Anteprima Estratta dall' Appunto di
Probabilità
Università : Università degli studi Federico II
Facoltà : Ingegneria
Indice di questo documento
L' Appunto
Le Domande d'esame
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Giacinto Gelli
om
Probabilità e informazione
abcefg
AB
Ct
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e.c
Manuale per il corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori
N APOLI 2002
ABCtribe.com - [Pagina 3]
c Giacinto Gelli [email protected]
L’autore consente la riproduzione anche parziale del testo agli studenti del corso. Non è consentito modificare il testo, diffonderlo, pubblicarlo anche con mezzi telematici senza il consenso
scritto dell’autore.
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Prima versione (1.0): settembre 2001.
Seconda versione (2.0): febbraio 2002.
Terza versione (3.0): ottobre 2002.
Quarta versione (3.1): marzo 2003.
Quinta versione (3.2): settembre 2003.
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Dedicato ad Annalisa, Andrea, ed Alice.
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Prefazione
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Poiché non è dal lavoro che nasce la civiltà:
essa nasce dal tempo libero e dal giuoco.
Alexandre Koyré, “I filosofi e la macchina”
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Questo libro costituisce un tentativo di fornire un’introduzione snella, ma rigorosa, ai concetti fondamentali di probabilità ed informazione per gli allievi dei corsi di laurea dell’Ingegneria
dell’Informazione.
AB
Ct
Il libro è organizzato in 10 capitoli ed alcune appendici; nei capitoli 1 e 2 si espongono le basi della
teoria della probabilità; i capitoli 3, 4 e 5 sono dedicati allo studio della teoria di una variabile
aleatoria; i capitoli 6 e 7 si occupano della teoria di due variabili aleatorie; il capitolo 8 generalizza
molti dei concetti esposti nei capitoli precedenti al caso di n > 2 variabili aleatorie e discute
brevemente i teoremi limite (legge dei grandi numeri e teorema limite fondamentale); nel capitolo
9 sono introdotte le distribuzioni condizionali; infine, il capitolo 10 è dedicato all’introduzione
dei concetti fondamentali della teoria dell’informazione (entropia, codifica di sorgente, primo
teorema di Shannon, codici di Huffmann). Gli argomenti marcati con il simbolo possono essere
saltati ad una prima lettura, senza pregiudicare la comprensione del resto. Il libro è corredato
da numerosi esempi svolti e da oltre 200 esercizi proposti, suddivisi per capitolo; gli esercizi
contrassegnati con il simbolo sono di maggiore difficoltà.
Per la comprensione del testo, sono richieste conoscenze di base di calcolo combinatorio, di analisi reale (teoria delle funzioni di una e più variabili, integrazione delle funzioni di una e più
variabili, derivazione delle funzioni di una e più variabili, successioni e serie) e di algebra lineare e geometria (vettori, matrici, determinanti). È necessaria anche una conoscenza operativa
dell’impulso di Dirac (le proprietà fondamentali sono richiamate nell’appendice D).
Il libro è disponibile su Internet in formato pdf alla seguente URL:
http://www.die.unina.it/GruppoTLC/gelli/didattica/CorsoFAlaurea/materiale
ed è stato composto dall’autore utilizzando LATEX2e. Commenti, segnalazioni di errori e suggerimenti possono essere indirizzati a [email protected].
ABCtribe.com - [Pagina 7]
ii
Si ringraziano gli studenti della Facoltà di Ingegneria dell’Università di Napoli per il loro incoraggiamento, la loro inesauribile curiosità, e particolarmente per le osservazioni che hanno
consentito di correggere molti degli errori presenti nelle precedenti versioni.
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Giacinto Gelli, ottobre 2002
ABCtribe.com - [Pagina 8]
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Principali notazioni
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insiemi
classi (collezioni di insiemi)
insieme vuoto
ω appartiene ad A
ω non appartiene ad A
A è un sottoinsieme di B
A è un sottoinsieme proprio di B
unione di A e B
intersezione di A e B
differenza tra A e B
complemento di A
prodotto cartesiano di A e B
uguale per definizione
insieme dei numeri naturali {1, 2, . . . , }
insieme dei numeri naturali, zero incluso {0, 1, 2, . . .}
insieme dei numeri interi relativi {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
insieme dei numeri reali
insieme ampliato dei numeri reali
intervallo a ≤ x ≤ b
intervallo a ≤ x < b
intervallo a < x ≤ b
intervallo a < x < b
intervallo x < b
intervallo x ≤ b
intervallo x > a
intervallo x ≥ a
indica indifferentemente un qualunque intervallo di estremi a e b
spazio campione
σ-campo costruito su uno spazio campione Ω
collezione delle parti di Ω
probabilità dell’evento A
probabilità condizionata dell’evento A dato l’evento B
variabili aleatorie
vettori
matrici
determinante della matrice A
inversa della matrice A
trasposta della matrice A
AB
A, B, C
A, B, C
∅
ω∈A
ω ∈ A
A⊆B
A⊂B
A ∪ B, A + B
A ∩ B, AB
A−B
A
A×B
N
N0 = N ∪ {0}
Z
R
R = R ∪ {−∞, ∞}
[a, b]
[a, b[
]a, b]
]a, b[
] − ∞, b[
] − ∞, b]
]a, ∞[
[a, ∞[
(a, b)
Ω
S
P(Ω)
P(A)
P(A|B)
X, Y, Z
x, y, z
A, B, C
det(A)
A−1
AT
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2 Probabilità condizionale e indipendenza
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Probabilità condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Interpretazioni della probabilità condizionale . . . . . . . .
2.2.2 Legge della probabilità composta . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Regola della catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Teorema della probabilità totale e teorema di Bayes . . . . .
2.3 Indipendenza tra eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Indipendenza di tre o più eventi . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Indipendenza condizionale tra eventi . . . . . . . . . . . . .
2.4 Esperimenti combinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Esperimenti indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Elementi di un sistema di comunicazione . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Sorgente di informazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Canale di comunicazione e canale binario simmetrico (BSC)
2.5.3 Sorgenti e canali senza memoria . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 Probabilità elementare
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Richiami di teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Probabilità: definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . .
1.4 Probabilità assiomatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Campi e σ-campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Assiomi di Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Proprietà elementari della probabilità . . . . . . .
1.4.4 Spazi di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Proprietà di continuità della probabilità . . . . .
1.5 Altri approcci alla teoria della probabilità . . . . . . . . .
1.5.1 Approccio frequentista . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Approccio classico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Vantaggi (e svantaggi) dell’approccio assiomatico
1.6 Esempi di costruzione di spazi di probabilità . . . . . . .
1.6.1 Spazi di probabilità discreti . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Spazi di probabilità continui . . . . . . . . . . .
1.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Variabili aleatorie
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Definizione formale di variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Proprietà della CDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Variabili aleatorie discrete, continue, miste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Percentile e mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Funzione densità di probabilità (pdf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Proprietà della pdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Funzione distribuzione di probabilità (DF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Proprietà della DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Variabili aleatorie notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Variabile aleatoria di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Variabile aleatoria binomiale e problema delle prove ripetute . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Variabile aleatoria binomiale negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Variabile aleatoria geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Variabile aleatoria di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Variabile aleatoria uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.7 Variabile aleatoria gaussiana o normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.8 Variabile aleatoria esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.9 Variabile aleatoria di Laplace (esponenziale bilatera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.10 Variabile aleatoria di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.11 Variabile aleatoria di tipo “mixture” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.12 Relazioni tra variabile aleatoria binomiale e gaussiana: i teoremi di de Moivre-Laplace
3.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Caratterizzazione sintetica di una variabile aleatoria
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Media di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Teorema fondamentale della media . . . . . . . . . .
5.2.2 Proprietà della media . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Varianza e valor quadratico medio di una variabile aleatoria
5.3.1 Proprietà della varianza . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Momenti di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Relazione tra momenti e momenti centrali . . . . . .
5.5 Disuguaglianze notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Trasformazioni di una variabile aleatoria
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Condizioni da imporre alla funzione g(x) . . . . . . . .
4.2 Caratterizzazione statistica di Y = g(X) . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Calcolo della CDF di Y = g(X) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Calcolo della DF di Y = g(X) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Calcolo della pdf di Y = g(X) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Problema inverso: determinazione di g(x) . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Generazione di una variabile aleatoria con CDF assegnata
4.3.2 Generazione automatica di numeri casuali . . . . . . . . .
4.3.3 Algoritmo “middle-square” (Von Neumann) . . . . . . . .
4.3.4 Algoritmo lineare congruente . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Test statistici sui generatori . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Caratterizzazione sintetica di una coppia di variabili aleatorie
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Teorema fondamentale della media per una coppia di variabili aleatorie
7.3 Momenti congiunti di una coppia di variabili aleatorie . . . . . . . . . .
7.4 Misure di correlazione di una coppia di variabili aleatorie . . . . . . . . .
7.4.1 Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Spazio vettoriale di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4 Coefficiente di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.5 Incorrelazione tra due variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Stima lineare a minimo errore quadratico medio . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Principio di ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Coppie di variabili aleatorie
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) congiunta
6.2.1 Proprietà della CDF congiunta . . . . . . . . . .
6.3 Funzione densità di probabilità (pdf) congiunta . . . .
6.3.1 Proprietà della pdf congiunta . . . . . . . . . . .
6.4 Funzione di distribuzione di probabilità (DF) congiunta
6.5 Statistiche congiunte e marginali . . . . . . . . . . . . .
6.6 Coppie di variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . .
6.6.1 Proprietà delle variabili aleatorie indipendenti .
6.7 Trasformazioni di coppie di variabili aleatorie . . . . .
6.7.1 Trasformazione 2→1 . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Trasformazione 2→2 . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.3 Metodo della variabile ausiliaria . . . . . . . . .
6.8 Variabili aleatorie complesse . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Distribuzioni e medie condizionali
9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Distribuzioni condizionali per una variabile aleatoria . . . . . . .
9.2.1 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) condizionale
9.2.2 Funzione densità di probabilità (pdf) condizionale . . . . .
9.2.3 Funzione distribuzione di probabilità (DF) condizionale .
9.2.4 Teorema della probabilità totale per CDF, pdf, DF . . . . .
9.2.5 Probabilità a posteriori di un evento . . . . . . . . . . . .
9.2.6 Probabilità a posteriori dato X = x . . . . . . . . . . . . .
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8 Vettori di variabili aleatorie
8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Caratterizzazione statistica di n variabili aleatorie . . . . . . . . . . .
8.2.1 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) . . . . . . . . . .
8.2.2 Funzione densità di probabilità (pdf) . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Funzione di distribuzione di probabilità (DF) . . . . . . . . . .
8.2.4 Proprietà delle distribuzioni congiunte di n variabili aleatorie
8.3 Trasformazioni di n variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Momenti di n variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Vettore delle medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Matrice di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 Matrice di covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.4 Incorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Teoremi limite e convergenza di una sequenza di variabili aleatorie
8.6.1 Legge dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 Teorema limite fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE
9.3
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9.2.7 Teorema della probabilità totale (versione continua) . . .
9.2.8 Teorema di Bayes per le pdf . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuzioni condizionali per coppie di variabili aleatorie . . . .
9.3.1 Distribuzioni condizionali dato X = x ed Y = y . . . . . .
Distribuzioni condizionali per vettori di variabili aleatorie . . . .
9.4.1 Indipendenza condizionale e regola della catena per le pdf
Media condizionale e momenti condizionali . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Teorema della media condizionale . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Generalizzazione al caso di coppie di variabili aleatorie .
Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Elementi di teoria dell’informazione
10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Misura dell’informazione ed entropia . . . . . . . . .
10.2.1 Autoinformazione . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Proprietà dell’entropia . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Entropia congiunta . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Sorgenti di informazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Entropia di sorgente . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Tasso d’informazione di una sorgente . . . . .
10.3.3 Sorgenti discrete senza memoria (DMS) . . . .
10.3.4 Codifica di sorgente . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Codici per la compattazione dati . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Codici a lunghezza fissa . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Codici a lunghezza variabile . . . . . . . . . .
10.4.3 Codici univocamente decifrabili . . . . . . . .
10.4.4 Codici a prefisso . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.5 Condizioni per l’univoca decifrabilità . . . . .
10.5 Efficienza dei codici per la compattazione dati . . . .
10.5.1 Codici di Shannon . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.2 Codifica a blocchi e primo teorema di Shannon
10.5.3 Efficienza dei codici a lunghezza fissa . . . . .
10.5.4 Codici di Huffmann . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Fattoriale e coefficiente binomiale
243
A.1 Fattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
A.2 Coefficiente binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
A.3 Espansioni binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
B Elementi di calcolo combinatorio
245
B.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
B.2 Schema fondamentale del conteggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
B.3 Applicazione al calcolo delle probabilità nel gioco del poker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
C La funzione G(x)
255
C.1 La funzione G(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
D L’impulso di Dirac
259
D.1 Impulso di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
E Richiami di algebra lineare
E.1 Definizioni ed operazioni fondamentali . . . . . . . . . .
E.1.1 Matrici e vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.1.2 Somma di due matrici e prodotto per uno scalare
E.1.3 Prodotto di due matrici (righe per colonne) . . . .
E.1.4 Trasposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Operazioni e proprietà delle matrici quadrate . . . . . . .
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264
265
INDICE
E.2.1
E.2.2
E.2.3
E.2.4
ix
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . .
Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrici diagonali . . . . . . . . . . . . . .
Matrici simmetriche e forme quadratiche
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F Identità matematiche notevoli
F.1 Sommatorie e serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.1.1 Sommatorie di potenze di interi . . . . . . . . . . .
F.1.2 Somma dei primi n termini di una serie geometrica
F.1.3 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2 Formula di Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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