Appunti alla cazzo di Metodi Pascoliniani

Appunti alla cazzo di Metodi Pascoliniani
26 giugno 2012
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Indice
1 Groups bites:
conserve ass parity
1.1 Monomorfismi ed epimorfismi . . . . . . .
1.2 Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sottogruppi normali . . . . . . . . . . . .
1.4 Teorema Fondamentale di Omomorfismo .
1.5 Omomorfismo tra un gruppo non abeliano
1.6 Rappresentazioni irriducibili . . . . . . . .
1.7 Carattere . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Criterio di Frobenius . . . . . . . .
1.7.2 Relazione di Burnside . . . . . . .
1.8 Teorema di Schur-Auerbach . . . . . . . .
1.9 Teorema di Maschke . . . . . . . . . . . .
1.10 Gruppi topologici e gruppi di Lie . . . . .
1.11 Algebra di Lie . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Ideale di un’algebra di Lie . . . . . . . . .
1.13 Algebre semplici e semisemplici . . . . . .
1.14 Coordinate logaritmiche . . . . . . . . . .
1.15 Algebre di lie di matrici . . . . . . . . . .
1.15.1 Gruppo SO(n) e sue algebre . . .
1.15.2 Gruppo SU (n) e sue algebre . . .
1.16 Teorema di Levi-Malcev . . . . . . . . . .
1.17 Teorema di Cartan . . . . . . . . . . . . .
1.18 Rappresentazione aggiunta . . . . . . . . .
1.19 Weyl-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . .
1.20 Banach e Hilbert . . . . . . . . . . . . . .
1.21 Gruppi Compatti . . . . . . . . . . . . . .
1.22 Misura invariante di Haar . . . . . . . . .
1.23 Rappresentazioni Plurivoche . . . . . . . .
3
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ed un gruppo
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abeliano
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INDICE
Capitolo 1
Groups bites:
conserve ass parity
1.1 Monomorfismi ed epimorfismi
Un omomorfismo che sia iniettivo è anche detto monomorfismo, mentre se è
suriettivo è detto epimorfismo.
Una omomorfismo iniettivo (monomorfismo) significa che elementi distinti del
dominio vanno a finire in elementi distinti del codominio, e questo lascia spazio
al fatto che alcuni elementi del codominio potrebbero non essere immagine di
nulla del dominio.
Nel caso invece di un morfismo suriettivo (epimorfismo), ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, portando la possibilità
che alcuni elementi distinti del dominoio vengano mappati nello stesso elemento
del codominio.
Nel caso in cui si abbia un isomorfismo, il morfismo è bijettivo, per cui ad ogni
elemento distinto del dominio c’è un solo elemento distinto del codominio, in
una mappatura 1:1.
1.2 Sylow
Una condizione sufficiente affinchè un gruppo G abbia un sottogruppo divisore
H è che esista un numero primo p ed un intero positivo n tali per cui |H| = pn .
1.3 Sottogruppi normali
Un sottogruppo H ⊂ G si dice normale o invariante se
Hg = {hg |h ∈ H, g ∈ G} = {ghḡ|h ∈ H, g ∈ G} = H
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CAPITOLO 1. GROUPS BITES:
CONSERVE ASS PARITY
Similmente si può dire che un sottogruppo H è normale rispetto ad G se i suoi
laterali sinistri e destri rispetto a G coincidono, ovvero se
Hg = gH
∀g ∈ H
La relazione di normalità si indica con H G.
In pratica un sottogruppo H è normale su G, se coniugando ogni elemento di H
attraverso un qualsiasi elemento di G, l’elemento risultante appartiene ancora
ad H.
Da notare come il kernel di un omomorfismo è un sottogruppo normale del
gruppo che ne costituisce il dominio.
Un’altro sottgruppo correlato è il normalizzatore di un sottogruppo (o di un
complesso) H, definito come
N (H) = {g ∈ G|gH = Hg}
di modo che se H è un sottogruppo normale, allora coincide con il suo normalizzatore
H = Hg ⇒ N (H) = H
Vi è inoltre un’importante proprietà posseduta dai gruppi che possiedano
un sottogruppo normale che sia di per sé completo1 , infatti se H è questo
sottogruppo del gruppo G, allora G è esprimibile come prodotto diretto
G = H ⊗ ZG [H]
dove con ZG [H] indichiamo il centralizzatore di H in G
ZG [H] = {g ∈ G|gh = hg,
∀h ∈ H}
Un gruppo si dice semplice se non possiede alcun sottogruppo normale, e
semisemplice se non possiede alcun sottogruppo normale abeliano.
1.4 Teorema Fondamentale di Omomorfismo
Il teorema fondamentale di omomorfismo indica come un omomorfismo η tra
due gruppi G e G ′
η : G −→ G ′
induca l’esistenza di un epimorfismo ζ
ζ : G −→ G/Ker[η]
e di un monomorfismo η̄
η̄ : G/Ker[η] −→ G ′
η̄
g Ker[η] −→ η(g)
ovvero si genera la successione esatta
ζ
η̄
G −→ G/Ker[η] −→ G ′
Inoltre possiamo vedere come se ker[η] = {e}, allora η = 1 e η̄ = η.
1 Ovvero
in cui tutti i suoi automorfismi sono interni
1.5. OMOMORFISMO TRA UN GRUPPO NON ABELIANO ED UN GRUPPO ABELIANO7
1.5 Omomorfismo tra un gruppo non abeliano
ed un gruppo abeliano
Indichiamo con Gn.a il gruppo non abeliano, mentre con Ga quello abeliano.
Stiamo cercando un omomorfismo η
η : Gn.a → Ga
tale per cui si debba avere
[η(x), η(y)] = 0 = η([x, y])
dunque gli elementi di Ga sarano le immagini degli elementi di Gn.a il cui commutatore sta nel kernel di η, il che sapendo che Ker[η] è un sottogruppo di Gn.a
(per cui se x, y ∈ Ker[η], allora [x, y] = 0 = [y, x]), si può scrivere
Ga = {η(x)| [x, y] ∈ Ker[η], ∀y ∈ Gn.a , x ∈ Gn.a }
Un’informazione utile per costruire l’omomorfismo cercato arriva dal teorema
fondamentale di omomorfismo, da cui sappiamo che ci sono due morfismi indotti
dall’omomorfismo η, ed in particolare il monomorfismo
η̄ : Gn.a /Ker[η] −→ Ga
η̄
g Ker[η] −→ η(g)
da cui dovremmo cercare di individuare gli elementi di Ker[η] per lavorare poi
sul gruppo quoziente Gn.a /Ker[η] sapendo poi le che immagini di questo saranno elementi che commutano tra di loro.
Inoltre individuando il kernel in questione andremmo ad individuare un primo sottogruppo invariante, sapendo che il kernel di un omomorfismo è un
sottogruppo normale.
1.6 Rappresentazioni irriducibili
Una rappresentazione è un omomorfismo che permette di ricondurre lo studio
di un gruppo a quello di una struttura algebrica più evoluta.
I gruppi più semplici che possano rappresentare anche strutture non abeliane
sono le matrici non singolari di ordine n, GL(n, C), ed è stato dimostrato come
queste siano sufficienti per la rappresentazione di tutti i gruppi finiti.
L’estensione diretta delle rappresentazioni matriciali sono le rappresentazioni
lineari, in cui l’omomorfimo si instaura tra il gruppo oggetto di studio e la
struttura algebrica definita sugli operatori lineari su uno spazio di Hilbert: Sotto queste condizioni è stato dimostrato come sia possibile trattare anche gruppi
continui.
Si dice che una rappresentazione è fedele se il morfismo in questione è un isomorfismo.
Per costruire un omomorfismo tra due gruppi è necessario individuare i sottogruppi invarianti.
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CAPITOLO 1. GROUPS BITES:
CONSERVE ASS PARITY
Una rappresentazione si dice irriducibile se non ha sottospazi - oltre a quelli
banali - che siano invarianti rispetto a tutti gli operatori della rappresentazione:
una caratteristica di tutti gruppi finiti sta nell’ammettere rappresentazioni irriducibili.
In particolare possiamo farci un’idea di come siano costruiti queste rappresentazioni irriducibili enunciando il teorema di Schur, che sostiene come una rappresentazione di un gruppo è irriducibile se solamente i multipli di 1 commutano
con tutti gli operatori della rappresentazione.
In una rappresentazione irriducubile dunque gli operatori in forma matriciale
saranno composti da blocchi.
Una conseguenza diretta del teorema di Schur è che le rappresentazioni irriducibili dei gruppi abeliani sono unidimensionali, in quanto ovviamente in
questo caso gli operatori della rappresentazione commutano tutti fra loro, e devono di conseguenza essere multipli dell’operatore unità, e dunque la dimensione
massima per avere sottospazi invarianti propri è 1.
Si tratta in genere di individuare quali delle rappresentazioni di un gruppo sono irriducibili, e successivamente trovare un algoritmo per determinare i
coefficienti della decomposizione della rappresentazione nello sviluppo sulle rappresentazioni irriducibili:
relazioni i ortogonalità, caratteri, teorema di Schur, Frobenius e Burnside sono
gli strumenti utilizzati allo scopo.
1.7 Carattere
Il carattere di un elemento g ∈ G è la traccia dell’operatore in una data rappresentazione ρ, χρ (g) = T r [D(g)].
Ragionando sui caratteri, si sono ottenute importanti informazioni sulla costruzione
delle rappresentazioni irriducibili.
Anzitutto si verifica che rappresentazioni con lo stesso carattere sono necessariamente equivalenti, da cui segue che rappresentazioni unitarie hanno carattere
pari alla dimensione della rappresentazione stessa, in quanto sono equivalenti
alla rappresentazione 1.
Inoltre si può verificare che elementi coniugati hanno lo stesso carattere, per cui
χρ (g) = χρ (g G ), introducendo così di carattere della classe di equivalenza.
Il carattere di una rappresentazione è la nc -pla costituita dai caratteri degli
elementi della rappresentazione, con eventuali fattori moltiplicativi per tener
conto della dimensione di ogni sottospazio
(√
)
√
χρ =
n1 χρ (g1 ), . . . , nnc χρ (gnc )
Dalle relazioni di ortogonalità e completezza delle rappresentazioni dei gruppi finiti possiamo inoltre trovare una relazione di ortogonalità dei caratteri
χρ , χ η ) = ∥G∥ δρη
(χ
1.8. TEOREMA DI SCHUR-AUERBACH
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1.7.1 Criterio di Frobenius
Dalla relazione di ortogonalità dei caratteri segue l’importante criterio di Frobenius, che detta una condizione necessaria e sufficiente affinchè una rappresentazione sia irriducibile
χ, χ ) = |G|
χ irriducibile ⇐⇒ (χ
Se ora la rappresentazione ρ ammette la decomposizione
⊕
ρ=
ck ρk
k
il suo carattere può essere pure scritto come
⊕
χρ =
ckχ k
k
possiamo trovare il numero di volte ck che la rappresentazione irriducibile ρk
compare a decomposizione della rappresentazione totalmente riducibile ρ in base
alla relazione
χk , χ ρ )
(χ
ck =
|G|
(
)
√
k
ρ
dove χ = 0, . . . , nk χ (gk ), . . . , 0 .
1.7.2 Relazione di Burnside
Dal criterio di Frobenius ed i risultati sui caratteri, se ne ricava un severo vincolo
sul numero delle rappresentazioni irriducibili nR.I di una decomposizione, in
relazione alla loro dimensione nk , è dato dalla relazione di Burnside
n
R.I
∑
n2k = |G|
k=1
1.8 Teorema di Schur-Auerbach
Ogni rappresentazione di un gruppo finito è equivalente ad una rappresentazione
unitaria, ovvero una rappresentazione in cui tutti i suoi operatori sono unitari.
1.9 Teorema di Maschke
Ogni rappresentazione di un gruppo finito o è irriducibile o è equivalente ad una
rappresentazione completamente irriducibile.
In altre parole ogni gruppo finito ammette una rappresentazione completamente irriducibile.
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CAPITOLO 1. GROUPS BITES:
CONSERVE ASS PARITY
1.10 Gruppi topologici e gruppi di Lie
Un gruppo topologico è una struttura algebrica che abbia come insieme uno
spazio topologico2 ed in cui l’operazione caratteristica del gruppo sia continua
nella topologia dell’insieme.
in particolare un gruppo di Lie è un gruppo topologico la cui topologia sia
data da una varietà differenziale, e che pertanto risulti localmente diffeomorfo3
allo spazio Rn .
Quello che otteniamo è un gruppo in cui ogni elemento è parametrizzabile
mediante un sistema di coordinate locali. Inoltre è stato dimostrato come lavorando in un intorno dell’elemento neutro del gruppo i hache tra due gruppi di Lie
l’omomorfismo che si può instaurare è unico; successivamente si può estendere
le proprietà indiviate per quest’ultimo da locali a globali, e questo rappresenta
il punto di forza di queste strutture.
In particolare se due gruppi di Lie semplicemente connessi4 sono localmente
isomorfi, allora lo saranno anche globalmente
1.11 Algebra di Lie
È una struttura algebrica in cui è definita un’operazione binaria denominata
prodotto di Lie o commutatore, che soddisfi l’identità di Jacobi.
Quello che si nota è che se abbiamo un gruppo che sia anche gruppo di Lie, possiamo costruire un’omomorfismo che rappresenti il gruppo costruendo un’algebra
sugli elementi tangenti alla varietà differenziale del gruppo, in particolare in un
intorno del suo elemento neutro: la struttura così costruita risulta automaticamente avere le caratteristiche di un’algebra di Lie.
Posta g(t) ∈ G è la curva nell’intorno dell’elemento neutro del gruppo di Lie,
allora l’elemento dell’algebra λ costruito sullo spazio tangente a g(t) sarà dato
da
∂g(t) λ=
∂t t0
dove g(t0 ) = e.
Esplicando l’azione della composizione di due elementi g, h ∈ G rispetto alle
operazioni caratteristiche di G vediamo che nello spazio tangente si ha
∂
∂h(t) ∂g(t)
[g(t)h(t)] = g(t)
+
h(t)
∂t
∂t
∂t
∂
∂g(t)
ḡ(t) = −ḡ(t)
ḡ(t)
∂t
∂t
2 Una topologia è una collezione di sottoinsiemi tali per cui unione ed intersezione di questi
siano ancora parte dell’insieme d’origine
3 un diffeomorfismo è una funzione differenziabile, invertibile e con inverso a sua volta
differenziabile
4 semplicemente connesso significa che ogni curva chiusa è omotopa nella topologia ad un
punto
1.12. IDEALE DI UN’ALGEBRA DI LIE
11
Dunque all’operazione di moltiplicazione di G si associa la somma degli elementi
dell’algebra, mentre alla coniugazione l’inversione del segno, mettendo così in
corrispondenza G con l’algebra additiva su Rn .
Per una curva nell’elemento del gruppo, h(t) con λ = ∂h
∂t e , si avrà al primo
ordine che h(t) ∼ λt, e dunque i vettori tangenti all’elemento neutro sono anche
detti generatori infinitesimi del gruppo, da cui poi potremo costruire tutti gli
elementi del gruppo per le caratteristiche locali e globali proprie dei gruppi di
Lie.
Cerchiamo ora un omomorfismo che stabilisca una rappresentazione del gruppo
sull’algebra di Lie, considerando la classe di curve che hanno come tangente il
generatore λ, descritte dalla soluzione dell’equazione
∂g(t)
= g(t)λ
∂t
che si è dimostrato avere come soluzione unica la funzione esponenziale
gλ (t) = eλt
al ché si arriva infine a dire che la mappa esponenziale λ → eλt definisce un
omomorfismo tra il gruppo additivo di Rn ed il gruppo di Lie G.
Definiamo ora l’operazione caratteristica dell’algebra - che soddisfa all’identità
di Jacobi - che è detta prodotto di Lie o commutatore
[λ, µ] ≡ λµ − µλ
Data una base {ηj } per l’algebra, quello che si dimostra è che il commutatore
di ogni coppia di elementi può esser scritto come
∑
[ηj , ηk ] =
cljk ηl
l
dove gli elementi cljk sono detti costanti di struttura dell’algebra, che si dimostra
caratterizzare completamente il comportamento di un’algebra di Lie e del gruppo di Lie sottostante.
1.12 Ideale di un’algebra di Lie
Si tratta del sottospazio normale di un’algebra di Lie, per cui definito rispetto
al prodotto di Lie, in modo da avere
Ξ = {ζ|[ζ, λ] ∈ Ξ, ∀λ ∈ Λ}
per cui si dice che la sottoalgebra Ξ è un ideale dell’algebra Λ.
Si può facilmente notare come l’ideale sia in effetti l’estensione del concetto di sottogruppo normale, sostituendo la coniugazione fatta con l’operazione
caratteristica del gruppo all’operazione caratteristica dell’algebra di Lie, ovvero
il prodotto di Lie.
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CAPITOLO 1. GROUPS BITES:
CONSERVE ASS PARITY
1.13 Algebre semplici e semisemplici
Parallelamente alle definizioni date per i gruppi, nei quali un gruppo è semplice se non possiede alcun sottogruppo normale proprio, e semisemplice se non
possiede nessun sottogruppo normale abeliano, nel caso delle algebre di Lie questa sarà semplice se non possiede ideali, mentre sarà semisemplice se non possiede
ideali solubili, dove un’algebra Ξ è solubile se esiste un n dale per cui si abbia
Ξ[n] = {0}5 .
Infine, il radicale di un’algebra è definito come il suo ideale solubile massimale.
1.14 Coordinate logaritmiche
Definita la rappresentazione di un Gruppo di Lie indotta dalla funzione esponenziale, possiamo trovare le coordinate degli elementi del gruppo di Lie partendo dagli elementi della rappresentazione, e questo ovviamente lo possiamo
fare definendo la coordinata logaritmica come λ = log g(t), di modo che ad una
curva g(t) del gruppo possa associare una coordinata costituita dal generatore
infinitesimale.
Non ho ancora capito a cosa servono…solo per dimostrazioni o c’è qualche formula, criterio o altro che permette di catalogare o far qualcosa di utile con le
coordinate?
1.15 Algebre di lie di matrici
1.15.1 Gruppo SO(n) e sue algebre
Il gruppo speciale ortogonale di dimensione n, ovvero rotazioni nel piano cartesiano.
Il gurppo in questione è un sottogruppo di O(n), ed in particolare quello con
determinante unitario, il che ci porta a dire inoltre che O(n) non è connesso,
essendo costiruito da due laterali non connessi.
Inoltre il gruppo è compatto e semplicemente connesso
SO(2)
SO(3)
1.15.2 Gruppo SU (n) e sue algebre
Gruppo speciale unimodulare di dimensione n. Questo gruppo è compatto e
semplicemente connesso.
SU(2)
I suoi generatori sono le matrici di Pauli
5 Ξ[n]
indica la successione Ξ → [Ξ, Ξ] → [[Ξ, Ξ], [Ξ, Ξ]] → . . . fino ad avere n commutatori
1.16. TEOREMA DI LEVI-MALCEV
13
SU(3)
I suoi generatori sono le matrici di GellMann
1.16 Teorema di Levi-Malcev
Il teorema afferma che se esiste un radicale Ξ di un’algebra Λ, allora esiste anche una sottoalgebra Σ tale per cui ogni elemento di λ possa esser scritto come
somma di elementi di Ξ e Σ.
Inoltre, se Σ è un ideale, allora possiamo scrivere che Λ = Ξ ⊕ Σ.
In pratica mi dice che se eisiste uno spazio radice su cui costruire una sottoalgebra, allora ci sarà anche il suo ortogonale, che poi potrà essere a sua volta
separato in ideali o meno.
1.17 Teorema di Cartan
Estendendo il teorema di Levi-Malcev, con il teorema di Cartan diciamo che ogni
algebra di Lie semisemplice (e dunque vale pure per le semplici) è costituito da
una somma diretta di ideali.
1.18 Rappresentazione aggiunta
La rappresentazione aggiunta (o regolare) di un’algebra di Lie è data dall’omomorfismo
Adλ (µ) = [λ, µ]
Oltre al fatto facimente dimostrabile che questo è in effetti un omomorfismo, si
dimostra pure che in realtà si tratta di un isomorfismo tra le strutture algebriche
di Lie, in altre parole la rappresentazione Ad è fedele.
Altro importante risultato sta nel fatto che l’omomorfismo può essere costruito
con facilità dall’algebra di Lie di partenza in quanto le entrate delle matrici degli operatori della rappresentazione sono date dalle costanti di struttura
dell’algebra, cpkp (o parallelamente direttamente dalle costanti del gruppo di Lie
sottostante), tale per cui, indicata con {ηk } una base per l’algebra di partenza,
si ha
[Adηk ]pq = cpkp
Costruita la rappresentazione aggiunta Ad, possiamo ricavarne importante
proprietà sull’algebra di partenza in base a delle importanti proprietà:
• Un sottospazio è un ideale solo se è invariante rispetto alla rappresentazione aggiunta
• Un’algebra di Lie è semplice solo se la sua rappresentazione aggiunta è
irriducibile
14
CAPITOLO 1. GROUPS BITES:
CONSERVE ASS PARITY
• Un’algebra di Lie è semisemplice se e solo se la sua rappresentazione
aggiunta non possiede sottospazi invarianti unidimentsionali
• Un’algebra di Lie è nilpotente se e solo se ogni operatore della rappresentazione aggiunta lo è
Dunque identificando gli spazi radice della rappresentazione aggiunta di un’algebra
di Lie, andiamo ad identificare una decomposizione dell’algebra di partenza in
somma diretta di ideali.
1.19 Weyl-Cartan
Un’ulteriore pacchetto di strumenti posso essere ricavati introducendo per un’algebra
di Lie la forma bilineare di Killing-Cartan
K(λ, µ) = T r [Adλ , Adµ ]
Anzitutto il sig. Cartan ha dimostrato che un’algebra di Lie è semisemplice6 se
e soltanto se la sua forma di Killing-Cartan è non degenere.
Ora, considerando una sottoalgebra nilpotente Σ di Λ, avremo che lo spazio
radice della rappresentazione aggiunta di Σ in Λ è pure una sottoalgebra di Λ,
e si dimostra pure che per ogni algebra semisemplice esiste questa sottoalgebra,
che è anche detta sottoalgebra di Cartan
K = {κ|Adpτ (κ) = 0,
∀τ ∈ K,
p ∈ (N )}
Essendo ora questa sottoalgebra nilpotente per come è stata costruita, Λ possiamo decomporla nella somma diretta degli spazi radice di AdK , in modo
che
⊕
Λρ
Λ=K⊕
ρ∈Radici
e la base che corrisponde alla decomposizione appena scritta è detta base di
Weyl-Cartan …da qua non ci ho capito una tega…
1.20 Banach e Hilbert
Uno spazio di Banach è definito come uno spazio normato completo, e su cui
dunque sia definito un prodotto scalare.
Lo spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale nato come generalizzazione dello
spazio Euclideo, e su cui dunque siano definite sia l’operazione di somma che
quella di moltiplicazione, con le stesse caratteristiche dell’usiale spazio Euclideo.
6 non
possiede ideali solubili
1.21. GRUPPI COMPATTI
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1.21 Gruppi Compatti
Un gruppo compatto è un gruppo definito su uno spazio che sia compatto, e che
sia dunque metrico, completo7 e totalmente limitato8 .
Per i gruppi compatti un’importante risultato è che qualunque rappresentazione
lineare e continua è equivalente ad una rappresentazioe unitaria.
1.22 Misura invariante di Haar
Una misura di Haar è una misura che sia invariante sotto l’azione del gruppo,
ovvero
dµ(g) = dµ(hg) = dµ(gh) ∀h ∈ G g ∈ G
similmente a quanto di ha per la usuale misura utilizzata su R, per cui dx =
d(x + a), ∀a ∈ R.
Si dimostra che questa misura esiste ed è unica, per cui ci è possibile definire un
prodotto scalare sugli elementi del gruppo, e nel caso limite in cui il gruppo sia
finito, il prodotto scalare è semplicemente la somma sugli elementi del gruppo.
Potendo dunque definire un prodotto scalare anche nei gruppi continui, ci
è permesso estendere molti dei risultati ottenuti per i gruppi finiti ai gruppi
continui, come il teorema di Schur-Auerbach, di Maschke, relazione di Burnside
e criterio di Frobenius.
1.23 Rappresentazioni Plurivoche
7 tutte
le successioni di Cauchy convergano ad un elemento dello spazio
se è possibile coprirlo completamente con un numero finito di palle di raggio definito
8 ovvero