Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità
Sia E un evento, cioè un avvenimento che può accadere oppure no.
 Esempio: nel lancio di un dado, consideriamo l’evento:
E = “esce un numero pari”.
Un evento può essere:
 Certo: se accade con certezza (ad esempio, nel lancio di un dado, è un evento certo
E=“esce un numero minore di 7”);
 Impossibile: se non può mai accadere (nell’esempio precedente, è impossibile l’evento
E=“esce un numero maggiore di 6”)
 Aleatorio (o casuale): se può accadere oppure no (nell’esempio precedente, è casuale
l’evento E=“esce un numero minore di 3”).
La probabilità p(E) di un evento aleatorio E è il rapporto tra il numero f dei casi
favorevoli e il numero n dei casi possibili :

La probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso tra 0 e 1 :
0 P(E) 1
In particolare, abbiamo:
 P(E) = 1
evento certo
(ES: P(“pescare pallina rossa”) = 1 se il sacchetto
contiene solo palline rosse)
 P(E) = 0
evento impossibile (ES: P(“esce il numero 7”) = 0 nel lancio di un dado)
Vediamo ora alcuni esempi in cui risulta molto utile il diagramma ad albero:
Lancio di 1 moneta
- Eventi possibili: T / C
 21 = 2 (eventi possibili)
T
C
Lancio di 2 monete
- Eventi possibili: T/T, T/C, C/T, C/C
T
T
 22 = 4 (eventi possibili)
C
C
T
C
1
Lancio di 3 monete
- Eventi possibili: T/T/T, T/T/C, T/C/C, T/C/T, C/T/T, C/T/C, C/C/T, C/C/C
T
T
T
C
C
C T
T
C T
 23 = 8 (eventi possibili)
C
C T
C
In generale, quindi, i casi possibili, nel lancio di n monete, sono 2n
Possiamo determinare la P di un E, scrivendo tutti i casi possibili e cercando quelli favorevoli,
oppure guardando il diagramma ad albero.
Esempi di probabilità di eventi nel lancio di 3 monete:
 P(3T) = 1/8 (TTT)
 P(C) = 3/8 (TTC, TCT, CTT)
 P(escono 3 facce uguali) = 2/8 = ¼ (TTT o CCC)
Se invece consideriamo il lancio di 1 dado, i casi possibili sono 6, se lancio 2 dadi sono 6 2, se
lancio 3 dadi sono 6 3, ecc….
In generale, quindi, se lancio n dadi il numero di casi possibili sarà 6 n.
Esempio di rappresentazione di lancio di 2 dadi:
Lanciamo 2 dadi e calcoliamo la P(“la somma delle due facce è maggiore di 7”)
6
Come possiamo vedere dal grafico, i casi
possibili sono 36 (ogni incrocio), mentre i
casi favorevoli sono quelli evidenziati e
sono 15.
Questo significa che:
P(E) = 15/36 = 5/12.
5
4
Dado 2
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Invece,
P(“escono due facce uguali”) = 6/36 = 1/6,
mentre
P(“somma dei dadi è 9”) = 4/36 = 1/9
Dado 1
2
L’evento contrario
Dato un evento E, l’evento contrario di E si indica con
e si verifica quando NON si verifica E.
Esempio:
Lancio un dado e considero l’evento E=”esce un numero pari”.
Allora = “esce un numero NON pari” = “esce un numero dispari”.
P(E) = 3/6 =1/2
P( )= 3/6=1/2
Esiste un teorema per calcolare P( ):
P( ) = 1 – P(E)
Dimostrazione:
P( ) =
=
=
=1-
=
= 1 – P(E)
Probabilità della somma logica di eventi
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E 1 E2).
In particolare, se gli eventi sono incompatibili, si ha che
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)
 Cosa significa E1 E2 ? (si legge: E1 unione E2; è come dire E1o E2)
E’ la somma logica o unione di due eventi, ed è quell’evento (detto anche evento
totale) che risulta verificato quando almeno uno dei due eventi si verifica.
“Almeno” significa che si verifica o E1 o E2 o tutti e due contemporaneamente.
 Cosa significa E1 E2 ? (si legge: E1 intersezione E2; è come dire E1 e E2)
E’ l’evento che risulta verificato se entrambi gli eventi si verificano,
contemporaneamente.
 Cosa significa “eventi incompatibili”?
Che il verificarsi di un evento esclude il verificarsi dell’altro, cioè che non possono
verificarsi contemporaneamente. In questo caso quindi avremo che E1 E2 =
(e di conseguenza P(E1
E2) = 0)
3
Esempi:
1) Consideriamo un urna con 15 palline numerate.
Siano E1 = “esce un numero pari” e E2 = “esce un numero maggiore di 11”.
Calcoliamo P(E1 E2).
E1: 2,4,6,8,10,12,14  sono 7
E2: 12,13,14,15  sono 4
E1 E2 : 2,4,6,8,10,12,13,14,15 sono 9
P(E1 E2) = 9/15 = 3/5
Usando il teorema:
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) = 7/15 + 4/15 – 2/15 = 9/15 = 3/5
2) Facendo riferimento all’esercizio precedente, consideriamo
E1 = “esce un numero minore di 8” e E2= “esce un numero maggiore di 11”.
E1: 1,2,3,4,5,6,7  sono 7
E2: 12,13,14,15  sono4
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) = 7/15 + 4/15 – 0 = 11/15
infatti i due eventi sono incompatibili (non esistono numeri che siano minori di 8 e
maggiori di 11!)
Esercizio 11 pag 1022:
Consideriamo un’urna con 30 palline numerate.
- P(esce un numero dispari) = 15/30 = 1/2
- P(esce un numero minore di 10) = 9/30 = 3/10
- P(esce un numero dispari o minore di 10) =
P(esce un numero dispari) + P(esce un numero minore di 10) – P(esce un numero
dispari minore di 10) = 15/30 + 9/30 – 5/30 = 19/30
Esercizio:
In un’urna ho 4 palline bianche (4B) e 8 nere (8N). Estraggo consecutivamente 3 palline senza
rimetterle dentro.
- Calcolare la P(tutte e 3 stesso colore)
- Calcolare la P(2B1N o 2N1B)
Disegnamo il diagramma
ad
albero
per
rappresentare
le
3
estrazioni consecutive
B(4/12)
N (8/12)
B(3/11) N (8/11) B(4/11)N(7/11)
B
N B
N B
N B
N
(2/10) (8/10) (3/10) (7/10) (3/10) (7/10) (4/10) (6/10)
4
P(3stesso colore) = P(3B) + P(3N) –P(3B e 3N) = 4/12 x 3/11x2/10 + 8/12x7/11x6/10 – 0 =
= 15/55 = 3/11
P(2B1N o 2N1B) = 1 – P(stesso colore) = 1 – 3/11 = 8/11
Esercizio:
Ho un mazzo da 52 carte (1…..10 e le 3 figure, di ogni seme).
P(un re o un 7) = P(un re) + P(un 7) – P(re e 7) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13
P(re o rossa) = P(re) + P(rossa) – P(re e rossa) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 7/13
P(re o picche) = P(re) + P(picche) – P(re e picche) = 4/52 + 13/52 + 1/52 = 18/52 = 9/26
5