1 Un punto materiale di massa m viene lanciato lungo uno scivolo di

A.A. 2013-14
Fisica Generale
06-06-14
ESERCIZIO 1
Un punto materiale di massa m viene lanciato lungo uno scivolo di pendenza
 = 30°, da A verso B, con velocità iniziale v0. Il coefficiente di attrito
dinamico punto materiale-scivolo è d = 0.4. La pallina si stacca in B e
ricade in C. I segmenti AB e BC hanno la stessa lunghezza pari a d = 1.75 m.
Determinare la velocità iniziale v0.
Soluzione
La velocità vB della pallina nel punto B è legata alla velocità iniziale v0 dalla relazione:
vB = [v02 –2 g d (sin  + d cos ]. Dal punto B l’equazione che regola la caduta nel punto D (eq. della
traiettoria) a distanza d da B è d = 2 vBx vBy /g = 2 vB2 sin  cos  /g da cui: vB = [d g /(2 sin  cos )].
Uguagliando le due quantità si ottiene: v0 =[2 d g (sin  + d cos  + 1/(4 sin  cos )] = 7 m s-1
ESERCIZIO 2
Un proiettile di massa m = 0.3 kg, sparato a una velocità v = 100 m/s si conficca in un blocco di legno di
massa M = 5 kg, collegato ad una molla. La traiettoria del proiettile è allineata con la molla.
Se la molla si comprime di x =10 cm, quanto vale la sua costante elastica?
Soluzione
Nell’urto si conserva la quantità di moto: m v= (m+M) V, da cui V = v m /(m+M). Dopo l’urto si conserva
l’energia meccanica: ½ (m+M) V2 = ½ k x2, da cui si ottiene: k = (m v)2 / [x2 (m+M)] = 1.7 104 N/m
ESERCIZIO 3
Un disco omogeneo di massa M = 3 kg e raggio R = 30 cm può ruotare nel piano verticale
intorno ad un'asse fisso orizzontale passante per il suo centro. Un blocco di massa
m = 1;5 kg è appeso ad una corda inestensibile e di massa trascurabile avvolta attorno al
disco. Il sistema è inizialmente fermo, e ad un certo istante viene messo in moto sotto
l’azione della gravità. Calcolare:
a) l'accelerazione con cui scende il blocco
b) la tensione della corda
c) l'accelerazione angolare del disco.
d) La velocità angolare del disco quando la massa è scesa di h = 3 m
Soluzione
a) Si ha per la massa mg-T=ma, per il disco M =T R = I d/dt=I =I a/R. Risolvendo il sistema si
ottiene: a = - g 2 m / (M + 2 m) = 4.9 m s-2.
b) La tensione si ottiene dalla T=m (g – a) = 7.35 N
c) L’accelerazione angolare del disco è:  = a / R = 16.3 rad s-2
d) La velocità della massa dopo che è scesa di h = 3 m è data da = √2 ℎ⁄ = 18
−1
ESERCIZIO 4
In un cilindro chiuso da un pistone mobile a tenuta stagna è contenuto un gas perfetto biatomico alla
pressione pi = 1.5 · 105 Pa e alla temperatura Ti = 20 °C. Il cilindro ed il pistone sono perfettamente
isolanti e sono posti in un ambiente a pressione costante p0= 1.01 · 105 Pa. Inizialmente il pistone è
bloccato e il volume occupato dal gas è Vi = 300 cm3. Successivamente il pistone viene lasciato libero di
muoversi ed il gas si espande. Si calcoli, all’equilibrio:
a) la temperatura del gas Tf
b) il volume finale Vf
c) la variazione di entropia.
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Soluzione
a) Il numero di moli è dato da:
n = Pi Vi / R Ti=(1.5 · 105 Pa) (3 · 10-4 m3) / (8.314 J K−1 mol−1)(293.15 K) = 0.01846 mol
Per risolvere l’esercizio si impostano quindi le seguenti due equazioni: quella di una trasformazione
adiabatica (- W=- p0 V=U) e l’equazione di stato dei gas perfetti nello stato finale: pf Vf = n R Tf.
Risolvendo il sistema si ottiene Tf = (pf Vi + n cV Ti)/[n (R+cV)] = 266 K
b) Sostituendo nell’equazione di stato dei gas perfetti per lo stato finale si ha Vf = 4.03 · 10-4 m3.
c) La variazione di entropia si calcola nel seguente modo: chiamato C lo stato caratterizzato dalla
pressione pf e dal volume Vi, la variazione di entropia si può calcolare lungo una successione di due
trasformazioni: una isocora dallo stato iniziale allo stato C e una isobara dallo stato C allo stato finale.
Si ha pertanto: S = n R (5/2 ln TC/Ti + 7/2 ln Tf /TC) = 8.5 · 10-3 J/K
ESERCIZIO 5
La spira rettangolare tracciata in figura è imperniata attorno all’asse y ed in essa circola una corrente di i
= 10 A nella direzione indicata. Inoltre la spira giace in un campo magnetico uniforme
diretto lungo il verso positivo dell’asse x e di modulo B = 0.2 T. Calcolare
a) il momento meccanico al quale essa è sottoposta.
b) la forza che agisce su ciascun lato della spira.
c) Si verifichi che la forza totale è nulla.
Le dimensioni dei lati della spira sono a = 6 cm e b = 8 cm. L’angolo con l’asse z è  = 60°.
Soluzione
a) Il vettore momento magnetico della spira ha, per ovvie considerazioni, le seguenti componenti:
= 60°
= − 30° dove = = 10 ∙ 48 ∙ 10 = 48 ∙ 10
Per il momento meccanico, si ha: ⃗ = ⃗ × ⃗ =
= −8.31 ∙ 10
b) Calcolo delle forze
 Lato lungo sull’asse y: ⃗ = ×
= − , Il modulo di essa ́e: = 16 ∙ 10
.
Ovviamente la forza che agisce sull’altro lato lungo ́e opposta.
 Lato corto uscente dall’origine:
⃗ = − (
30°
+
60°
)×
=− 60°
×
= − 1⁄2 il cui modulo è: = 6 ∙ 10
. Ovviamente la forza che agisce sull’altro lato corto ́e opposta.́
c) E’ immediato verificare che la risultante delle forze è nulla.
ESERCIZIO 6
Una barra conduttrice, di massa m = 100 g e resistenza R = 500 Ω, appoggia senza attrito su due binari
orizzontali di resistenza trascurabile. La distanza tra i binari è l = 40 cm e il sistema è immerso in un
campo magnetico uniforme B = 0.8 T, perpendicolare ai binari ed alla barra (entrante nel foglio).
All’istante t = 0 la barra è ferma e tra i binari viene posto un generatore (VA-VB>0).
Se il generatore fornisce una corrente costante i0 = 0.2 A, calcolare:
a) In che direzione si muove la sbarra
b) La velocità della sbarra al tempo t1 = 15 s
c) Il lavoro fatto dal generatore fino al tempo t1
Se invece il generatore fornisce una FEM costante pari a V0 = 8 V calcolare:
d) La velocità limite della sbarra
e) La potenza fornita dal generatore alla velocità limite
Soluzione
a) La corrente gira in senso orario, quindi è diretta verso il basso lungo la barretta mobile. Il campo
magnetico è entrante nel foglio, e quindi la forza ⃗ = ⃗ × ⃗ è diretta verso destra.
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b) Poiché il generatore mantiene la corrente costante la forza è costante, e quindi si tratta di un moto
⁄ → = ⁄ = 9.6 / .
uniformemente accelerato: = =
Nota che per mantenere la corrente costante il generatore dovrà contrastare la f.e.m. indotta dal
movimento della sbarretta, e quindi dovrà generare una f.e.m. crescente nel tempo.
c) Il lavoro fatto dal generatore sarà pari all’energia cinetica acquistata dalla sbarretta, più l’energia
dissipata sulla resistenza. Essendo la corrente costante, la potenza dissipata è costante (R i2), si
otterrà:W=R i2 t+1/2 m v2=305 J
d) Se invece di una corrente costante il generatore fornisce una tensione costante, il moto non sarà più
uniformemente accelerato poichè al crescere della velocità della sbarretta cresce la f.e.m. indotta nel
circuito, che è pari a:
( )
. . .= −
=− =− La velocità limite si avrà quando la f.e.m. indotta raggiunge la tensione del generatore, da quel
momento infatti non circola più corrente nel circuito, e quindi la sbarretta non è più soggetta a forze
esterne: −
=0→
= ⁄ = 25 / .
e) Alla velocità limite non circola più corrente, quindi la potenza fornita dal generatore è: Pgen=V0 i = 0
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