Si introducono ricorsivamente anche i numeri di Fibonacci:
a0 = 0
a1 = 1
an = an−1 + an−2.
Questa successione venne introdotta dal mercante italiano Fibonacci (Leonardo Pisano, 1180 circa - 1250) nel suo ”Liber
Abaci” come soluzione del problema delle coppie di conigli.
Esercizi 1. Utilizzando la 2a forma del principio di induzione
completa si dimostra la seguente proprietà dei numeri di Fibonacci:
∀k ∈ N∗, n ∈ N∗ an+k = ak an+1 + ak−1an.
2. Utilizzando la 1a forma del principio di induzione completa si
prova che due numeri di Fibonacci successivi sono coprimi, ossia
hanno massimo comun divisore 1.
Per le successioni definite per ricorrenza è sempre possibile individuare una formula chiusa, ovvero una formula che descriva
direttamente l’n-mo termine della successione. È evidente che
an = |a · .{z
. . · a} .
n−volte
Inoltre, il fattoriale era già stato introdotto come:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1.
Si vede facilmente che la formula chiusa per la progressione aritmetica è:
an = a + nd
per la progressione geometrica:
an = a · dn.
Per quanto riguarda le torri di Hanoi, si può ricavare la formula
chiusa osservando:
an+1 = 2an + 1 = 2(2an−1 + 1) + 1 = 4an−1 + 2 + 1
= 4(2an−2 + 1) + 2 + 1 = 8an−2 + 4 + 2 + 1
= 8(2an−3 + 1) + 4 + 2 + 1 = 16an−3 + 8 + 4 + 2 + 1
= 16an−3 + 23 + 22 + 21 + 20
=
n
X
i=0
2i.
Esercizio Provare per induzione completa che
n
X
2i = 2n+1 − 1.
i=0
In conclusione la formula chiusa per la succesione relativa al gioco
delle torri di Hanoi è:
an+1 = 2n+1 − 1.
La formula chiusa per i numeri di Fibonacci è (senza verifica):
√ !n
√ !n!
1
1+ 5
1− 5
√
an =
.
−
2
2
5
√
Il numero Φ = 1+2 5 viene chiamato ”rapporto aureo” o ”proporzione divina”.
Proposizione 1 Sia n ∈ N, n 6= 1. La relazione
Rn = {(a, b) ∈ Z × Z | n | a − b}
è una relazione di equivalenza su Z (verificato a lezione).
Definizione 2 La relazione di equivalenza Rn si dice congruenza
modulo n.
Notazione Per ogni a, b ∈ Z, invece che (a, b) ∈ Rn si scrive
a ≡ b(modn)
e si legge ”a congruo b modulo n”.
Teorema 3 L’insieme quoziente di Z per Rn ha esattamente n
elementi, cioè:
Z/Rn = {[0]n, [1]n, . . . , [n − 1]n},
dove [x]n indica la classe di equivalenza di x ∈ Z (dimostrato a
lezione).
L’insieme quoziente di Z per Rn si chiama insieme dei resti modulo n e si indica con il simbolo Zn.
Definizione 4 Siano a, b ∈ Z, a 6= 0, n ∈ N∗, n 6= 1. Si dice
congruenza lineare l’espressione
ax ≡ b (mod n).
(1)
Si dice soluzione di (1) ogni intero x0 tale che ax0 ≡ b (mod n).
Teorema 5 1. La congruenza lineare (1) ammette soluzioni se
e solo se M.C.D.(a, n)|b.
2. Se x0 è una soluzione di (1), posto d = M.C.D.(a, n), n̄ = nd ,
tutte le altre soluzioni di (1) sono x0 + kn̄, k ∈ Z (i primi 2 punti
verificati a lezione).
3. Infine ci sono esattamente d soluzioni non congrue tra loro
mod n, cioè x0, x0 + n̄, . . . , x0 + (d − 1)n̄.
