A. A. 2007-08 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA SUPERIORE
C.d.L. Specialistica in Matematica
settembre 2009
1. Si denoti con g l’algebra di Lie del gruppo di Lie G ottenuto come prodotto
diretto tra il gruppo additivo ed il gruppo moltiplicativo del campo R dei
numeri reali. Se x, y sono le coordinate canoniche della varietà differenziabile
©
ª
M := (x, y) ∈ R2 : y 6= 0
sostegno di G, individuare l’affermazione falsa:
ϑ
(a) il campo vettoriale 3 ϑy
non appartiene a g;
ϑ
(b) il campo vettoriale ϑy
di M non ha un flusso globale (cioè le sue curve
integrali non sono definite ∀t ∈ R);
n
o
ϑ
ϑ
(c) g = ax ϑx
+ by ϑy
: (a, b) ∈ R2 , b 6= 0 ;
©¡
¢
ª
(d) ogni sottogruppo ad un parametro di G è del tipo at, ebt : (a, b) ∈ R2 .
Soluzione: L’algebra di Lie g nasce come somma diretta tra l’algebra di
d
Lie del gruppo additivo dei numeri reali, generata dal campo vettoriale dt
,
×
e l’algebra di Lie del grupponmoltiplicativo R che è o
generata dal campo
d
ϑ
ϑ
ϑ
vettoriale t dt
: pertanto g = a ϑx
+ by ϑy
: (a, b) ∈ R2 e 3 ϑy
6∈ g.
I sottogruppi ad un parametro del gruppo additivo di R sono le curve
t 7→ at, mentre quelli di R× sono le curve t 7→ ebt .
ϑ
Si noti infine che la curva integrale del campo vettoriale ϑy
che passa per
(0, 1) al tempo t = 0 è la curva t 7→ (0, t + 1) che è definita su M solo per
t > −1.
2. Sia G il gruppo topologico additivo del campo dei numeri complessi e siano
H e K i sottogruppi di G
H := {c ∈ C : Re(c), Im(c) ∈ Z} ,
K := {c ∈ C : Re(c) = πIm(c)} .
Denotata con L l’immagine di K nell’omomorfismo canonico ϕ : G →
G/H, individuare l’affermazione corretta:
(a) L è un sottogruppo discreto;
(b) L è isomorfo a S1 ;
(c) la chiusura di L è G/H;
1
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
.
Soluzione: H è il sottogruppo degli interi di Gauss di C per cui G/H è
identificabile come gruppo topologico col toro T2 = R/Z×R/Z. Inoltre K è
una retta vettoriale del piano C ' R2 con coefficiente angolare irrazionale.
Ciò comporta che la restrizione di ϕ a K produce un isomorfismo K → L:
è ben noto che ciò richiede che L sia denso in T2 .
3. Per ciascun numero reale t si ponga
1
X(t) := t
1 2
2t
0 0
1 0 .
t 1
Individuare l’affermazione falsa:
(a) t 7→ X(t) è un sottogruppo ad 1 parametro di GL(3, R);
0 0 0
(b) X(t) = Exp t 0 0 ;
0 t 0
(c) al variare di Y ∈ GL(3, R) e t ∈ R il prodotto Y X(t) dà
il flusso del
0 0 0
campo vettoriale V ∈ gl(3, R) individuato dalla matrice 1 0 0 ;
0 1 0
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Si ha
0 0 0
1 0
t
0
0
0 1
Exp
=
0 t 0
0 0
tenuto conto che
0
0
0 0 0
0 + t 0 0 + 0
1 2
1
0 t 0
2t
0 0
0 0 ,
0 0
k
0 0 0
t 0 0
0 t 0
è la matrice nulla per k > 2. La validità delle affermazioni (a) e (c) segue
dal fatto che le applicazioni t 7→ exp(tV ) e (Y, t) 7→ Y exp(tV ) danno,
rispettivamente, il gruppo ad 1 parametro ed il flusso associati al campo
vettoriale V .
2
4. Siano G il sottogruppo di GL(2, R) delle matrici della forma
µ
¶
x y
−y x
ed F : G → G un omomorfismo di gruppi di Lie il cui differenziale è
l’automorfismo X 7→ 2X di g := Lie(G). Individuare l’affermazione falsa:
(a) G è connesso;
(b) g è un’algebra di Lie abeliana;
(c) F è iniettiva;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: L’applicazione
µ
x + iy 7−→
x
−y
y
x
¶
dà un isomorfismo di gruppi di Lie tra G ed il gruppo moltiplicativo C∗
del campo dei numeri complessi che è un gruppo di Lie connesso isomorfo
al gruppo R∗+ × SO(2): quindi g ' R ⊕ o(2).
L’endomorfismo non iniettivo g 7→ g 2 di C∗ ha X 7→ 2X come differenziale
e questo comporta che quell’endomorfismo è proprio F .
5. Siano G un sottogrupo di Lie di GL(2, R), g l’algebra di Lie di G ed X, Y ∈
g campi vettoriali tali che Xg (Y ϕ) = Yg (Xϕ) ∀g ∈ G e ∀ϕ ∈ C∞ (G). Tra
le seguenti possibilità solo una non è incompatibile con i dati, individuarla:
(a) G è un gruppo non commutativo 2-dimensionale connesso ;
½µ
¶
¾
x x
(b) g è isomorfa alla sottoalgebra k =
: x, y ∈ R di gl(2, R);
y y
(c) G contiene un sottogruppo isomorfo al prodotto diretto R∗+ × SO(2);
µ 3
¶
µ 1
¶
1
− 21
2
3
2
2
2
(d) Exp(X) = e
e
Exp(Y
)
=
(e
+
e
)
.
1
− 12 12
− 12
2
Soluzione: La sottoalgebra h di g generata da X ed Y è abeliana per cui
Exp(X) ed Exp(Y ) commutano, mentre questo non succede per le matrici
date in (d). Inoltre il sottogruppo connesso H di G tale che Lie(H) = h
ha dimensione 2 e deve essere commutativo. Si osservi infine che k non è
un’algebra abeliana.
n
6. Nell campo Q5 dei numeri 5-adici si consideri la successione an =
Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica corretta:
3
5n+1 −1
4
o
n∈N
.
(a) {an }n∈N non è convergente;
(b) {an }n∈N converge ad 1;
(c) {an }n∈N converge a 0;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false;
ª
©
Soluzione: Poiché la successione 5n+1 n∈N tende a 0, è subito visto che
il limite della successione {an }n∈N è − 14 .
4
