NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL`ARITMETICA

NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA
Definizione 1. Sia p ∈ Z∗ , p 6= ±1. Si dice che p è primo se
(∀a, b ∈ Z) (p | ab =⇒ (p | a ∨ p | b).
Teorema 1. Sia p ∈ Z∗ , p 6= ±1. Allora p è primo se e solo se
(∀a, b ∈ Z) (p = ab =⇒ (a = ±1 ∨ b = ±1).
Osservazione 1. Sia p ∈ Z∗ , p 6= ±1. Allora dal precedente teorema discende subito
che p è primo se e solo se
(∀a ∈ Z∗ ) (a |p =⇒ (a = ±1 ∨ a = ±p).
Proposizione 1. Esistono infiniti numeri primi.
Si supponga per assurdo che esistano soltanto h numeri primi p1 , p2 , . . . , ph ∈ N∗ . Allora
q = p1 · p2 · . . . · ph non è un numero primo e non lo è neppure q + 1, perché q + 1 non
può essere un divisore di q ed è pertanto diverso da ogni pi , i = 1, . . . , h. Quindi esiste
j = 1, . . . , h tale che pj |(q + 1). Però risulta anche pj |q e quindi pj |(q + 1 − q), ovvero
pj |1, e quindi pj = 1, il che non può succedere, poichè i numeri primi sono diversi da 1.
Teorema fondamentale dell’Aritmetica
∗
Sia n ∈ Z , n 6= ±1. Allora esistono s numeri primi p1 , . . . , ps e s interi naturali
h1 , . . . , hs tali che
n = ph1 1 · . . . · phs s .
Questa decomposizione è essenzialmente unica, nel senso che se q1 , . . . , qr sono numeri
primi e k1 , . . . , kr sono interi positivi tali che
n = q1k1 . . . qrkr
allora s = r ed inoltre si può cambiare l’ordine dei fattori in modo che q1 = ±p1 , . . . , qs =
±ps , h1 = k1 , . . . , hs = ks .
Osservazione 2. Siano n, m ∈ Z − {0, ±1}. Allora esistono p1 , . . . , ps numeri primi,
h1 , . . . , hs , k1 , . . . , ks ∈ N tali che
n = ph1 1 · · · phs s ,
m = pk11 · · · pks s ;
cioè i due numeri possono essere fattorizzati usando gli stessi fattori primi, eventualmente
elevati a potenza 0. Per esempio,
945 = 20 · 33 · 5 · 7 · 110 · 170 ,
3366 = 2 · 32 · 50 · 70 · 11 · 17.
Si può provare che
min(h1 ,k1 )
M.C.D.(n, m) = p1
max(h1 ,k1 )
m.c.m.(n, m) = p1
s ,ks )
· · · pmin(h
,
s
s ,ks )
· · · pmax(h
.
s
Nel caso considerato:
M.C.D.(945, 3366) = 2min(0,1) · 3min(3,2) · 5min(1,0) · 7min(1,0) · 11min(0,1) · 17min(0,1) ,
quindi M.C.D.(945, 3366) = 32 = 18. Inoltre
m.c.m.(945, 3366) = 2max(0,1) · 3max(3,2) · 5max(1,0) · 7max(1,0) · 11max(0,1) · 17max(0,1) ,
per cui m.c.m.(945, 3366) = 2 · 33 · 5 · 7 · 11 · 17 = 353430.
1
2
METODI DI FATTORIZZAZIONE
CRIV ELLO DI ERAT OST EN E
Per determinare i numeri primi minori o uguali di un assegnato numero naturale n ≥ 4,
si scrive una tabella con tutti i numeri fino ad n e si comincia con il cancellare i multipli
di 2. Finita questa operazione, si eliminano tutti i multipli del primo numero non
cancellato, ovvero 3; dopo i multipli di 5, che è il primo numero non cancellato,
dopo 7,
√
n.
Infatti
se
e cosı̀ via e ci si può fermare al più grande
numero
primo
q
più
piccolo
di
√
p è un numero
primo
più
grande
di
n
un
suo
multiplo
tramite
un
numero
primo
più
√
piccolo di n eventualmente presente nella tabella è stato già scartato e già p2 > n.
Osservazione 3. Tra i fattori primi di un numero naturale n non primo (ci si può
sempre riferire a un√
numero positivo senza ledere la generalità) n ≥ 4 ce n’è almeno uno
minore o uguale di n. Sia infatti
n = ph1 1 · . . . · phs s
la scomposizione di n in fattori primi. Se fosse
√
√
p1 > n, . . . , ps > n,
allora sarebbe
n = ph1 1 · . . . · phs s > n
il che è una contraddizione.
Esempio 1. Se si vuole fattorizzare il numero n = 4187, si considera la sua radice
√
n v 64, 707 e quindi si prendono in esame tutti i numeri primi minori di 64: essi sono:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61.
Effettuando (se necessario) le divisioni con la calcolatrice si ottiene un eventuale primo
fattore. Se non si trova nessun fattore, il numero è irriducibile.
In queso caso si vede che n è divisibile per 53 e precisamente n = 53 · 79.
M ET ODO DI F AT T ORIZZAZION E DI F ERM AT
Osservazione 4. Si supponga di voler fattorizzare n ∈ N∗ , n 6= ±1. Si può ammettere
che n sia dispari: se n fosse pari, si potrebbe dividere per 2 anche più volte, fino ad
ottenenere un numero dispari. Si prova che:
(∃a, b ∈ N tali che n = ab) ⇐⇒ (∃x, y ∈ N tali che n = x2 − y 2 ).
Infatti se n = ab, allora, sviluppando i calcoli, si vede facilmente che
a+b 2
a−b 2
n=
−
,
2
2
dove a±b
2 ∈ N, poichè n è dispari e quindi a e b sono dispari, e la loro somma, come la
loro differenza,è pari. Il viceversa è ovvio, perchè x2 − y 2 = (x + y) · (x − y), per cui
basta porre a = x + y, b = x − y e si ha n = ab. Anche quando n è primo si ha la
fattorizzazione banale:
n+1 n−1
n+1 n−1
n=
+
·
−
= n · 1.
2
2
2
2
In virtù della Osservazione 4, cercare una fattorizzazione di n equivale a cercare x tale
2 ). Allora si usa il seguente procedimento: si determina
che x2 −n sia un quadrato (cioè y√
il più piccolo intero positivo t ≥ n e si calcolano
t2 − n; (t + 1)2 − n; (t + 2)2 − n; . . . . . .
e cosı̀ via, finché si trova un quadrato.
3
Esempio 2. n = 1183,
√
n v 34, 39, t = 35 allora si ha:
t2 − n = 352 − 1183 = 1225 − 1183 = 42 non quadrato
(t + 1)2 − n = 362 − 1183 = 1296 − 1183 = 113 ” ”
(t + 2)2 − n = 372 − 1183 = 1369 − 1183 = 186
”
”
2
2
”
”
2
2
(t + 4) − n = 39 − 1183 = 1521 − 1183 = 338
”
”
(t + 5)2 − n = 402 − 1183 = 1600 − 1183 = 417
(t + 3) − n = 38 − 1183 = 1444 − 1183 = 261
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
”
2
2
”
2
2
(t + 6) − n = 41 − 1183 = 1681 − 1183 = 498
(t + 7) − n = 42 − 1183 = 1764 − 1183 = 581
(t + 8) − n = 43 − 1183 = 1849 − 1183 = 646
(t + 9) − n = 44 − 1183 = 1936 − 1183 = 753
(t + 10) − n = 45 − 1183 = 2052 − 1183 = 842
(t + 11) − n = 46 − 1183 = 2116 − 1183 = 933
(t + 12) − n = 47 − 1183 = 2209 − 1183 = 1026
(t + 13) − n = 48 − 1183 = 2304 − 1183 = 1121
(t + 14) − n = 49 − 1183 = 2401 − 1183 = 1218
(t + 15) − n = 50 − 1183 = 2500 − 1183 = 1317
(t + 16) − n = 51 − 1183 = 1601 − 1183 = 1481
”
2
(t + 17) − n = 52 − 1183 = 2704 − 1183 = 1521 = 39 .
Quindi: 522 − 1183 = 392 , cioè
1183 = 522 − 392 = (52 + 39)(52 − 39) = 91 · 13
Bisogna scomporre 91, per esempio iterando il procedimento di Fermat: m = 91,
9, 53, k = 10,
k 2 − 91 = 100 − 91 = 9 = 32 .
√
91 v
Segue che
91 = 102 − 32 = (10 + 3)(10 − 3) = 13 · 7.
Allora
1183 = 132 · 7.
Il procedimento di Fermat è un algoritmo, ovvero ha sempre una conclusione (anche se
non si sa a priori qual è il numero dei passaggi da effettuare); nel caso in cui il numero
2
n è primo, si conclude con il quadrato ( n+1
2 ) − n.
P ICCOLO T EOREM A DI F ERM AT − T EOREM A DI EU LERO
Lemma 1. Siano a, b, c, d ∈ Z, k, n ∈ N, n 6= 0, n 6= 1. Si ha:
(1) (a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)) ⇒ a + c ≡ b + d (mod n)
(2) (a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)) ⇒ ac ≡ b (mod n)
(3) a ≡ b (mod n) ⇒ ak ≡ bk (mod n)
Dimostrazione. Da (a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)) segue (n | (a − b) ∧ n | (c − d).)
Allora n | a−b+c−d, ovvero a | (a+c)−(b+d) e ciò vuol dire che a+c ≡ b+d (mod n),
per cui (1) è provata.
Poichè (a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)), esistono h, k ∈ Z tali che a − b = nh e c − d = nk.
Allora (a − b)c = nhc e (c − d)b = nkb. Sommando ac − bc + cb − db = nhc + nkb, da
cui ac − bd = n(hc + kb) e pertanto n | ac − bd, ovvero ac ≡ b (mod n), e (2) risulta
verificata.
4
Per provare (3) si procede per induzione completa. Per k = 0, certamente a0 ≡
b0 (mod n) è verificato poiché a0 = b0 = 1 e la congruenza modulo n è riflessiva. Si suppone ora che a ≡ b (mod n) e ak ≡ bk (mod n) e si deve provare che ak+1 ≡ bk+1 (mod n):
ma basta ricordare che per ogni numero intero non nullo x, risulta xk+1 = xk · x e usare
(2).
Osservazione 5. Siano a, b ∈ Z. Si osservi che, se a ≡ b (mod n), allora, tenendo
presente che b ≡ b (mod n) e usando (2) del Lemma 1, si ha a − b ≡ 0 (mod n).
Proposizione 2. Siano x, y ∈ Z, p ∈ N, p primo. Allora
(x + y)p ≡ xp + y p (mod p).
La dimostrazione viene omessa.
Teorema 2. (Piccolo teorema di Fermat) Siano a ∈ Z, p ∈ N un numero primo. Allora
(1)
ap ≡ a (mod p).
Dimostrazione. Si suppone in un primo momento che sia a ≥ 0 e si procede per
induzione completa su a. Per a = 0, ap = 0 e (1) diviene 0 ≡ 0 (mod p), ovviamente
vera. Si suppone che (1) sia vera e si prova (a + 1)p ≡ a + 1 (mod p). Per la Proposizione
2, la proprietà transitiva della congruenza modulo n e l’ipotesi di induzione risulta:
(a + 1)p ≡ ap + 1p ≡ a + 1 (mod p).
quindi (1) è verificata quando a ≥ 0. Se a < 0, allora −a > 0 e quindi (−a)p ≡
(−a) (mod p). Usando nuovamente la Proposizione 2, la proprietà transitiva della congruenza modulo n e l’ipotesi di induzione, si ha:
0 = (a + (−a))p ≡ ap + (−a)p ≡ ap + (−a) (mod p).
Pertanto ap + (−a) ≡ 0 (mod p) da cui, per l’Osservazione 5, ap ≡ a (mod p).
Corollario 1. Siano a ∈ Z, p ∈ N un numero primo. Se M.C.D.(a, p) = 1 allora
ap−1 ≡ 1(mod p).
Dimostrazione. Poiché p | ap − a, ovvero p | a(ap−1 − 1), certamente p | ap−1 − 1,
essendo p primo e non potendo essere un divisore di a, per ipotesi.
Esercizio 1. Determinare il resto della divisione di 89741527 per 3.
Si osserva che
89741 ≡ 2(mod 3)
e quindi
89741527 ≡ 2527 (mod 3).
Per il corollario, poichè M.C.D.(2, 3) = 1, si ha 23−1 ≡ 1(mod 3) (in questo caso è banale)
e pertanto
89741527 ≡ 2527 = (22 )263 · 2 ≡ 1263 · 2 = 2(mod 3)
per cui il resto è 2.
Esercizio 2. Determinare il resto della divisione di 574321142 per 9.
Si osserva che
57432 ≡ 3(mod 9)
e quindi
574321142 ≡ 31142 ≡ (32 )571 ≡ 0571 ≡ 0(mod 9).
Definizione 2. Si dice funzione di Eulero l’applicazione
ϕ : N − {0, 1} → N
tale che ∀n ∈ N − {0, 1}, ϕ(n)=numero dei numeri minori di n e primi con n.
5
Osservazione 6. È ovvio che per ogni numero primo p
ϕ(p) = p − 1
Proposizione 3. La funzione di Eulero è moltiplicativa, cioè
∀n, m ∈ N − {0, 1}, n > 1, m > 1 tali che M.C.D.(n, m) = 1,
ϕ(n · m) = ϕ(n) · ϕ(m).
Proposizione 4. Sia p un numero primo. Allora
ϕ(ph ) = ph − ph−1 .
Proposizione 5. Sia n ∈ N − {0, 1}, e sia n = ph1 1 · . . . · phs s la sua fattorizzazione in
numeri primi. Allora
ϕ(n) = ϕ(ph1 1 ) · . . . · ϕ(phs s ).
Siano a ∈
Z∗ ,
TEOREMA DI EULERO
n ∈ N − {0, 1}, con M.C.D.(a, n) = 1. Allora
aϕ(n) ≡ 1(mod n).
La dimostrazione viene omessa.
Esercizio 3. Determinare il resto della divisione di 190597 per 17.
Bisogna esprimere 190597 (mod 17). Si osserva prima che
190 ≡ 3(mod 17).
Inoltre, è noto che ap−1 ≡ 1(mod p), se M.C.D.(a, p) = 1. Quindi nel caso in esame
316 ≡ 1(mod 17).
Allora
3597 = (316 )37 · 35 ≡ 137 · 35 = 35 (mod 17).
Si vede facilmente che 35 = 238 ≡ 5(mod 17), e quindi il resto è 5.
Esercizio 4. Determinare le ultime due cifre del numero 523321 .
Si deve ridurre 523321 (mod 100). Si osserva che
523 ≡ 23(mod 100)
e quindi
523321 ≡ 23321 (mod 100).
Poichè M.C.D.(23, 100) = 1, si può usare il teorema di Eulero, secondo il quale
23ϕ(100) ≡ 1(mod 100).
(2)
Per le proprietà della funzione di Eulero si ha
ϕ(100) = ϕ(52 )ϕ(22 ) = (52 − 5) · (22 − 2) = 20 · 2 = 40
pertanto (2) diventa
2340 ≡ 1(mod 100).
D’altra parte 321 = 40 · 8 + 1 e quindi
23321 = (2340 )8 · 23 ≡ 18 · 23 = 23(mod 100)
In conclusione 523321 ≡ 23(mod 100).
6
Esercizio 5. Determinare le ultime 3 cifre del numero 17331 .
Per determinare le ultime 3 cifre del numero 17331 , bisogna ridurlo (mod 1000). Si può
osservare che ϕ(1000) = 400 e che l’esponente è 31 < 400, per cui non si può usare il
teorema di Eulero. Potrebbe essere conveniente trovare la quarta potenza di 173, in
modo da avere:
17331 = 17328+3 = 17328 · 1733 = (1734 )7 · 1733 = (895.745.041)7 · 5.177.717.
Ma 895.745.041 ≡ 41(mod 1000), 5.177.717 ≡ 717 (mod 1000) per cui, usando compatibilità delle congruenze (mod n) (n ∈ N∗ ) con il prodotto e la proprietà seguente:
∀a, a0 , b ∈ Z, a ≡ a0 (mod n) ⇒ ab ≡ a0 b (mod n)
si ottiene (895.745.041)7 · 5.177.717 ≡ (41)7 · 717 (mod 1000). D’altra parte, 416 =
4.750.104.241 ≡ 241 (mod 1000), per cui
17331 ≡ (41)7 · 717 ≡ 241 · 41 · 717 (mod1000).
A questo punto, poichè 241 · 41 · 717 = 7.084.677 ≡ 677 (mod 1000), le ultime 3 cifre
di 17331 sono 677. Si osservi che, naturalmente, si può procedere in modo diverso, per
esempio partendo dalla terza potenza di 173; si consiglia di rifare l’esercizio seguendo
questa strada.