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EVOLUZIONE DEL CALCOLO DELLE AREE

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Il calcolo delle aeree è stato sempre fondamentale per
l’uomo,infatti sin dall’antico’Egitto l’uomo attraverso formule
molto diverse dalle nostre riusciva a calcolare l’are delle
figure geometriche,ovviamente come l’uomo anche la
matematica si è evoluta fino ad arrivare ad oggi che per il
calcolo delle aeree delle figure geometriche con l’uso degli
integrali.
Come già detto in precedenza, sin dall’antico Egitto l’uomo ha avuto la necessità di calcolare
l’area delle figure geometriche attraverso diverse formule matematiche molto diverse dalle
nostre come ad esempio:
L’area del cerchio veniva calcolata
attraverso il metodo dell’ottagono:
Quindi disegnavano un quadrato
intorno al cerchio, in seguito i
quadrati che si trovavano
all’estremo venivano divisi ancora
una volta a metà, sommando
ottengo: 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9
+ 1/18 + 1/18 + 1/18 + 1/18 = 5/9 +
4/18 = 10/18 + 4/18 = 14/18 = 7/9.
poiché l’area del quadrato grande
è di 4m^2 allora possiamo dire che
l’area dell’ottagono vale: 7/9 di 4 =
28/9 = 3 + 1/9 = 3,11… m^2.
il risultato ottenuto è una buona
approssimazione di π.
In seguito agli egitti si sono susseguiti vari metodi per il calcolo delle aree delle
figure geometriche, ovviamente ricordiamo quello di Archimede a cui si deve l'uso
del metodo di esaustione che consente di calcolare le varie figure geometriche
piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono
alla figura data. L'area della figura è quindi il limite delle aree dei poligoni.
A lui si deve riconoscere la coraggiosa presa in
considerazione dell’infinito e delle analisi logiche e
matematiche rigorose fatte su di esso. Egli getta le
prime fondamenta di una trattazione matematica
degli insiemi infiniti, definendoli come
≪molteplicità≫ di infiniti elementi, raccolti
mentalmente in base a una loro proprietà
caratteristica. E il primo che ` distingue la somma
di elementi di un continuo nel senso della misura
dall’insieme di elementi del continuo stesso; egli
afferma che tutti i punti di una linea, tutte le linee
di una regione piana e tutti i piani di un solido sono
insiemi ben definiti;benchè composti da infiniti
elementi.
Il Principio di Cavalieri: Se due solidi hanno uguale
altezza e se le sezioni, tagliate da piani paralleli alle
basi e ugualmente distanti da queste, stanno sempre
in un dato rapporto, allora anche i volumi dei solidi
staranno in questo stesso rapporto. Questo
enunciato contiene in s`e elementi del calcolo
integrale. Per giustificare questa affermazione egli
dimostrò, usando le nostre notazioni, che ∫ a 0 x n
dx = a n+1 n + 1 .
Furono due matematici, il primo
tedesco e il secondo inglese,
che teorizzarono e
introdussero il calcolo
differenziale ed integrale. Il
primo Studiato da Leibnitz che
avrebbe poi portato allo studio
degli infiniti e degli
infinitesimi. Mentre il secondo
calcolo fu portato avanti da
Newton il quale si era posto il
problema della funzione
inversa. Grazie a Leibnitz ora
scriviamo l'integrale come una
"s" allungata.
Simpson fu un matematico
britannico, che formulò
una teoria prendendo
come punto di partenza
quella di Cavalieri, questa
prevede la suddivisione
dell'intervallo di
integrazione in
sottointervalli e la
sostituzione in questi
sottointervalli della
funzione integrata
mediante archi di
parabola, cioè mediante
polinomi quadratici.
Henri Lebesgue fu un matematico francese idealizzò la sua
teoria da quella dell'integrazione di Riemann. Lebesgue
formulò la propria correggendo alcuni errori come la
presenza di insiemi aperti non misurabili. L'integrale di
Lebesgue fu una grande miglioria a quello di Riemann ,poiché
permetteva il calcolo dell'integrale di limiti e di funzioni più
complesse rispetto a quelle precedentemente analizzate.
Fu un matematico francese, conosciuto per i suoi lavori in
analisi armonica e sulle equazioni differenziali, e per aver
dato una propria definizione di integrale, che permette di
rendere integrabili tutte le derivate.
Dopo anni di studi si arriva così agli integrali che si dividono in
varie categorie:
INTEGRALE INDEFINITO
L'integrale indefinito di una funzione f(x) è
dato dalla funzione F(x) tale che la sua
derivata sia uguale ad f(x). Siccome la
derivata di una costante è zero, ad F(x) si
aggiunge una generica costante c.
Esempio:
int(1/x) = log(x) + c
INTEGRALE INDEFINITO
L'integrale definito si calcola in modo
simile all'integrale indefinito, ma il
risultato va calcolato nei due estremi di
integrazione.
Esempio
int_a^b(1/x) = log(b) + c - (log(a) +c) =
log(b) - log(a)
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