lim  f ( i )  h
n 
n 
quindi da lim  mi  h  lim   M i  h  S
n 
n 
segue lim  mi  h  lim  M i  h  lim  f ( i )  h   S
n 
n 
n 
18
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Allora, possiamo dare la seguente definizione:
Definizione. Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], si
dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite
delle SOMME DI RIEMANN
lim  mi  h  lim  M i  h  lim  f ( i )  h
n 
n
n 
b
e si indica con

f ( x )dx
a
Esso rappresenta geometricamente, per una funzione non
negativa l’area S del Rettangoloide determinato da f e da
[a, b] oppure per una funzione non positiva rappresenta l’
opposto –S di tale area.
19
Integrale Definito - Calcolo delle
Aree
Poniamoci ora la seguente questione:
Cosa rappresenta l’ Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo
[a, b] per una funzione continua ma che può assumere segno diverso
nell’ intervallo [a, b] ?
b

f ( x )dx
a
Non ci vorrebbe molto a dimostrare e si può intuire che rappresenta
la differenza fra le due aree dei Rettangoloidi relativi alle due
funzioni che si ottengono da f considerando la parte non negativa di f
e la parte non positiva di f. in [a, b] come è illustrato nella figura
successiva.
20
Integrale Definito - Calcolo delle Aree
Significato geometrico generale dell’ Integrale definito
b
y
 f ( x)dx  area( R2)  area(R1)  area(R3)
a
a
b
R2
R1
R3
x
21
Integrale Definito - Proprietà
• Proprietà dell’Integrale definito
b
a)
a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
 f ( x)dx  0
b)
b
a
Proprietà di linearità
c)
d)
b
b
a
a
 kf ( x )dx  k  f ( x )dx
b
b
b
a
a
a
  f ( x )  g ( x )dx   f ( x )dx   g ( x )dx
Proprietà di additività
e)
b
c
b
a
a
c
 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
22
Integrale Definito - Proprietà
Proprietà di monotonia
f)
f ( x)  g ( x)
da
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
segue
Proprietà del modulo (o valore assoluto)
b
g)

a
b
f ( x)dx 

f ( x ) dx
a
23
Integrale Definito - Proprietà
•
Teorema del valore intermedio
Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e
limitato [a, b] allora essa assume almeno una volta ogni valore
compreso tra il massimo M e il minimo m.
Il teorema è una diretta conseguenza del teorema di Weierstrass, non lo
dimostriamo ma ne diamo una interpretazione grafica.
y
M
m
A
B
a
b
x
24
Integrale Definito - Proprietà
•
Teorema della Media
Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo
chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto
c(a, b) tale che:
b
 f ( x)dx  (b  a) f (c)
a
y
f(c)
f(c)
Cioè esiste sempre un
rettangolo di base AB e
altezza uguale a f(c) avente la
stessa area del rettangoloide.
C
D
A
c
a
c
B
b
x
25
Integrale Definito - Proprietà
Dimostrazione
Essendo f continua in  a , b  , per il teorema diWeierstrass
essa è dotata di massimo M e di minimo m in  a , b  , quindi si ha :
m  f ( x)  M
per la proprietà di monotonia dell' integralde definito si ha
b
b
b
a
a
a
 mdx   f ( x)dx   Mdx
ma m e M sono due costanti quindi
b
 mdx  m(b  a)
cioè l' integrale definito è l'area del rettangolo
a
di base b - a e altezza m
b
 Mdx  M (b  a) cioè l' integrale definito è l'area del rettangolo
a
di base b - a e altezza M
26
Integrale Definito - Proprietà
quindi si ha:
b
m(b - a ) 

f ( x ) dx  M (b - a )
a
dividendo per b - a
b
m

f ( x ) dx
M
a
(b - a )
per il teorema del valore intermedio esiste un punto c
nell' intervallo [ a, b] per cui si ha
b
f (c) 

f ( x ) dx
a
(b - a )
Tale valore viene detto valore medio di f ( x ) nell' intervallo [ a, b]
b
Vm 

f ( x ) dx
a
(b - a )
27
Integrale Definito - Calcolo dell’integrale
Il calcolo dell’integrale come lim  è estremamente complesso
e per nulla conveniente, occorre allora trovare un altro sistema
per calcolarlo.
abbiamo bisogno di approfondire il concetto di primitiva e del
teorema di Torricelli-Barrow
Funzione Primitiva
Il problema del calcolo della Primitiva è il problema
inverso del calcolo della derivata:
calcolare la primitiva significa:
data la derivata f(x) di una certa funzione non nota F(x)
calcolare la funzione y=F(x),
quindi F’(x) = f(x)
28
Integrale Definito - Calcolo dell’integrale
Derivata
?
F(x)
f(x)
Primitiva
Definizione: Diremo che F(x) è una primitiva della
funzione y=f(x) in [a, b]
se
F(x) è derivabile in [a, b] e risulta:
F’(x) = f(x)
 x [a, b]
29
Integrale Definito - Calcolo dell’integrale
• Primitive, alcuni esempi:
Primitiva (2x) = x2
--- infatti  D(x2) = 2x
Primitiva (cosx) = senx
--- infatti  D(senx) = cosx
Primitiva (1/x) = lnx
--- infatti  D(lnx) = 1/x
Primitiva (1/cos2x) = tgx
--- infatti  D(tgx) = 1/cos2x
Osserviamo anche che:
D(x2-1) = 2x --- quindi  Primitiva (2x) = x2 –1
D(x2+5) = 2x --- quindi  Primitiva (2x) = x2 +5
D(x2+a) = 2x --- quindi  Primitiva (2x) = x2 +a
30
Integrale Definito - Calcolo dell’integrale
• Osservazione molto importante
Se F(x) è una primitiva di f(x) allora
anche G(x) = F(x) + c  c R è una primitiva di f(x)
e viceversa se F(x) e G(x) sono primitive di f(x) allora
G(x) = F(x) + c
Allora una funzione ammette infinite primitive che
differiscono per una costante reale e costituiscono una
famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione
secondo l’asse y.
31
Integrale Definito - Calcolo dell’integrale
• Definizione
L’insieme di tutte le primitive di una funzione y = f(x) si chiama
INTEGRALE INDEFINITO di f(x),
si indica col simbolo:
 f ( x)dx
e si legge “Integrale indefinito di f(x) in dx”
32
Integrale Definito - Calcolo dell’integrale
Allora, riprendendo gli esempi precedenti

D x

 f ( x)dx  Pr imitive f ( x)
2


2
xdx

Pr
imitive
(
2
x
)

x
c

 cos xdx  Pr imitive(cos x)  sin x  c
D  f ( x )dx  f ( x )

1
 1 
 x dx  Pr imitive x   ln x  c
1
Dln x  c  
x

 1 
 cos 2 x dx Pr imitive cos 2 x   tgx  c
Dtgx  c  
1
2

 c  2x
Dsin x  c   cos x
1
cos 2 x
33
Integrale Definito - Proprietà
• Teorema di Torricelli- Barrow o
Teorema fondamentale del calcolo integrale (Funzione integrale)
Sia y = f(x) funzione continua nell’intervallo [a, b], consideriamo
un punto x variabile (a, b)
Al variare di x l’integrale
x
 f (t )dt
a
è una funzione di x che indicheremo con F(x) e chiameremo
funzione integrale e rappresenta l’area colorata in azzurro se f ≥ 0
y
f(x)
x
C
F ( x)   f (t )dt
D
a
A
x
a
B
b
x
34
Integrale Definito - Proprietà
In particolare
Se x = a
a
b
F ( a )   f (t )dt  0
se x = b
a
F (b )   f (t )dt
a
Avremo allora il seguente
•
Teorema di Torricelli- Barrow o
teorema fondamentale del calcolo integrale
Se y = f(x) è continua in [a, b] allora la funzione integrale
x
F ( x) 

f (t )dt
a
è derivabile e risulta: F’(x) = f(x);
cioè F(x) è una primitiva di f(x).
35
Integrale Definito - Proprietà
•Dimostrazione
Consideriamo l’intervallino [x, x+h]:
avremo
x
y
F ( x )   f (t )dt
a
C
xh
D
F ( x  h) 
 f (t )dt
a
A
B
a
x
x+h
b
x
L’incremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è:
F  F ( x  h )  F ( x ) 
xh
x
a
a
 f (t )dt   f (t )dt
36
Integrale Definito - Calcolo dell’integrale
semplificando
F 
xh
x
x
xh
x
xh
a
a
a
x
a
x
 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt
e, per il teorema della media:
xh
F 
 f (t )dt 
f ( c )h
x
da cui, avremo il rapporto incrementale
F F ( x  h)  F ( x )

 f (c )
h
h
e, passando al limite per h  0, osservando che c  x
F ' ( x )  lim
h 0
F
F ( x  h)  F ( x)
 lim
 lim f (c )  f ( x )
h
h
h 0
h 0
Cioè la derivata di F(x) = f(x)
F ' ( x)  f ( x)
37
Integrale Definito - Proprietà
•
Calcolo dell’Integrale Definito mediante la formula di NewtonLeibniz detta anche formula fondamentale del calcolo integrale
Finalmente possiamo calcolare l’integrale definito
b

f (t ) dt
a
Considerando la funzione integrale avremo:
a
x

f (t )dt  G ( x )  c
a
G (a ) e
Da cui c
c =G(a)
e per x = a
f (t )dt  G ( a )  c  0
a
x


f (t )dt  G ( x )  c  G ( x )  G ( a )
a
b
e per x = b

a
f (t )dt  G(b)  G( a )  G( x )a
b
38
Integrale Definito - Proprietà
Formula fondamentale del calcolo integrale o
formula di Newton-Leibniz
L’integrale definito di una funzione continua
y=f(x), calcolato nell’intervallo [a, b], è uguale alla
differenza tra i valori che una qualunque primitiva
di f(x) assume agli estremi superiore e inferiore
dell’intervallo [a, b], che si dice intervallo
d’integrazione.
b
 f (t )dt  G(b)  G(a)  G( x)
b
a
a
39
Isaac Barrow (Londra, 1630 – Londra, 4 maggio 1677) è stato un
matematico, teologo, erudito ed ecclesiastico inglese. Gli viene
attribuito un ruolo (ancorché non di primo piano) nello sviluppo del
calcolo moderno. In particolare viene ricordato per i suoi lavori sul
calcolo della tangente. Isaac Newton fu allievo di Barrow
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 25 dicembre 1642
– Londra, 20 marzo 1727) è stato un matematico, fisico, filosofo
naturale, astronomo, teologo e alchimista inglese; citato anche come
Isacco Newton, è considerato uno dei più grandi scienziati di tutti i
tempi e fu Presidente della Royal Society.
Evangelista Torricelli (Roma, 15 ottobre 1608 – Firenze, 25 ottobre
1647) è stato un matematico e fisico italiano. Oltre all'attività di
matematico e studioso di geometria, nel corso della quale elaborò
diversi importanti teoremi e anticipò il calcolo infinitesimale, egli si
dedicò alla fisica, studiando il moto dei gravi e dei fluidi e
approfondendo l'ottica. Possedeva un laboratorio nel quale
realizzava egli stesso lenti e telescopi. Torricelli si dedicò anche allo
studio dei fluidi, giungendo ad inventare il barometro a mercurio
chiamato "tubo di Torricelli" o "tubo da vuoto di Torricelli"
40
Gottfried Wilhelm von Leibniz, (Lipsia, 1º luglio 1646 – Hannover, 14
novembre 1716), è stato un matematico, filosofo, scienziato, logico,
diplomatico, giurista, storico, magistrato. A lui si deve il termine "funzione",
che egli usò per individuare le proprietà di una curva, tra cui l'andamento,
la pendenza e la perpendicolare in un punto, la corda. A Leibniz, assieme a
Isaac Newton, vengono generalmente attribuiti l'introduzione e i primi
sviluppi del calcolo infinitesimale, in particolare il concetto di integrale, per
il quale si usano ancora oggi molte sue notazioni.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Ostenfelde, 31 ottobre 1815 – Berlino,
19 febbraio 1897) è stato un matematico tedesco, spesso chiamato "padre
dell'analisi moderna".
Karl Weierstrass era il primo fra i quattro figli di Wilhem Weierstrass, un
ufficiale governativo, e Theodora Vonderforst, morta quando lui aveva 12
anni. Il suo interesse per la matematica iniziò quando era ancora uno
studente di gymnasium.
Si occupò di definire rigorosamente i fondamenti dell'analisi, dando per
primo l'esempio di una funzione continua ovunque ma non derivabile. Il suo
nome è legato al Teorema di Weierstrass, al Teorema di Bolzano-Weierstrass
e al criterio di Weierstrass per la convergenza uniforme delle serie.
Continuò a tenere lezioni all'università anche dopo che la sua malattia lo
aveva ridotto su una sedia a rotelle. Morì di polmonite nel 1897.
Dopo la sua morte tutti i suoi scritti e le sue opere furono raccolti in sette
volumi a Berlino nel 1903.
41
Joseph-Louis Lagrange, nato Giuseppe Lodovico Lagrangia
(Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813), è stato un
matematico e astronomo italiano attivo, nella sua maturità
scientifica, per ventuno anni a Berlino e per ventisei a Parigi.
Lagrange viene unanimemente considerato tra i maggiori e più
influenti matematici del XVIII secolo. La sua più importante
opera è Mécanique analytique, pubblicata nel 1788. In campo
matematico Lagrange è ricordato per i contributi dati alla
teoria dei numeri, per aver sviluppato il calcolo delle variazioni,
per aver delineato i fondamenti della meccanica razionale, nella
formulazione nota come meccanica lagrangiana, per i risultati
nel campo delle equazioni differenziali e per essere stato uno dei
pionieri della teoria dei gruppi.
Nel settore della meccanica celeste condusse ricerche sul
fenomeno della librazione lunare e, in seguito, sui movimenti
dei satelliti del pianeta Giove; indagò con il rigore del calcolo
matematico il problema dei tre corpi e del loro equilibrio
dinamico.
42
Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, 17 settembre 1826
– Selasca, 20 luglio 1866) è stato un matematico e fisico tedesco.
Contribuì in modo determinante allo sviluppo delle scienze
matematiche nell’ 800. Nacque nella famiglia di un pastore
protestante. Crebbe in condizioni di indigenza che ostacolarono i
suoi studi giovanili, ridotti, fino all'età di 14 anni, alle sole nozioni
insegnategli dal genitore. Bernhard era un bambino calmo,
estremamente introverso, con un timore quasi ossessivo di parlare
in pubblico. Riemann soffriva di una forma acuta di tubercolosi.
Negli ultimi anni della sua vita fece lunghi viaggi in Italia e in
particolare a Pisa cercando sollievo nel mite clima mediterraneo.
Morì nel corso del terzo viaggio in Italia durante il suo soggiorno a
Selasca sul Lago Maggiore. Aveva quasi 40 anni. Fu sepolto nel
cimitero di Biganzolo di Verbania. Oggi la tomba di Riemann non
esiste più: venne distrutta durante alcuni lavori di ristrutturazione.
Resta la sua lapide, appoggiata a un muro del cimitero, dove è
scritto:
« Qui riposa in Dio Georg Friedrich Bernhard Riemann, professore
a Gottinga, nato a Breselenz il 17 settembre 1826. Morto a Selasca il
20 luglio 1866. Tutto concorre al bene di coloro che amano Dio. »
43