Esercizio 1 Esercizio 2

Esercizio 1
Sulla superficie di un disco di plastica di raggio R è distribuita uniformemente una carica q. Se il disco è fatto ruotare attorno al suo asse con velocità
angolare ω, calcolare il campo magnetico al centro del disco.
Soluzione
Riprendiamo il caso dell’anello in rotazione già svolto. Per il campo assiale
avevamo trovato la seguente espressione:
B(x) =
µ0 iR2
2(x2 + R2 )3/2
che valutata nel centro dell’anello diventa:
B(O) =
µ0 i
2R
Ora possiamo immaginare che il disco sia suddivisibile in tanti anelli concentrici di raggio via via crescente, percorsi da una corrente di = dqω/2π =
ωσrdr, ognuno responsabile di un contributo al campo:
µ0 di
µ0
µ0
=
σωrdr =
σωdr
2r
2r
2
dB(O) =
perpendicolare al disco e con il verso determinato dalla regola della mano
destra. Per ottenere il campo totale:
B(O) =
Z
R
dB(r) =
0
µ0 ωq
µ0
σωR =
2
2πR
Esercizio 2
Due lunghi fili posti a distanza d sono percorsi da correnti di uguale intensità i dirette in versi opposti. Calcolare il campo magnetico nel punto P ,
equidistante dai fili come mostrato in figura.
2
B2
B
R
d
P
B1
1
1
Soluzione
Il campo magnetico in P risulta dalla sovrapposizione dei campi generati
indipendentemente da ognuno dei due fili percorsi da corrente. Per considerazioni geometriche, la sola componente che risulta diversa da 0 è quella
allineata lungo R, cioè:
B = 2B1 cos θ
Per il calcolo di B1 :
B1 =
Dal momento che:
µ0 i
2π
p
R2 + d2 /4
d
cos θ = p
2
2 R + d2 /4
si ottiene complessivamente:
B(P ) =
µ0 id
2π(R2 + d2 /4)
Esercizio 3
Una spira quadrata piana di lato L è percorsa da una corrente costante i1
come rappresentato in figura. Indicare direzione e verso del campo magnetico all’interno della spira. Calcolare il campo magnetico nel centro C della
spira.
L
i
C
Soluzione
Ognuno dei quattro lati della spira produce un campo ortogonale al piano
della spira e diretto in verso uscente dal disegno. Per il calcolo del modulo
nel centro C, osserviamo che ognuno dei quattro lati contribuisce per 1/4 al
campo totale in C, cioè:
µ0 i
~
B(C)
=4
4π
Z
L/2
−L/2
~ × uˆr
dl
r2
→
2
µ0 i
B(C) =
π
Z
L/2
−L/2
sin θ
dx
r2
L2
L
L
+ x2 e sin θ =
= q
2
4
2r
2 L4 + x2
Abbiamo dunque:
dove r 2 =
µ0 iL
B(C) =
2π
µ0 iL
B(C) =
2π
Z
L/2
−L/2
dx
L2
4
+ x2
3/2
L/2
√
2 2µ0 i
p
=
L2
πL
L / 4 + x2 x
4
−L/2
3