Teorema 1 (divisione in Z) Siano a, b ∈ Z, b = 0. Allora esistono e

Teorema 1 (divisione in Z) Siano a, b ∈ Z, b 6= 0. Allora esistono
e sono unici q, r ∈ Z tali che
1.
a = bq + r
2.
0 ≤ r < |b|.
Si dice che q è il quoziente ed r il resto della divisione di a per b.
Naturalmente si ha:
r=0
⇔
b|a.
Proposizione 2 Per ogni a, b, c ∈ Z∗ si ha:
⇒
a|(−b) ∧ −a|b ∧ −a|(−b)
1.
a|b
2.
a|b ∧ a|c
⇒
a|(b ± c)
3.
a|b ∧ b|c
⇒
a|c
4. a|b ∧ b|a
⇒
b = ±a.
Si verifichino le proprietà 1., 2., 3., 4. per esercizio.
Definizione 3 Siano a, b ∈ Z, a, b non entrambi nulli. Si dice
massimo comun divisore tra a e b un intero d ∈ Z tale che
• d|a
∧
d|b
• ∀d0 ∈ Z tale che d0|a
∧ d0|b si ha d0|d.
Si osservi che, per la Proposizione 2, se d è un massimo comun
divisore tra a e b lo è anche tra −a e b, tra a e −b, tra −a e −b.
Inoltre se uno dei due interi della definizione 3 è 0, per esempio
a = 0, allora b è massimo comun divisore tra a e b. Infatti b|b, b|0
e se d0 ∈ Z è tale che d0|a e d0|b, allora d0|b.
Teorema 4 Siano a, b ∈ Z∗. Allora sicuramente esiste un massimo comun divisore d tra a e b. Inoltre esistono due numeri
interi x0 e y0 tali che
d = ax0 + by0
(identità di Bézout).
Infine, l’unico altro massimo comun divisore è −d.
Quindi esiste un unico massimo comun divisore positivo tra a e
b che si indica con M.C.D.(a, b).
Cenno di dimostrazione (algoritmo delle divisioni successive):
a = bq1 + r1
0 ≤ r1 ≤ |b|
b = r1 q2 + r2
0 ≤ r2 ≤ r1
r1 = r2 q3 + r3
0 ≤ r3 ≤ r2
...
rn−3 = rn−2qn−1 + rn−1
rn−2 = rn−1qn
0 ≤ rn−1 ≤ rn−2
rn = 0
Definizione 5 Siano a, b ∈ Z∗. Si dice minimo comune multiplo
tra a e b un intero m ∈ Z tale che
• a|m
∧
b|m
• ∀m0 ∈ Z tale che a|m0
∧ b|m0 si ha m|m0.
Teorema 6 Siano a, b ∈ Z∗. Se d è un massimo comun divisore
tra a e b, allora ab
d è un minimo comune multiplo tra a e b.
Inoltre se m0 è un altro minimo comune multiplo tra a e b, allora
m0 = −m.
Quindi esiste un unico minimo comune multiplo positivo tra a e
b che si indica con m.c.m.(a, b).
Definizione 7 Si dice equazione Diofantea un’equazione in Z
nelle incognite x, y della forma
ax + by = c
dove a, b ∈ Z, a, b non entrambi nulli.
(1)
Teorema 8 Siano a, b, c ∈ Z, a, b non entrambi nulli e sia d =
M.C.D.(a, b). Allora si ha:
1. l’equazione Diofantea (1) ha soluzioni se e soltanto se d | c
(dimostrato a lezione)
2. se (1) ha soluzioni, allora, detta (x0, y0) una di esse e posto
ā = ad , b̄ = db , si ha che
(x0 + b̄h, y0 − āh),
h∈Z
sono tutte soluzioni di (1) (dimostrato a lezione).
3. le soluzioni di (1) sono soltanto di tipo (2).
(2)
Il principio d’induzione completa
1a forma Sia X(n0) = {x ∈ Z | x ≥ n0}. Si supponga che P (x)
sia una proprietà che ha senso ∀x ∈ X(n0). Se sono soddisfatte
le seguenti due condizioni:
1. P (n0) è vera
2. (∀n > n0, P (n) vera) ⇒ P (n + 1) vera
allora P (x) è vera ∀x ∈ X(n0)
2a forma
Si supponga che P (x) sia una proprietà che ha senso ∀x ∈ X(n0).
Se sono soddisfatte le seguenti due condizioni:
1. P (n0) è vera
2.
∀m ∈ X(n0), n0 ≤ m < n,
allora P (x) è vera ∀x ∈ X(n0).
P (m) vera ⇒ P (n) vera
Proprietà del buon ordinamento di Z
Sia X un sottoinsieme non vuoto di Z che ammette minoranti .
Allora esiste il minimo m0 ∈ X.
Osservazione 9 Si dimostra che il principio di induzione completa è equivalente alla proprietà del buon ordinamento di Z
Definizione 10 Sia A un insieme. Si dice successione di elementi
di A un’applicazione f : N → A. In generale si userà la notazione
an = f (n), n ∈ N.
Delle volte può essere conveniente definire ricorsivamente una
succesione:
1. si definisce il primo (o i primi) elementi della successione
2. definito l’elemento (n − 1)-mo, si definisce l’elemento n-mo,
(oppure, definiti tutti gli elementi precedenti si definisce l’n-mo).
Esempi

a0 = 1
∗
1. le potenze: per ogni a ∈ R, n ∈ N si pone:
an = an−1a
2. il fattoriale: per ogni n ∈ N

0! = 1
si pone:
n! = (n − 1)!n
3. la progressione aritmetica: per ogni a, d ∈ R, d 6= 0, n ∈ N∗
si pone:

a = a
0
an = a
n−1 + d
si osservi che ∀n ∈ N∗ la differenza tra an e an−1 è sempre d
4. la progressione geometrica: per ogni a, d ∈ R∗,
pone:

a = a
0
an = a
n ∈ N∗ si
n−1 · d
si osservi che ∀n ∈ N∗ il rapporto tra an e an−1 è sempre d
5. le torri di Hanoi: Su una di tre aste sono posti n dischi di
diametro crescente dal basso verso l’alto e bisogna spostare
gli n dischi su un’altra asta, in modo che assumano la stessa
disposizione secondo le seguenti regole:
1) i dischi vanno spostati uno per volta
2) un disco di diametro minore non va mai posto sotto un
disco di diametro maggiore.
Il problema è quello di capire qual è il numero minimo di
mosse da fare per spostare i dischi da un’asta ad un’altra.
Si ottiene cosı̀ la formula ricorsiva:

a = 1
1
an = 2a
6. i numeri di Fibonacci:
n−1 + 1.



a0 = 0
a1 = 1



an = an−1 + an−2.
Questa successione venne introdotta dal mercante italiano
Fibonacci (Leonardo Pisano, 1180 circa - 1250) nel suo
”Liber Abaci” come soluzione del problema delle coppie di
conigli.
Esercizi 1. Utilizzando la 2a forma del principio di induzione
completa si dimostra la seguente proprietà dei numeri di Fibonacci:
∀k ∈ N∗, n ∈ N∗ an+k = ak an+1 + ak−1an.
2. Utilizzando la 1a forma del principio di induzione completa si
prova che due numeri di Fibonacci successivi sono coprimi, ossia
hanno massimo comun divisore 1.
Per le successioni definite per ricorrenza è sempre possibile individuare una formula chiusa, ovvero una formula che descriva
direttamente l’n-mo termine della successione. È ben noto che
an = |a · .{z
. . · a} .
n−volte
Inoltre, il fattoriale si era definito come:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1.
Si verifica facilmente che le due formule precedenti corrispondono
alle formule chiuse delle corrispondenti successioni definite per
ricorrenza; inoltre si vede facilmente che la formula chiusa per la
progressione aritmetica è:
an = a + nd
per la progressione geometrica:
an = a · dn.
Per quanto riguarda le torri di Hanoi, si può ricavare la formula
chiusa osservando:
an+1 = 2an + 1 = 2(2an−1 + 1) + 1 = 4an−1 + 2 + 1
= 4(2an−2 + 1) + 2 + 1 = 8an−2 + 4 + 2 + 1
= 8(2an−3 + 1) + 4 + 2 + 1 = 16an−3 + 8 + 4 + 2 + 1
= 16an−3 + 23 + 22 + 21 + 20
=
n
X
i=0
2i.
Esercizio Provare per induzione completa che
n
X
2i = 2n+1 − 1.
i=0
In conclusione la formula chiusa per la succesione relativa al gioco
delle torri di Hanoi è:
an+1 = 2n+1 − 1.
La formula chiusa per i numeri di Fibonacci è (senza verifica):
√ !n
√ !n!
1
1+ 5
1− 5
√
an =
.
−
2
2
5
√
Il numero Φ = 1+2 5 viene chiamato ”rapporto aureo” o ”proporzione divina”.
Definizione 11 Sia p ∈ Z∗, p 6= ±1. Si dice che p è primo se
(∀a, b ∈ Z) p | ab ⇒ (p |a ∨ p |b) .
Questa condizione si dimostra essere equivalente alla seguente:
(∀a, b ∈ Z) (p = ab ⇒ (a = ±1 ∨ b = ±1).
Teorema 12 (fondamentale dell’Aritmetica) Sia n ∈ Z∗, n 6=
±1. Allora esistono s numeri primi p1, . . . , ps e s interi naturali
h1, . . . , hs tali che
h
s
n = p11 · . . . · ph
s .
Questa decomposizione è essenzialmente unica, nel senso che
se q1, . . . , qr sono numeri primi distinti e k1, . . . , kr sono interi
k
naturali tali che n = q11 . . . qrkr , allora s = r ed inoltre si può
cambiare l’ordine dei fattori in modo che q1 = ±p1, . . . , qs = ±ps,
h1 = k1 , . . . , h s = ks .
METODI DI FATTORIZZAZIONE
1. CRIVELLO DI ERATOSTENE Per determinare i numeri
primi minori o uguali di un assegnato numero naturale m ≥ 4, si
scrive una tabella con tutti i numeri fino ad m e si comincia con
il cancellare i multipli di 2. Finita questa operazione, si eliminano
tutti i multipli del primo numero non cancellato, ovvero 3; dopo i
multipli di 5, che è il primo numero non cancellato, dopo 7, e cosı̀
√
via fino al più grande numero primo q minore o uguale di m.
√
Infatti se p è un numero primo più grande di m un suo multi√
plo tramite un numero primo più piccolo di m eventualmente
presente nella tabella è stato già scartato e inoltre p2 ≥ m.
Osservazione 13 Tra i fattori primi di un numero naturale (ci
si può sempre riferire a questo caso senza ledere la generalità)
√
n ≥ 4 c’è n’è almeno uno minore o uguale a n. Sia infatti
h
s
n = p11 · . . . · ph
s
la scomposizione di n in fattori primi: se fosse
√
√
p1 > n, . . . , ps > n,
allora sarebbe
h
s
n = p11 · . . . · ph
s >n
il che è una contraddizione.
Esempio Se si vuole fattorizzare il numero n = 4187, si considera
√
la sua radice n v 64, 707 e quindi si prendono in esame tutti i
numeri primi minori di 64. Come visto essi sono:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61.
Effettuando (se necessario) le divisioni con la calcolatrice si ottiene un eventuale primo fattore. Se non si trova nessun fattore,
il numero è irriducibile.
In queso caso si vede che n è divisibile per 53 e precisamente
n = 53 · 79.
METODO DI FATTORIZZAZIONE DI FERMAT
Osservazione 14 Si può supporre che il numero n ∈ N∗, n 6= ±1,
sia dispari. Si prova che:
(∃a, b ∈ N tali che n = ab) ⇐⇒ (∃x, y ∈ N tali che n = x2 − y 2).
Infatti se n = ab, allora si vede facilmente che
a+b 2
a−b 2
n=
−
,
2
2
dove a±b
2 ∈ N. Poichè n è dispari e quindi a e b sono dispari, la
loro somma, come la loro differenza,è pari. Il viceversa è ovvio.
Si osservi che quando n è primo si ha la fattorizzazione banale:
n+1
n−1
n+1 n−1
n=
+
·
−
= n · 1.
2
2
2
2
In virtù della Osservazione 14, cercare una fattorizzazione di n
equivale a cercare x tale che x2 − n sia un quadrato. Allora si
usa il seguente procedimento: si determina il più piccolo intero
√
positivo t ≥ n e si calcolano:
t2 − n;
(t + 1)2 − n;
(t + 2)2 − n; . . . . . .
e cosı̀ via, fino a che non si trova un quadrato.
√
Esempio n = 1183, n v 34, 39, t = 35 allora si ha:
t2 − n
(t + 1)2 − n
(t + 2)2 − n
(t + 3)2 − n
=
=
=
=
352 − 1183 = 1225 − 1183 = 42 non quadrato
362 − 1183 = 1296 − 1183 = 113
” ”
372 − 1183 = 1396 − 1183 = 186
” ”
382 − 1183 = 1444 − 1183 = 261
” ”
(t + 4)2 − n
(t + 5)2 − n
(t + 6)2 − n
(t + 7)2 − n
(t + 8)2 − n
(t + 9)2 − n
(t + 10)2 − n
(t + 11)2 − n
(t + 12)2 − n
(t + 13)2 − n
(t + 14)2 − n
(t + 15)2 − n
(t + 16)2 − n
(t + 17)2 − n
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
392 − 1183 = 1521 − 1183 = 338 non quadrato
402 − 1183 = 1600 − 1183 = 417
” ”
412 − 1183 = 1681 − 1183 = 498
” ”
422 − 1183 = 1764 − 1183 = 581
” ”
432 − 1183 = 1849 − 1183 = 646
” ”
442 − 1183 = 1936 − 1183 = 753
” ”
452 − 1183 = 2052 − 1183 = 842
” ”
462 − 1183 = 2116 − 1183 = 933
” ”
472 − 1183 = 2209 − 1183 = 1026 ” ”
482 − 1183 = 2304 − 1183 = 1121 ” ”
492 − 1183 = 2401 − 1183 = 1218 ” ”
502 − 1183 = 2500 − 1183 = 1317 ” ”
512 − 1183 = 1601 − 1183 = 1481 ” ”
522 − 1183 = 2704 − 1183 = 1521 = 392.
Quindi: 522 − 1183 = 392, cioè
1183 = 522 − 392 = (52 + 39)(52 − 39) = 91 · 13
Bisogna scomporre 91, per esempio iterando il procedimento di
√
Fermat: m = 91, 91 v 9, 53, k = 10,
k2 − 91 = 100 − 91 = 9 = 32.
Segue che
91 = 102 − 32 = (10 + 3)(10 − 3) = 13 · 7.
Allora
1183 = 132 · 7.
Teorema 15 Sia n ∈ N∗, n 6= 1. Allora ∀a ∈ N, ∃|r0, . . . , rh ∈ N
tali che
a = rhnh + rh−1nh−1 + · · · + r1n + r0.
Cenno di dimostrazione.
Si eseguono le seguenti divisioni fino a quando il quoziente è
zero:
a = q0 n + r0 ,
r0 < n
q0 = q1 n + r1 ,
r1 < n
q1 = q2 n + r2 .
r2 < n
...
qh−2 = qh−1n + rh−1 rh−1 < n
qh−1 = 0n + rh
rh < n
e quindi
a = q0n + r0 = (q1n + r1)n + r0 = q1n2 + r1n + r0
= (q2n + r2)n2 + r1n + r0 = q2n3 + r2n2 + r1n + r0
= · · · = rhnh + rh−1nh−1 + · · · + r1n + r0.
Si scrive;
a = rhrh−1 . . . r1r0.
CRITERI DI DIVISIBILITÀ
Osservazione 16 Siano a, b ∈ Z, n ∈ N∗, n 6= 1. Allora vale la
seguente implicazione:
(a ≡ b (mod n)) ⇒ (n | a ⇔ n | b).
(Verificata a lezione)
È ben noto che un numero naturale
a = rhrh−1 . . . r1r0 = rh10h + rh−110h−1 . . . r110 + r0 ∈ N∗ (3)
è divisibile per 2 se e solo se r0 è pari, è divisibile per 5 se e solo
se r0 è uguale a 5 oppure a 0, è divisibile per 10 se e solo se r0
è 0. Infatti
a − r0 = 10(rh10h−1 + rh−110h−2 . . . r1)
e quindi per l’Osservazione 16 si hanno i suddetti criteri di divisibilità.
Poichè 10 ≡ 1 (mod 3), anche 10k ≡ 1k ≡ 1 (mod 3) e quindi
a ≡ rh + rh−1 + · · · + r0 (mod 3),
da cui, sempre per l’Osservazione 16 si ricava il noto criterio di
divisibilità per 3:
3 | a ⇔ 3 | rh + rh−1 + · · · + r0.
Analogamente si ottiene il criterio di divisibilità per 9, osservando
che 10 ≡ 1 (mod 9).
Infine, si osserva che 10 ≡ −1 (mod 11) e quindi
10k ≡ (−1)k (mod 11),
cioè
10k ≡

1
−1
(mod 11) se k è pari
(mod 11) se k è dispari.
Allora usando la (3), e l’Osservazione 16 si ha
a ≡ rh(−1)h + rh−1(−1)h−1 + · · · + r1(−1) + r0(−1)0 (mod 11),
cioè
11 |a ⇔ 11 | rh(−1)h + rh−1(−1)h−1 + · · · + r1(−1) + r0(−1)0.
Per esempio 11 | 939115309 perchè 9−3+9−1+1−5+3−0+9 =
22 che è un multiplo di 11.