Il calcolo delle aeree è stato sempre fondamentale per l’uomo,infatti sin dall’antico’Egitto l’uomo attraverso formule molto diverse dalle nostre riusciva a calcolare l’are delle figure geometriche,ovviamente come l’uomo anche la matematica si è evoluta fino ad arrivare ad oggi che per il calcolo delle aeree delle figure geometriche con l’uso degli integrali. Come già detto in precedenza, sin dall’antico Egitto l’uomo ha avuto la necessità di calcolare l’area delle figure geometriche attraverso diverse formule matematiche molto diverse dalle nostre come ad esempio: L’area del cerchio veniva calcolata attraverso il metodo dell’ottagono: Quindi disegnavano un quadrato intorno al cerchio, in seguito i quadrati che si trovavano all’estremo venivano divisi ancora una volta a metà, sommando ottengo: 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/18 + 1/18 + 1/18 + 1/18 = 5/9 + 4/18 = 10/18 + 4/18 = 14/18 = 7/9. poiché l’area del quadrato grande è di 4m^2 allora possiamo dire che l’area dell’ottagono vale: 7/9 di 4 = 28/9 = 3 + 1/9 = 3,11… m^2. il risultato ottenuto è una buona approssimazione di π. In seguito agli egitti si sono susseguiti vari metodi per il calcolo delle aree delle figure geometriche, ovviamente ricordiamo quello di Archimede a cui si deve l'uso del metodo di esaustione che consente di calcolare le varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura è quindi il limite delle aree dei poligoni. A lui si deve riconoscere la coraggiosa presa in considerazione dell’infinito e delle analisi logiche e matematiche rigorose fatte su di esso. Egli getta le prime fondamenta di una trattazione matematica degli insiemi infiniti, definendoli come ≪molteplicità≫ di infiniti elementi, raccolti mentalmente in base a una loro proprietà caratteristica. E il primo che ` distingue la somma di elementi di un continuo nel senso della misura dall’insieme di elementi del continuo stesso; egli afferma che tutti i punti di una linea, tutte le linee di una regione piana e tutti i piani di un solido sono insiemi ben definiti;benchè composti da infiniti elementi. Il Principio di Cavalieri: Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni, tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste, stanno sempre in un dato rapporto, allora anche i volumi dei solidi staranno in questo stesso rapporto. Questo enunciato contiene in s`e elementi del calcolo integrale. Per giustificare questa affermazione egli dimostrò, usando le nostre notazioni, che ∫ a 0 x n dx = a n+1 n + 1 . Furono due matematici, il primo tedesco e il secondo inglese, che teorizzarono e introdussero il calcolo differenziale ed integrale. Il primo Studiato da Leibnitz che avrebbe poi portato allo studio degli infiniti e degli infinitesimi. Mentre il secondo calcolo fu portato avanti da Newton il quale si era posto il problema della funzione inversa. Grazie a Leibnitz ora scriviamo l'integrale come una "s" allungata. Simpson fu un matematico britannico, che formulò una teoria prendendo come punto di partenza quella di Cavalieri, questa prevede la suddivisione dell'intervallo di integrazione in sottointervalli e la sostituzione in questi sottointervalli della funzione integrata mediante archi di parabola, cioè mediante polinomi quadratici. Henri Lebesgue fu un matematico francese idealizzò la sua teoria da quella dell'integrazione di Riemann. Lebesgue formulò la propria correggendo alcuni errori come la presenza di insiemi aperti non misurabili. L'integrale di Lebesgue fu una grande miglioria a quello di Riemann ,poiché permetteva il calcolo dell'integrale di limiti e di funzioni più complesse rispetto a quelle precedentemente analizzate. Fu un matematico francese, conosciuto per i suoi lavori in analisi armonica e sulle equazioni differenziali, e per aver dato una propria definizione di integrale, che permette di rendere integrabili tutte le derivate. Dopo anni di studi si arriva così agli integrali che si dividono in varie categorie: INTEGRALE INDEFINITO L'integrale indefinito di una funzione f(x) è dato dalla funzione F(x) tale che la sua derivata sia uguale ad f(x). Siccome la derivata di una costante è zero, ad F(x) si aggiunge una generica costante c. Esempio: int(1/x) = log(x) + c INTEGRALE INDEFINITO L'integrale definito si calcola in modo simile all'integrale indefinito, ma il risultato va calcolato nei due estremi di integrazione. Esempio int_a^b(1/x) = log(b) + c - (log(a) +c) = log(b) - log(a)
