I numeri congrui
Uno dei problemi proposti da Giovanni da Palermo a Fibonacci alla
corte di Federico II di Svevia è un problema aritmetico indeterminato:
si richiede di trovare un quadrato perfetto tale che, se gli si aggiunge
o toglie 5, si ottenga in entrambi i casi un quadrato perfetto. Nel
moderno simbolismo esso si traduce nel seguente sistema di due
equazioni, di cui si ricercano le soluzioni intere:
x2 + 5 = y2
x2 - 5 = z2
Fibonacci, nel suo Liber quadratorum, risolve questo problema in
una forma più generale, in cui il numero 5 è sostituito da un numero
intero qualunque C, detto numero congruo:
x2 + C = y2
x2 - C = z2
Il numero x2 è invece detto quadrato congruente.
Il metodo risolutivo proposto da Fibonacci è il seguente. Prima
vengono sommate le due equazioni, e si ottiene:
2x2 = y2 + z2.
Quindi si effettuano le sostituzioni
y=u+v
e z = u – v,
dopo di che l’equazione diventa:
x2 = u2 + v2.
Le sue soluzioni intere sono le terne pitagoriche, che sono date, al
variare degli interi positivi a,b, a<b, dalle formule:
x = a2+ b2,
u = 2ab, v = b2 – a2.
Fibonacci suppone che a e b siano relativamente primi, e distingue
due casi:
Se a e b sono entrambi dispari, un numero congruo è
C= ab(b-a)(a+b),
ed il corrispondente quadrato congruente è
x2 = (a2 + b2) 2/4
Se a e b sono uno pari e l’altro dispari, un numero congruo è
C= 4ab(b-a)(a+b),
ed il corrispondente quadrato congruente è
x2 = (a2 + b2)
2
Ad esempio, per a = 1 e b = 9, Fibonacci trova
C = 720
e x = 41.
