Esercizi di Fisica Generale II - INFN - Napoli

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Corso di Laurea in
INGEGNERIA PER L’AMBIENTE ED IL TERRITORIO
Esercitazioni di FISICA GENERALE II
Docente: F. Bloisi
A.A. 2001/2002
Nel seguito sono riportati i testi di alcuni esercizi. Lo studente potrà trovarne altri su
qualunque libro di testo o di esercizi. Scopo degli esercizi è quello di verificare la
padronanza che lo studente ha acquisito degli argomenti trattati nel corso. È quindi
importante che lo studente si abitui a
• non consultare testi o appunti durante lo svolgimento di un esercizio
• risolvere ciascun esercizio in maniera indipendente, senza utilizzare risultati
ottenuti in altri esercizi svolti precedentemente
• inserire i valori numerici delle quantità note solo dopo aver completamente
risolto l’esercizio.
A titolo di esempio, per pochissimi esercizi è riportato, in maniera molto sintetica, lo
svolgimento.
Alcuni suggerimenti che possono tornare utili nello svolgimeto degli esercizi.
Prima di affrontare l’esercizio:
• leggere con cura il testo
• fare uno schizzo o un diagramma
• elencare chiaramente e separatamente le quantità note (riportando, se dati, i valori
numerici in unità del Sistema Internazionale) e le quantità da calcolare
Nel risolvere l’esercizio:
• avere ben chiaro il procedimento che si vuole seguire prima di iniziare a fare
calcoli che potrebbero rivelarsi non necessari
• basare la soluzione su principi fisici o teoremi ed evitare di utilizzare i risultati di
altri esercizi
• effettuare una verifica dimensionale dei risultati
• sostituire i valori numerici, se dati, solo dopo aver completamente risolto
l’esercizio
Nel trascrivere la soluzione dell’esercizio:
• non essere né ermetici (una serie di formule senza alcun commento) né prolissi
(lunghe dissertazioni qualitative)
• utilizzare i simboli definiti nel testo dell’esercizio e, se è necessario usarne altri,
definirli chiaramente
Questi appunti sono disponibili in formato pdf con
http://people.na.infn.it/~bloisi/Did/FisicaII/F2E1v2.pdf
Napoli, 6 marzo 2002
Il docente del corso
di esercitazioni
F. Bloisi
F.Bloisi
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Esercizi di Fisica Generale II
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1) Tre cariche elettriche puntiformi positive uguali +Q sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato D. Si
fissi un sistema di riferimento Oxy con l’origine nel centro del triangolo e l’asse y orientato in modo che una delle
cariche si trovi su di esso.
a)
b)
Si determini:
la forza (espressa in componenti F1≡(F1x, F1y), F2≡(F2x, F2y), F3≡(F3x, F3y)) cui è sottopposta ciascuna carica;
il lavoro L compiuto dalle forze elettrostatiche nel portare una delle cariche nell’origine.
2) Una carica elettrica puntiforme positiva +Q è posta nel punto P sull’asse di una barretta di plastica piegata a forma
di circonferenza di raggio R. Il punto P si trova a distanza R√3 dal centro C della corconferenza. Sulla barretta è
distribuita uniformemente una carica elettrica negativa −Q,
a)
b)
Si determini:
la forza F (espressa come modulo direzione e verso) cui è sottopposta la carica puntiforme;
il lavoro L che è necessario compiere per portare la carica puntiforme da P a C.
3) Una carica elettrica puntiforme positiva +Q è posta nel punto P sull’asse di una barretta di plastica piegata a forma
di circonferenza di raggio R. Il punto P si trova a distanza R√3 dal centro C della corconferenza. Sulla barretta è
distribuita uniformemente una carica elettrica negativa −Q,
a)
b)
Si determini:
la forza F (espressa come modulo direzione e verso) cui è sottopposta la barretta;
il lavoro L compiuto dalle forze elettrostatiche nel portare la carica puntiforme da P a C.
4) Due cariche elettriche puntiformi q1=+Q e q2=+4Q sono poste nei punti P1≡(+h,0) e P2≡(0,+h). Si vuol porre una
terza carica q3 in una posizione tale che l’intero sistema risulti in equilibrio (ossia in modo che la forza totale su ciascuna
delle tre cariche sia nulla).
a)
b)
Si determini:
il valore (ed il segno) di q3;
il punto P3≡( x3, y3) in cui deve essere posta la carica q3.
5) Due sfere identiche (massa m, raggio trascurabile) elettricamente cariche sono appese ad un gancio tramite due fili
(lunghezza L). Il sistema è in equilibrio quando tra i due fili vi è un angolo α.
Si determini, sapendo che una sfera ha carica doppia dell'altra (q2=2q1):
a) la carica q1 presente sulla sfera À;
b) la forza F21 che la sfera À esercita sula sfera Á.
(Dati: m = 1.00 g; L = 50.0 cm; α = 60.0°)
6) Nel cloruro di sodio (NaCl) gli ioni positivo (Na+, carica elettrica +e, massa molare MNa) e negativo (Cl-, carica
elettrica −e, massa molare MCl) sono posti a distanza h tra loro.
Si determini:
a) il modulo FE della forza elettrostatica che si esercita tra i due ioni;
b) il modulo FG della forza gravitazionale che si esercita tra i due ioni.
(Dati: h = 2.82 10-10 m; MNa = 23.0 g/mol; MCl = 35.5 g/mol)
7) Nel cloruro di cesio (CsCl) lo ione negativo Cl- (carica elettrica −e) è posto al centro di un cubo di lato L, ai cui
vertici sono situati gli ioni positivi Cs+ (carica elettrica +e). Si consideri una singola cella costituita da 8 ioni Cs+ ed uno
ione Cl-.
Si determini la forza elettrostatica totale F sullo ione negativo:
a) se sono presenti tutti gli ioni positivi;
b) se vi è un difetto nel cristallo per cui manca uno degli ioni positivi.
(Dati: L = 0.40 nm)
8) Sono date le seguenti quattro cariche elettriche uguali in modulo poste ai vertici di un quadrato: due positive
(carica +q) nei punti dell'asse x di coordinate (+a,0) e (-a,0); due negative (carica -q) nei punti dell'asse y di coordinate
(0,+a) e (0,-a).
a)
b)
Si detrmini:
il potenziale elettrico V(x) in tutti i punti dell'asse x;
il campo elettrico E(x) in tutti i punti dell'asse x.
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
kg
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9) Su di una goccia d'acqua, di forma sferica, è presente una carica elettrica q (distribuita uniformemente in tutto il
suo volume), ed ha un potenziale (alla superficie, rispetto all'infinito) V1.
a)
b)
Si determini:
il raggio r della goccia;
il potenziale V2 che si riscontra alla superficie della goccia (anch'essa sferica) che si forma dall'unione di due gocce
identiche a quella descritta.
10) Il potenziale elettrostatico di una distribuzione di cariche è funzione solo della coordinata x ed ha il seguente
andamento:
V(x) = 0 per x<x0;
V(x) cresce linearmente da V=0 a V=VH per x0<x< x1;
V(x) = VH per x1<x<x2;
V(x) decresce linearmente da V=VH a V=VL per x2<x<x3;
V(x) cresce linearmente da V=VL a V=0 per x3<x<x4;
V(x) = 0 per x>x4.
Si determini:
a) il campo elettrico E(x) in tutti i punti dello spazio;
b) la distribuzione di cariche che lo genera.
(Dati: x0 = −6 m; x1 = −2 m; x2 = 1 m; x3 = 3 m; x4 = 6 m; VH = 20 V; VL = −10 V)
11) Dato il potenziale elettrostatico, funzione della sola coordinata x, definito da:
V(x) = V0(ax-1) per x<0;
V(x) = −V0(x/x0-1)2 per 0<x<2x0;
V(x) = V0[b-(b+1)x/2x0] per x>2x0;
dove V0, a, b, ed x0 sono costanti (espresse nelle opportune unità di misura).
a)
b)
Si determini:
il campo elettrico E(x) in tutti i punti dello spazio;
la distribuzione di cariche che lo genera.
12) Una lastra piana (spessore h), posta con le facce parallele e simmetriche rispetto al piano yz, possiede una densità
di carica di volume uniforme ρ.
a)
b)
Si determini:
il campo elettrico E(x) all'interno della lastra (nella regione [−h/2,+h/2]);
il campo elettrico E(x) all'esterno della lastra (nelle regioni [−∞,−h/2] e [+h/2, +∞]).
13) Una sfera (raggio R), posta con il centro nell'origine del sistema di riferimento, possiede una densità di carica di
3
volume ρ(r)= ρ0r/R dove ρ0 è una costante espressa in C/m .
a)
b)
Si determini:
la carica elettrica totale QT posseduta dalla sfera;
il campo elettrico E(r) in tutti i punti dello spazio.
14) Sono date le seguenti quattro cariche elettriche uguali in modulo poste ai vertici di un quadrato: due positive
(carica +q) nei punti di coordinate (+a,0) e (0,+a); due negative (carica -q) nei punti di coordinate (-a,0) e (0,-a).
a)
b)
Si detrmini:
il momento di dipolo p della cofigurazione.
il campo elettrico EP nel punto P di coordinate (xP,0), sapendo che xP >>a.
15) Una sfera (raggio R), posta con il centro nell'origine del sistema di riferimento, possiede una densità di carica
elettrica +QT distribuita uniformemente nel suo volume. Due cariche puntiformi di valore q=− QT/2 sono poste nei punti
di coordinate (+R,0,+R) e (−R,0,+R).
a)
b)
Si determini:
la densità di carica elettrica di volume ρ posseduta dalla sfera;
il momrnto di dipolo p della distribuzione.
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
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kg mp = 1,67 10
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16) Quattro piastre metalliche uguali (area A) sono disposte parallelamente tra loro, ciascuna a distanza h dalla
successiva. La prima e la terza sono collegate al polo positivo, mentre la seconda e la quarta sono collegate al polo
negativo di un generatore di tensione (d.d.p. V0).
a)
b)
Si determini:
la capacità elettrica C del sistema;
la carica elettrica che si dispone su ciascuna delle otto superfici (due per ciascuna piastra).
17) Un condensatore a facce piane e parallele (armature di area A, poste a distanza h) viene riempito di dielettrico. La
massima energia che si riesce ad immagazzinare è UM, quando tra le armature vi è una d.d.p. VM.
a)
b)
Si determini:
la costante dielettrica relativa εr;
la rigidità dielettrica Er.
18) Un condensatore a facce piane e parallele (armature di area A, poste a distanza h) viene caricato usando un
generatore di tensione (d.d.p. V0), che viene poi staccato.
a)
b)
Si determini:
la forza F(z) con cui si attraggono le armature, in funzione della distanza z tra di esse;
il lavoro Lest che deve compiere una forza esterna per raddoppiare la distanza tra le armature (dal valore h al
valore 2h).
19) Un condensatore a facce piane e parallele (armature di area A, poste a distanza h) viene caricato usando un
generatore di tensione (d.d.p. V0), che viene lasciato collegato al condensatore.
a)
b)
Si determini:
la forza F(z) con cui si attraggono le armature, in funzione della distanza z tra di esse;
il lavoro Lest che deve compiere una forza esterna per raddoppiare la distanza tra le armature (dal valore h al
valore 2h).
20) Un condensatore a facce piane e parallele è costruito con due armature rettangolari (lati L e 2L) poste a distanza h
tra loro. Si dispone di quattro lastre quadrate (lato L, spessore h/2) di materiale dielettrico: due di esse sono di un
materiale (dielettrico •, costante dielettrica relativa εr1), mentre le altre due sono di un diverso materiale (dielettrico ‚,
costante dielettrica relativa εr2, con εr2> εr1).
a)
b)
Si determini:
il modo migliore di disporre le lastre di dielettrico (solo le due lastre di dielettrico • sovrapposte, solo le due lastre
di dielettrico • affiancate, una lastra di dielettrico • sovrapposta ad una lastra di dielettrico ‚, ecc.) in modo che
il condensatore abbia la massima capacità;
il valore C della capacità in tale situazione.
21) Un condensatore a facce piane e parallele ha le armature costituite da due dischi posti a distanza h. Il condensatore
viene caricato in modo che la densità di carica sulle armature cresca linearmente nel tempo: σ=βt con β=5µC/m2s.
a)
b)
Si determini:
il vettore densità di corrente di spostamento Js tra le armature del condensatore
il campo di induzione magnetica B tra le armature del condensatore
22) Una carica elettrica Q=50.4nC è uniformemente distribuita su di un anello di raggio R=25cm. L’anello viene fatto
ruotare con velocità angolare costante ω=2,50 103rad/s intorno al proprio asse di simmetria.
a)
b)
Si determini:
il campo di induzione magnetica B1 in un punto P1 posto sull’asse dell’anello, a distanza L1=7,5cm dal suo centro
il campo di induzione magnetica B2 in un punto P2 posto sull’asse dell’anello, a distanza L2=7,5m dal suo centro
23) Una carica elettrica Q=707nC è uniformemente distribuita su di un disco di raggio R=15cm. Il disco viene fatto
ruotare con velocità angolare costante ω=1,26 103rad/s intorno al proprio asse di simmetria.
a)
b)
Si determini:
il momento di dipolo magnetico m del sistema
il campo di induzione magnetica B nel centro del disco
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
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kg mp = 1,67 10
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24) Una densità superficiale di carica σ=1.32 10-6C/m2 è uniformemente distribuita sulla superficie di un cilindro molto
lungo di raggio R=4cm. Il cilindro viene fatto ruotare con velocità angolare costante ω=628rad/s intorno al proprio asse
di simmetria.
a)
b)
Si determini:
il campo di induzione magnetica B(r) all’interno (r<R) ed all’esterno (r>R) del cilindro
il numero n(I) di spire per unità di lunghezza che deve avere un solenoide del medesimo raggio R affinché,
perscorso da una corrente costante I, generi il medesimo campo magnetico del cilindro rotante
25) Due guide conduttrici sono poste in posizione verticale, tra loro parallele, a distanza h=20cm, e sono collegate,
all’estremità superiore, da un condensatore C=125µF. Lungo le guide scorre, senza attrito, una barretta di massa m=10g.
Un campo magnetico costante ed uniforme B=1,5T è diretto perpendicolarmente al piano che contiene le due guide.
a)
b)
Si determini (trascurando l’autoinduzione del circuito):
la legge oraria z(t) con cui si muove la barretta, con le condizioni iniziali z(0)=z0=0, v(0)=v0=0
la corrente i(t) che circola nel circuito
26) Due spire circolari (raggi R1=1mm ed R2=1m) concentriche e giacenti nello stesso piano, sono percorse da correnti
concordi I1=2A ed I2=10A rispettivamente.
a)
b)
Si determini:
il campo di dinduzione magnetica B al centro comune delle due spire
il lavoro necessario per ribaltare la spira di raggio R1
27) Un filo infinito percorso da corrente costante I=25A ed una spira quadrata di lato L=10cm si trovano nello stesso
piano e sono disposti in modo che due lati della spira sono paralleli mentre gli altri due sono perpendicolari al filo. La
spira si allontana dal filo con velocità (radiale) costande v=5m/s.
a)
b)
Si determini (dare i risultati sotto forma di funzioni della distanza h tra il filo ed il centro della spira):
la forza elettromotrice indotta f(h) nella spira
il coefficiente di mutua induzione M(h) tra filo e spira
28) Un circuito elettrico è costituito da un condensatore C1=1µF, una resistenza R=1MΩ ed un secondo condensatore
C2=2µF posti in serie. Inizialmente entrambi i condensatori sono scarichi. Il circuito viene quindi collegato ad un
generatore di tensione, avente resistenza interna trascurabile, che fornisce una d.d.p. costante Vg=100V.
a)
b)
Si determini:
la costante di tempo τ del circuito
la carica finale Q1 e Q2 che si trova su ciascun condensatore
29) Una spira conduttrice piana di resistenza R=3nΩ viene deformata in modo che la sua area A varia secondo la legge:
A(t) = (2/3)A0 + (1/3)A0 cos(ωt)
con A0=2m , ω=10 rad/s. Perpendicolarmente al piano della spira è presente un campo magnetico costante ed uniforme
B=1,5T.
2
a)
b)
3
Si determini:
l’andamento temporale i(t) della corrente nella spira
la potenza P* dissipata nella spira all’istante t*=0,5ms
30) In una regione di spazio esiste un campo magnetico di componenti
Hx(x,y,z,t) = -a(x2+y2)y
5
Hy(x,y,z,t) = +a(x2+y2)x
Hz(x,y,z,t) = 0
4
con a=10 A/m .
a)
b)
Si determini:
il vettore densità di corrente J
la corrente concatenata con una circonferenza posta nel piano xy, avente centro nell’origine e raggio R=2cm
31) Due conduttori cilindrici coassiali di raggi R1=10mm ed R2=20mm sono percorsi entrambi da una corrente I=10A,
con versi opposti. Entrambi i conduttori sono di spessore trascurabile.
a)
b)
Si determini:
il campo di induzione magnetica B(r)
l’energia magnetica per unità di lunghezza dei conduttori
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
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32) Una spira quadrata di lato L=2cm è percorsa da una corrente I=10A.
a)
b)
Si determini:
il momento di dipolo magnetico della spira
il campo di induzione magnetica B al centro della spira
33) Un elettrone entra con velocità v=354m/s in una zona di spazio in cui è presente un campo di induzione magnetica
costante ed uniforme B ortogonale alla direzione di v. L’elettrone segue una traiettoria circolare di raggio R=20cm.
a)
b)
Si determini:
il modulo B del campo di induzione magnetica
il tempo ∆t impiegato dall’elettrone per percorrere un quarto di circonferenza
34) Un solenoide molto lungo è costituito da n=10spire/cm di raggio R1=5cm. Al suo interno, coassiale con esso, vi è
un cilindro cavo (raggio esterno R1, raggio interno R2=2cm) di materiale ferroso omogeneo ed isotropo. Il solenoide è
percorso da una corrente I=1A, ed in tali condizioni di lavoro la permeabilità magnetica relativa del cilindro di materiale
ferroso è µr=1300.
a)
b)
Si determini:
il campo di induzione magnetica B(r) ed il campo magnetico H(r)
il coefficiente di autoinduzione per unità di lunghezza del solenoide LL
35) Un magnete è costituito da un anello toroidale (raggio dell’anello R=15cm, raggio della sezione r«R, avente un
traferro di spessore d=3mm) di materiale ferroso omogeneo ed isotropo intorno al quale è posto un avvolgimento di
N=100 spire percorse da corrente I=2,5A. In tali condizioni di lavoro la permeabilità magnetica relativa del materiale
ferroso è µr=1500.
a)
b)
Si determini:
il campo di induzione magnetica B(r) ed il campo magnetico H(r) nel traferro
il campo di induzione magnetica B(r) ed il campo magnetico H(r) nel materiale ferroso
36) Un solenoide è costituito da un avvolgimento toroidale di N spire (raggio dell’anello toroidale r1=25cm, raggio
delle spire di sezione circolare r2=1cm«r2). La resistenza elettrica complessiva del filo è R. Sull’asse di simmetria
dell’anello (di raggio r1) è posto un filo rettilineo infinito percorso da una corrente il cui andamento nel tempo è
I(t) = 0
per t<0;
I(t) = kt
per t≥0.
con k costante nota.
a)
b)
Si determini:
il coefficiente di mutua induzione M tra solenoide toroidale e filo infinito
la corrente i(t) che circola nel solenoide toroidale
37) Un’onda elettromagnetica si propaga nel vuoto. Le componenti del vettore campo elettrico sono
Ex(x,y,z,t) = 0
4
Ey(x,y,z,t) = 0
Ez(x,y,z,t) = E0 sen(kx-ωt)
-1
con E0=2,34 10 V/m, k=9,72m .
a)
b)
Si determini:
la pulsazione ω, la frequenza ν e la lunghezza d’onda λ
il vettore induzione magnetica B(x,y,z,t)
38) Il vettore campo elettrico di un’onda elettromagnetica ha componenti
Ex(x,y,z,t) = 0
Ey(x,y,z,t) = 0
Ez(x,y,z,t) = E0 sen(kx-ωt)
con E0=2,34 10 V/m, k=9,72m ω=2,24 GHz.
4
a)
b)
-1
Si determini:
direzione, verso e velocità di propagazione dell’onda (cioè il vettore v)
il vettore di pointing S associato all’onda
39) La “costante solare”, ossia l’intensità media della radiazione solare che si misura su di una superficie
perpendicolare ai raggi solari, appena al di fuori dell’atmosfera terrestre, vale IS=1353W/m2.
(Nota: 1UA=149,597 109m è la distanza media della Terra dal Sole)
a)
b)
Si determini:
il modulo del campo elettrico E e del campo di induzione magnetica B della radiazione elettromagnetica solare
l’intensità media della radiazione solare I’S che si misurerebbe su Mercurio, sapendo che il raggio medio
dell’orbita di tale pianeta è 0,387UA
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
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40) Un raggio di luce nel vuoto incide su di una lastra di vetro di spessore D=0,3cm con angolo di incidenza θi=35.5°.
Il fascio emerge dalla faccia opposta della lastra, parallelo al raggio incidente, spostato di h=0,6mm.
a)
b)
Si determini:
l’anglo θr di rifrazione nel vetro
l’indice di rifrazione del vetro
41) Un raggio luminoso monocromatico incide su di un prisma avente angolo di apertura α=60°. L’indice di rifrazione,
per la lunghezza d’onda considerata, è n=1.32.
a)
b)
Si determini:
l’angolo di incidenza θi affinché l’angolo di deviazione δ sia minimo
il valore dell’angolo di deviazione δ (ossia dell’angolo tra la direzione del raggio incidente e quella del raggio che
emerge dal prisma.)
42) Due stazioni radiotrasmittenti S1 e S2 sono sono poste a distanza d=100km. Entrambe emettono onde sferiche di
uguale potenza ed uguale frequenza (ν=106Hz), ed in fase tra loro alla sorgente. In un punto P, allineato con S1 ed S2 a
distanza D1=1,5D da S1 (e, di conseguenza, a distanza D2=0,5D da S2) è posto un ricevitore. Quando è in funzione la
sola trasmittente S1 il ricevitore in P misura un’intensità I1=10-6W/m2.
a)
b)
Si determini:
l’intensità I2 misurata in P quando è in funzione la sola trasmittente S2
l’intensità I3 misurata in P quando sono in funzione entrambe le sorgenti
43) Sulla faccia superiore di un cubo di vetro (indice di rifrazione nv=1,7) è posta una goccia di un liquido trasparente
di indice di rifrazione n incognito. Un raggio di luce monocromatica incide su una delle facce verticali del cubo, con
angolo di incidenza θi. Quando tale angolo vale θ* =75° non si osserva uscire luce dalla faccia superiore del cubo.
a)
b)
Si determini:
l’indice di rifrazione n del liquido
l’angolo di deviazione δ del raggio che emerge dalla faccia vericale opposta del cubo (l’angolo di deviazione δ è
l’angolo tra la la direzione del raggio che incide su di una faccia del cubo e quella del raggio che emerge dalla
faccia opposta)
44) Un sistema ottico è costituito da due lenti sottili di uguale lunghezza focale |f|=10cm, ma la prima divergente e la
seconda convergente, poste a distanza h=20cm. Una oggetto è posto a distanza h dalla prima lente.
a)
b)
Si determini:
la posizione (rispetto alla seconda lente) h’ e l’ingrandimento I dell’immagine prodotta dal sistema ottico
le stesse quantità, h’ ed I, se le lenti sono scambiate di posto (cioè la lente convergente è posta prima di quella
divergente
45) Un raggio di luce incide nel punto medio del bordo di una lastra di vetro (spessore s=5mm, lunghezza L=3cm,
indice di rifrazione n=1,32) con angolo di incidenza θi.
a)
b)
Si determini:
il valore dell’angolo di incidenza θi per cui si ha riflessione totale all’interno della lastra
la lunghezza complessiva D del percorso seguito dal raggio di luce all’interno della lastra di vetro prima di riuscire
a riemergere all’esterno
46) Un raggio di luce monocromatica rossa (lunghezza d’onda nel vuoto λ0=0,6µm) incide su di un blocco di materiale
trasparente (alla frequenza considerata la costante dielettrica relativa vale εr=1,8, mentre la permeabilità magnetica
relativa vale µr=1,) formando un angolo θ=30° con la normale alla superficie.
a)
b)
Si determini:
il vettore d’onda k0 e la frequenza ν0 nell’aria
il vettore d’onda k e la frequenza ν nel blocco di materiale trasparente
47) Un raggio di luce entra in un cubo di vetro (spigolo L=56,7cm, indice di rifrazione n=1,63) ed emerge dalla faccia
opposta formando un angolo θu=24,0° con la normale alla superficie.
a)
b)
Si determini:
la velocità v della luce nel vetro
il tempo ∆t impiegato dalla luce per attraversare il blocco di vetro
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
kg
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48) Un recipiente cilindrico (distanza tra le due basi L=25cm) ha le due basi costituite da due lenti sottili biconvesse
(raggi di curvatura |R|=30cm, indice di rifrazione n=1,6) ed è riempito con un liquido trasparente avente indice di
rifrazione nl, incognito. Sul sistema viene fatto incidere un fascio di raggi luminosi provenienti da una sorgente
puntiforme posta a distanza h=45cm dalla prima lente e si osserva che i raggi convergono in un punto a distanza h oltre
la seconda lente.
a)
b)
Si determini:
la posizione dei fuochi delle due lenti
l’indice di rifrazione nl del liquido che riempe il cilindro
49) Due stufe hanno resistenze elettriche R1 ed R2 (R2>R1) rispettivamente. Si dispone di un generatore di tensione
che fornisce una d.d.p. V0.
a)
b)
Si determini:
se, affiché la quantità di calore prodotta sia massima, le due stufe devono essere collegate in serie o in parallelo;
quale delle due stufe, in tale situazione, produce meno calore.
50) Un circuito elettrico ha quattro nodi (A, B, C e D); tra ciascuna coppia di nodi è posta una resistenza R (per un
totale di 6 resistenze: RAB=RAC=RAD=RBC=RBD=RCD=R). Tra i nodi A e C viene collegato un generatore di tensione V0.
a)
b)
Si determini:
la resistenza equivalente Req;
la potenza dissipata in ciascuna resistenza: WAB, WAC, WAD, WBC, WBD, WCD.
51) Nel circuito illustrato in figura l’interruttore S è aperto e le
correnti sono nulle in tutti i rami. All’istante t=0 l’interruttore viene
chiuso.
a)
b)
f
52) Nel circuito illustrato in figura l’interruttore S è chiuso da
lungo tempo (il circuito è in condizione di funzionamento a regime).
All’istante t=0 l’interruttore viene aperto.
a)
b)
S
Si determini la corrente che circola nella resistenza R2:
subito dopo l’apertura dell’interruttore;
dopo un tempo molto lungo dall’apertura dell’interruttore.
a)
b)
S1
+
f1
Si determini la carica Q(t) presente sul condensatore C:
per t1<t<t2;
per t>t2.
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
R1
R3
f = 100 V; L = 2.00 H;
R1 = 10.0 Ω; R2 = 20.0 Ω; R3 = 30.0 Ω
Si determini, per t>> t2 (a regime):
la carica presente sul condensatore C;
la corrente che circola nella resistenza. R2
54) Nel circuito illustrato in figura, all’istante t=0, entrambi gli
interruttori S1 ed S2 sono aperti ed il condensatore C è scarico.
All’istante t=t1 viene chiuso l’interruttore S1 ed all’istante t=t2 viene
chiuso l’interruttore S2.
R2
Esercizi 51 e 52
53) Nel circuito illustrato in figura, all’istante t=0, entrambi gli
interruttori S1 ed S2 sono aperti ed il condensatore C è scarico.
All’istante t=t1 viene chiuso l’interruttore S1 ed all’istante t=t2 viene
chiuso l’interruttore S2.
a)
b)
L
+
Si determini, per t>0:
la d.d.p. ai capi dell’induttanza;
la corrente che circola nella resistenza. R2
C
R1
S2
+
R2
f2
Esercizi 53 e 54
f1 = 600 V; f2 = 150 V; C = 4.00 µF;
R1 = 3.00 MΩ; R2 = 5.00 MΩ;
t1 = 5.00 s; t1 = 15.0 s
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
kg
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ESERCIZIO SVOLTO 1:
La distribuzione di cariche illustrata in figura è costituita da quattro
cariche puntiformi.
Si determini, nell’origeine del sistema di riferimento:
a) il potenziale elettrostatico V(O)
b) il vettore campo elettrico E(O)
(Dati: Q = 4.5 µC; d = 1.2 cm)
y
-12Q
d
+5Q
d
+3Q
d
45°
x
45°
O
45°
d
-5Q
Poniamo Q1 = +5Q, Q2 = −5Q, Q3 = +3Q, Q4 = −12Q, d1 = d2 = d3 = d, d4 = 2d; inoltre poniamo,
per comodità, ke = 1/4πε0 = 8.99 109m/F.
a) Per il principio di sovrapposizione applicato al potenziale di una carica puntiforme
Q Q Q Q 
 + 5Q − 5Q + 3Q − 12Q 
 3Q 
V ( O) = V1 ( O) + V2 ( O) + V3 ( O) + V4 ( O) = k e  1 + 2 + 3 + 4  = k e 
+
+
+
 = ke  − 
 d
 d 
d
d
2d 
 d1 d 2 d 3 d 4 
V ( O) = −
1 3Q
4πε 0 d
= − 101
. ⋅ 106 V
b) Calcolando il campo elettrico delle quattro cariche puntiformi ed applicando il principio di sovrapposizione
r

5Q
 E1x = + E1 cos 45° = + k e 2
d
⇒ 
r
 E = − E sin 45° = − k 5Q
1
e
 1 y
d2
2
2
2
2
r

5Q
E
45
=
+
°
=
+
E
k
cos

2
2
x
e
r
Q2
− 5Q
5Q

d2
E2 = ke 2 = ke
= ke 2 ⇒ 
2
r
d2
d
d
5Q
E = − E
2 sin 45° = − k e
 2 y
d2
2
2
2
2
r
Q3
+ 3Q
3Q
E3 = ke 2 = ke
= ke 2
2
d3
d
d
r

3Q
 E1x = − E 3 cos 45° = − k e 2
d
⇒ 
r
3
 E = − E sin 45° = − k Q
3
e
 1 y
d2
2
2
2
2
r
Q4
− 12Q
3Q
E4 = ke 2 = ke
2 = ke
( 2d )
d4
d2

r
3Q
 E4 x = + E 4 cos 45° = + k e 2
d
⇒ 
r
3
 E = + E sin 45° = + k Q
4
e
 4 y
d2
r
Q1
+ 5Q
5Q
E1 = k e 2 = k e
= ke 2
2
d1
d
d
2
2
2
2

Q 2
5 2Q
( + 5 + 5 − 3 + 3) = + k e 2
 E x = E1x + E2 x + E 3 x + E 4 x = ke 2
d 2
d

 E = E + E + E + E = k Q 2 ( − 5 − 5 − 3 + 3) = − k 5 2Q
1y
2y
3y
4y
e
e
 y
d2 2
d2
r
1 5 2Q $
1 5 2Q $
E( O) = +
i−
j =
2
4πε 0 d
4πε 0 d 2
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
. ⋅ 10 $i − 1.99 ⋅ 10 $j) V m
(+ 199
9
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
9
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
kg
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ESERCIZIO SVOLTO 2:
Una carica +Q è distribuita con densità lineare uniforme λ su di una
semicirconferenza (centro nell’origine O, raggio R).
Si determini:
a) a che distanza L dal centro della circonferenza deve essere posta una
carica puntiforme negativa −Q affinché il campo elettrico totale sia
nullo nel’origine
b) il potenziale elettrostatico V(O) nell’origine
(Dati: R = 2.50 cm; Q = 25.0 µC)
y
+Q
R
−Q x
O
L
Indichiamo con Ec(O) e Vc(O) il campo ed il potenziale prodotti nell’origine dalla carica distribuita sulla
semicirconferenza e con Ep(O) e Vp(O) il campo ed il potenziale prodotti nell’origine dalla carica puntiforme.
a) La posizione della carica puntiforme −Q deve essere ricavata dalla condizione:
r
r
r
r
E c ( O) + E p ( O) = 0 ⇒ E p ( O) = − E c ( O)
Per ragioni di simmetria Ec(O) ha solo la componente x e, dato che la carica sulla semicirconferenza è
positiva, è orientato nel verso positivo dell’asse x. Ne segue che Ep(O) deve essere orientato nel verso negativo
dell’asse x, e quindi che la carica puntiforme, essendo negativa, deve essere sul semiasse x negativo (L<0).
Calcoliamo innanzi tutto Ec(O) ed Ec(O). Iindichiamo con ϑ l’angolo che il raggio R forma con il semiasse
x negativo e con λ=Q/πR la densità lineare di carica sulla semicirconferenza. Per comodità poniamo
ke = 1/4πε0 = 8.99 109m/F.
r
r
dq
λdl
λ dϑ
Q
Q
d Ec = ke 2 = ke 2 = ke
= ke
d
ϑ
⇒
d
E
=
d
E
cosϑ d ϑ
cx
c cosϑ = k e
2
R
R
R
πR
π R2
r
+π 2
Q
Q
2Q
2Q $
+π 2
Ec x = ∫ d Ec x = ∫ ke
⇒ E c (O) = k e
i
cosϑ d ϑ = k e
sin ϑ ]−π 2 = k e
[
2
2
2
−π 2
πR
πR
πR
π R2
semicirc.
r
Q
E p ( O) = − k e 2 $i
L
Imponendo ora l’uguaglianza dei moduli dei campi elettrici si ricava il valore assoluto di L:
r
r
2Q
Q
⇒ L=R π 2
E p ( O) = E c ( O) ⇒ k e 2 = k e
πR2
L
L = −R π 2
=
− 313
. cm
b) Calcoliamo separatamente Vc(O) e Vp(O) e poi ricaviamo V (O) applicando il principio di sovrapposizione:
+π 2
λdl
dq
Q
Q
Q
dVc = k e
= ke
= ke λ d ϑ = ke
d ϑ ⇒ Vc ( O) = ∫ d Vc = ∫ k e
d ϑ = ke
−π 2
R
R
πR
πR
R
semicirc.
V p ( O) = k e
−Q
2 Q
= −ke
L
π R
V (O) = Vc ( O) + V p ( O) = k e
V (O) =
ε0 = 8,85 10
-12
-6
(
1 Q
1− 2 π
4π ε 0 R
8
(
Q
2 Q
Q
− ke
= ke 1 − 2 π
π R
R
R
)
)
= 181
. ⋅ 10 6 V
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
kg
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ESERCIZIO SVOLTO 3:
Un dielettrico ha costante dielettrica εr e rigidità dielettrica (ossia il
valore massimo del campo elettrico che può sopportare senza
danneggiarsi) ER. Si vuole usare tale dielettrico per realizzare un
condensatore a facce piane e parallele di capacità C che possa sopportare
una differenza di potenziale massima VM.
Si determini:
a) le dimensioni del condensatore (ossia la superficie S che devono
avere le armature e la distanza h tra di esse)
b) la massima energia UM immagazzinabile nel condensatore prima che
si danneggi
(Dati: εr = 2.80; ER = 18.0 106 V/m; C = 7.00 10-2 µF; VM = 4.00 kV)
a)
S
VM
h
+
Il campo elettrico massimo all’interno del condensatore si ha quando alle armature è applicata la d.d.p.
massima VM. Poiché nel condensatore piano il campo elettrico è uniforme:
E R = V M h ⇒ h = VM E R
La capacità di un condensatore piano è data da
ε 0ε r S
h
ed essendo stata già determinata la distanza h tra le armature, è possibile determinare la loro superficie S:
hC
S=
ε 0ε r
C=
= 0.222 ⋅ 10 −3 m = 0.222 mm
h = VM E R
V C
S= M
ε 0ε r E R
= 0.628 m 2
b) L’energia immagazzinata in un condensatore può essere espressa in funzione della d.d.p. applicata alle
armature:
U = 21 CV 2
ed è massima quando alle armature è applicata la d.d.p. massima VM, quindi:
U M = 21 CV M2
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
= 0.560 J
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
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ESERCIZIO SVOLTO 4:
Una spira quadrata di lato L è posta in una zona di spazio in cui è
presente un campo di induzione magnetica parallelo e concorde all’asse z
il cui modulo, che non è né costante né uniforme, è dato dall’espressione
B=bt2y.
Si determini, all’istante t=t0:
a) il flusso di B concatenato con il circuito
b) la f.e.m. indotta nel circuito
(Dati: L = 2.0 cm; b = 4.0 T/(ms2); t0 = 2.5 s)
y
L
x
O
L
Per la spira scegliamo il verso di percorrenza antiorario cosicchè il versore n$ risulta parallelo e concorde
all’asse z e quindi coincide con il versore di tale asse: n$ = k$ .
a) Il flusso del campo di induzione magnetica concatenato con la spira, in un generico istante t, vale:
r
∫ B ⋅ n$ d s =
Φ( t ) =
quadrato
di lato L
∫ (bt
2
yk$ ) ⋅ k$ d s = bt 2
quadrato
di lato L
L
L
L
1
1 
y d s = bt 2 ∫ yL d y = bt 2 L ∫ y d y = bt 2 L  y 2  = bt 2 L3
∫
 2 0 2
quadrato
0
0
di lato L
ed all’istante t=t0:
Φ( t 0 ) =
1 2 3
bt L = 0100
. ⋅ 10 − 3 T ⋅ m2
2 0
b) Per la legge di Faraday la f.e.m. indotta nella spira, in un generico istante t, vale:
fi (t ) = −
ed all’istante t=t0:
dΦ
d 1

= −  bt 2 L3  = −btL3


dt
dt 2
f i (t 0 ) = −bt 0 L3
= − 80.0 ⋅ 106 V
ll segno negativo indica che il verso della f.e.m. indotta è quello orario, ossia opposto a quello assunto
all’inizio.
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
-19
C me = 9,11 10
-31
kg mp = 1,67 10
-27
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ESERCIZIO SVOLTO 5:
Due raggi di luce, uno rosso ed uno blu, cadono su di un prisma di
materiale trasparente (l’angolo in A è di 90°) con lo stesso angolo di
incidenza ϑ1.
Sapendo che l’indice di rifrazione del materiale di cui è costituito il
prisma vale nR per la luce rossa e nB per la luce blu:
a) l’angolo ϑR con cui emerge dal prisma il raggio di luce rosso
b) l’angolo ϑB con cui emerge dal prisma il raggio di luce blu
(Dati: ϑ1 = 45°; nR = 1.2; nB = 1.3)
90°
ϑ1=45°
Indichiamo con ϑ1 e ϑ2 gli angoli di incidenza e di rifrazione sulla prima faccia del prisma (quella verticale
nel disegno); indichiamo poi con ϑ3 e ϑ4 gli angoli di incidenza e di rifrazione sulla seconda faccia del prisma
(quella orizzontale nel disegno).
Applichiamo alle due rifrazioni la legge di Snell, scritta per un generico valore n dell’indice di rifrazione ed
assumendo che l’indice di rifrazione dell’aria vale na=1, abbiamo:
1

sin ϑ2 = n sin ϑ1
na sin ϑ1 = n sin ϑ2
⇒ 

 n sin ϑ3 = na sin ϑ4
sin ϑ4 = n sin ϑ3

Poiché dalla figura si deduce che ϑ2 e ϑ3 sono complementari
2
1 2
1

n − sin 2 ϑ1
sin ϑ3 = cosϑ2 = 1 − sin ϑ2 = 1 −  sin ϑ1  =
n

n
2
quindi
sin ϑ4 = n sin ϑ2 = n 2 − sin 2 ϑ1
e l’angolo ϑ4 esiste solo se
a)
Per il raggio rosso
vale:
⇒ ϑ4 = arcsin n 2 − sin 2 ϑ1
n 2 − sin 2 ϑ1 < 1 .
n = nR = 12
.
quindi
nR2 − sin 2 ϑ1 = (12
. ) − ( sin 45°) = 0.94 < 1
ϑ R = arcsin nR2 − sin 2 ϑ1
2
2
= 758
.°
b) Per il raggio blu n = nB = 1.3 quindi nR2 − sin 2 ϑ1 = (13
. ) − ( sin 45°) = 119
. >1
non esiste (si ha riflessione totale sulla seconda faccia del prisma)
ϑ B = non esiste
2
ε0 = 8,85 10
-12
-6
8
e l’angolo di uscita
F/m µ0 = 1,26 10 H/m c = 3,00 10 m/s g = 9,81 m/s2 e = 1,60 10
2
-19
C me = 9,11 10
e l’angolo di uscita
-31
kg mp = 1,67 10
-27
kg
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