Le torri di Hanoi: Su una di tre aste sono posti n dischi di diame

Le torri di Hanoi: Su una di tre aste sono posti n dischi di diametro crescente dal basso verso l’alto e bisogna spostare gli n dischi
su un’altra asta, in modo che assumano la stessa disposizione
secondo le seguenti regole:
1) i dischi vanno spostati uno per volta
2) un disco di diametro minore non va mai posto sotto un disco
di diametro maggiore.
Il problema è quello di capire qual è il numero minimo di mosse
da fare per spostare i dischi da un’asta ad un’altra. Si ottiene la
formula ricorsiva:

a = 1
1
an = 2a
n−1 + 1.
I numeri di Fibonacci:



F0 = 0
F1 = 1



Fn = Fn−1 + Fn−2.
Questa successione venne introdotta dal mercante italiano Fibonacci (Leonardo Pisano, 1180 circa - 1250) nel suo ”Liber
Abaci” come soluzione del problema delle coppie di conigli.
Esercizi 1. Utilizzando la 2a forma del principio di induzione
completa si dimostra la seguente proprietà dei numeri di Fibonacci:
∀k ∈ N∗, n ∈ N∗ Fn+k = Fk Fn+1 + Fk−1Fn.
2. Utilizzando la 1a forma del principio di induzione completa si
prova che due numeri di Fibonacci successivi sono coprimi, ossia
hanno massimo comun divisore 1.
Per le successioni definite per ricorrenza è sempre possibile individuare una formula chiusa, ovvero una formula che descriva
direttamente l’n-mo termine della successione. È ben noto che
an = |a · .{z
. . · a} .
n−volte
Inoltre, il fattoriale si era definito come:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1.
Si verifica facilmente che le due formule precedenti corrispondono
alle formule chiuse delle corrispondenti successioni definite per
ricorrenza; inoltre si vede facilmente che la formula chiusa per la
progressione aritmetica è:
an = a + nd
per la progressione geometrica:
an = a · dn.
Per quanto riguarda le torri di Hanoi, si può ricavare la formula
chiusa osservando:
an+1 = 2an + 1 = 2(2an−1 + 1) + 1 = 4an−1 + 2 + 1
= 4(2an−2 + 1) + 2 + 1 = 8an−2 + 4 + 2 + 1
= 8(2an−3 + 1) + 4 + 2 + 1 = 16an−3 + 8 + 4 + 2 + 1
= 16an−3 + 23 + 22 + 21 + 20
=
n
X
i=0
2i.
Esercizio Provare per induzione completa che
n
X
2i = 2n+1 − 1.
i=0
In conclusione la formula chiusa per la succesione relativa al gioco
delle torri di Hanoi è:
an+1 = 2n+1 − 1.
La formula chiusa per i numeri di Fibonacci è (senza verifica):
√ !n
√ !n!
1
1+ 5
1− 5
√
Fn =
.
−
2
2
5
√
Il numero Φ = 1+2 5 viene chiamato ”rapporto aureo” o ”proporzione divina”.
Definizione 1 Sia p ∈ Z∗, p 6= ±1. Si dice che p è primo se
(∀a, b ∈ Z) p | ab ⇒ (p |a ∨ p |b) .
Questa condizione si dimostra essere equivalente alla seguente:
(∀a, b ∈ Z) (p = ab ⇒ (a = ±1 ∨ b = ±1).
Teorema 2 (fondamentale dell’Aritmetica) Sia n ∈ Z∗, n 6=
±1. Allora esistono s numeri primi p1, . . . , ps e s interi naturali
h1, . . . , hs tali che
h
s
n = p11 · . . . · ph
s .
Questa decomposizione è essenzialmente unica, nel senso che
se q1, . . . , qr sono numeri primi distinti e k1, . . . , kr sono interi
k
naturali tali che n = q11 . . . qrkr , allora s = r ed inoltre si può
cambiare l’ordine dei fattori in modo che q1 = ±p1, . . . , qs = ±ps,
h1 = k1 , . . . , h s = ks .
METODI DI FATTORIZZAZIONE
1. CRIVELLO DI ERATOSTENE Per determinare i numeri
primi minori o uguali di un assegnato numero naturale m ≥ 4, si
scrive una tabella con tutti i numeri fino ad m e si comincia con
il cancellare i multipli di 2. Finita questa operazione, si eliminano
tutti i multipli del primo numero non cancellato, ovvero 3; dopo i
multipli di 5, che è il primo numero non cancellato, dopo 7, e cosı̀
√
via fino al più grande numero primo q minore o uguale di m.
√
Infatti se p è un numero primo più grande di m un suo multi√
plo tramite un numero primo più piccolo di m eventualmente
presente nella tabella è stato già scartato e inoltre p2 ≥ m.
Osservazione 3 Tra i fattori primi di un numero naturale (ci
si può sempre riferire a questo caso senza ledere la generalità)
√
n ≥ 4 c’è n’è almeno uno minore o uguale a n. Sia infatti
h
s
n = p11 · . . . · ph
s
la scomposizione di n in fattori primi: se fosse
√
√
p1 > n, . . . , ps > n,
allora sarebbe
h
s
n = p11 · . . . · ph
s >n
il che è una contraddizione.
Esempio Se si vuole fattorizzare il numero n = 4187, si considera
√
la sua radice n v 64, 707 e quindi si prendono in esame tutti i
numeri primi minori di 64. Come visto essi sono:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61.
Effettuando (se necessario) le divisioni con la calcolatrice si ottiene un eventuale primo fattore. Se non si trova nessun fattore,
il numero è irriducibile.
In queso caso si vede che n è divisibile per 53 e precisamente
n = 53 · 79.
METODO DI FATTORIZZAZIONE DI FERMAT
Osservazione 4 Si può supporre che il numero n ∈ N∗, n 6= ±1,
sia dispari. Si prova che:
(∃a, b ∈ N tali che n = ab) ⇐⇒ (∃x, y ∈ N tali che n = x2 − y 2).
Infatti se n = ab, allora si vede facilmente che
a+b 2
a−b 2
n=
−
,
2
2
dove a±b
2 ∈ N. Poichè n è dispari e quindi a e b sono dispari, la
loro somma, come la loro differenza,è pari. Il viceversa è ovvio.
Si osservi che quando n è primo si ha la fattorizzazione banale:
n+1
n−1
n+1 n−1
n=
+
·
−
= n · 1.
2
2
2
2
In virtù della Osservazione 4, cercare una fattorizzazione di n
equivale a cercare x tale che x2 − n sia un quadrato. Allora si
usa il seguente procedimento: si determina il più piccolo intero
√
positivo t ≥ n e si calcolano:
t2 − n;
(t + 1)2 − n;
(t + 2)2 − n; . . . . . .
e cosı̀ via, fino a che non si trova un quadrato.
√
Esempio n = 1183, n v 34, 39, t = 35 allora si ha:
t2 − n
(t + 1)2 − n
(t + 2)2 − n
(t + 3)2 − n
=
=
=
=
352 − 1183 = 1225 − 1183 = 42 non quadrato
362 − 1183 = 1296 − 1183 = 113
” ”
372 − 1183 = 1396 − 1183 = 186
” ”
382 − 1183 = 1444 − 1183 = 261
” ”
(t + 4)2 − n
(t + 5)2 − n
(t + 6)2 − n
(t + 7)2 − n
(t + 8)2 − n
(t + 9)2 − n
(t + 10)2 − n
(t + 11)2 − n
(t + 12)2 − n
(t + 13)2 − n
(t + 14)2 − n
(t + 15)2 − n
(t + 16)2 − n
(t + 17)2 − n
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
392 − 1183 = 1521 − 1183 = 338 non quadrato
402 − 1183 = 1600 − 1183 = 417
” ”
412 − 1183 = 1681 − 1183 = 498
” ”
422 − 1183 = 1764 − 1183 = 581
” ”
432 − 1183 = 1849 − 1183 = 646
” ”
442 − 1183 = 1936 − 1183 = 753
” ”
452 − 1183 = 2052 − 1183 = 842
” ”
462 − 1183 = 2116 − 1183 = 933
” ”
472 − 1183 = 2209 − 1183 = 1026 ” ”
482 − 1183 = 2304 − 1183 = 1121 ” ”
492 − 1183 = 2401 − 1183 = 1218 ” ”
502 − 1183 = 2500 − 1183 = 1317 ” ”
512 − 1183 = 1601 − 1183 = 1481 ” ”
522 − 1183 = 2704 − 1183 = 1521 = 392.
Quindi: 522 − 1183 = 392, cioè
1183 = 522 − 392 = (52 + 39)(52 − 39) = 91 · 13
Bisogna scomporre 91, per esempio iterando il procedimento di
√
Fermat: m = 91, 91 v 9, 53, k = 10,
k2 − 91 = 100 − 91 = 9 = 32.
Segue che
91 = 102 − 32 = (10 + 3)(10 − 3) = 13 · 7.
Allora
1183 = 132 · 7.