MATEMATICA DISCRETA, ed. - Dipartimento di Matematica

LIBRI CONSIGLIATI
A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI
G.M. PIACENTINI CATTANEO: MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI
M.G. BIANCHI, A. GILLIO: INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA DISCRETA, ed. McGRAW-HILL
L. DI MARTINO, M.C. TAMBURINI: APPUNTI DI ALGEBRA, ed. CLUED
INSIEMI
Quello di insieme è un concetto primitivo: questo vuol dire che non si può dare la
definizione di insieme senza ricorrere ad altri concetti che a loro volta non potrebbero
essere definiti. La stessa cosa vale, per esempio, in geometria per il concetto di punto.
Si può pensare ad un insieme come a un gruppo, una collezione, una famiglia di oggetti,
che vengono chiamati elementi dell’insieme.
Un insieme A, quindi, è formato da elementi e per poter dire di aver assegnato l’insieme
A, bisogna aver dato dei criteri secondo i quali si possa essere in grado di stabilire se un
elemento appartenga o meno a A.
Per esempio hanno senso matematicamente:
• A=l’insieme dei punti di un piano
• B=l’insieme dei cittadini italiani
• C=l’insieme dei numeri interi positivi
• D=l’insieme dei numeri interi pari e dispari.
Si osservi che non ci sono numeri interi che siano contemporaneamente pari e dispari,
per cui l’insieme D, sebbene sia ben definito, è privo di elementi: D non è altro che
l’insieme vuoto, che è unico e si denota con il simbolo
∅.
Per esprimere la circostanza che un elemento appartenga ad un insieme, si usa il simbolo
di appartenenza
“∈”
si legge: “appartiene” oppure “è elemento di”. Per esempio si può scrivere che 5 ∈ C.
Si osservi che frasi del tipo: “la strada è l’insieme dell’asfalto che contiene” oppure “un
litro è l’insieme di 10 decilitri”, non definiscono insiemi.
Per assegnare un insieme X si possono elencare i suoi elementi oppure enunciare una
proprietà caratteristica, ovvero una proprietà verificata da tutti e soli gli elementi di A.
Per esempio:
X = {a, b, 3, ∗, −1, 0}
Y = {a, b, c, . . . , u, v, z} = {x : x è una lettera dell0 alfabeto italiano}.
L’insieme Y è stato espresso sia tramite l’elencazione dei suoi elementi sia tramite la
proprietà caratteristica. È opportuno abituarsi alla seguente notazione: sia P una proprietà, x un elemento. La scrittura P(x) vuol dire che x verifica, cioè rende vera, la
proprietà P.
Esempio 1. P1 : è un intero maggiore di 5 risulterà certamente P1 (7), P1 (100).
In generale, per assegnare un insieme tramite una proprietà caratteristica si scriverà:
X = {x : P(x)}.
Si possono visualizzare gli insiemi anche tramite i ben noti diagrammi di Venn.
È opportuno introdurre i cosı̀ detti connettivi logici, che saranno approfonditi in seguito.
1
2
Definizione 1. (NEGAZIONE) Data una proposizione P , la negazione della proposizione P si indica con P̄ oppure qP . Se P e’ vera allora P̄ e’ falsa. Se P e’ falsa allora
P̄ e’ vera.
Esempio 2. Risulta
q(Parigi è una città della Puglia)
e, facendo riferimento all’Esempio 1, si ha
q(P1 (2)).
Sia A un insieme. Per esprimere la circostanza che un elemento x non appartenga a
A si scrive
x∈
/ A.
Quindi q(x ∈ A) si scrive x ∈
/ A.
Definizione 2. (CONGIUNZIONE, ∧) Siano P e Q due proposizioni. La proposizione
“P e Q ”(congiunzione di P e Q) si denota con P ∧ Q ed e’ vera quando P e Q sono
entrambe vere ed e’ falsa altrimenti (ovvero falsa quando una delle due e’ falsa).
Definizione 3. (DISGIUNZIONE, ∨) Siano P e Q due proposizioni. La proposizione
“P o Q ”(disgiunzione di P e Q) si denota con P ∨ Q ed e’ falsa quando P e Q sono
entrambe false ed e’ vera altrimenti (ovvero vera quando una delle due e’ vera).
Definizione 4. (IMPLICAZIONE, =⇒) Siano P e Q due proposizioni. La proposizione
implicazione “P implica Q ”si denota con P =⇒ Q. Si può leggere anche “se P allora
Q”.
Definizione 5. (EQUIVALENZA ⇐⇒) Siano P e Q due proposizioni. La proposizione
equivalenza “P equivale Q ”si denota con P ⇐⇒ Q. Si può leggere anche “P se e solo
se Q”.
Osservazione 1. Si osservi che
q(P ∨ Q) ⇐⇒ (qP ∧ qQ)
q(P ∧ Q) ⇐⇒ (qP ∨ qQ),
come si studierà nel capitolo relativo alla logica
È di fondamentale importanza comprendere l’utilizzo dei quantificatori:
quantificatore universale : ∀
quantificatore esistenziale : ∃
il quantificatore universale si legge “per ogni”, il quantificatore esistenziale si legge “esiste”. Si usa anche il simbolo
∃!
che vuol dire “esiste ed è unico”.
Esempio 3. Scrivere la negazione della seguente proposizione.
P: Ogni giorno vado a roma ( ∀).
Allora si ha:
qP : Non e’ vero che ogni giorno vado a Roma = Esiste un giorno in cui non vado a
Roma (∃).
Esempio 4. Scrivere la negazione della seguente proposizione.
P: Esiste un numero intero pari (∃).
Allora si ha:
qP : Non esiste un numero intero pari = ogni numero intero non e’ pari ( ∀).
Si useranno sempre i seguenti simboli per gli insiemi numerici:
• N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . , } insieme dei numeri naturali
3
• Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . } insieme dei numeri interi relativi
• Q = { pq : p, q ∈ Z, q 6= 0} insieme dei numeri razionali,
• R insieme dei numeri reali.
Si osservi che ci possono essere diverse rappresentazioni di uno stesso numero razionale.
Se pq , rs ∈ Q, allora si ha:
p
r
= ⇐⇒ (∃c ∈ Ztale che q = cr ∧ p = cs) ∨ (∃c0 ∈ Ztale che r = c0 p ∧ s = c0 q)
q
s
Si ricorda che i numeri razionali sono tutti e soli i numeri che ammettono una rappresentazione decimale con cifre decimali periodiche da un certo punto in poi (potendo essere
anche 0 la cifra periodica). Per ottenere la rappresentazione di un numero razionale pq
in forma decimale basta eseguire la divisione tra numeratore p e denominatore q: per
4
esempio 15
4 = 3, 75; 3 = 1, 3. Viceversa si ha la formula:
c, a1 a2 . . . ah b1 b2 . . . bk =
ca1 a2 . . . ah
b1 b2 . . . bk
+ h
.
10h
10 · |99 {z
. . . 9}
k
Per esempio:
9
2212
305
2210093
= 4; 22, 12305 =
+
=
.
9
100
100 · 999
99900
L’insieme dei numeri reali contiene i numeri razionali e i numeri irrazionali. I numeri
√
irrazionali sono i √
numeri decimali non periodici, come π = 3, 141592654 . . . , 2 =
1, 414213562 . . . , 3 −5 = −1, 709975947 . . . .
3, 9 = 3 +