Variabili di stato

Lezione 7 – Variabili di stato
Lezione n.7
Variabili di stato
1.
2.
3.
Variabili di stato
Funzione impulsiva di Dirac
Generatori impulsivi per variabili di stato discontinue
3.1 Condizioni iniziali e generatori impulsivi
In questa lezione introdurremo le variabili di stato e le loro proprietà.
Scopriremo che le variabili di stato devono essere funzioni continue e
che possono presentare discontinuità di prima specie solo in
corrispondenza di eventuali impulsi di Dirac presenti nel circuito grazie
alla presenza di generatori impulsivi. In questa lezione introdurremo la
funzione di Dirac e faremo vedere come un generatore impulsivo possa
caricare istantaneamente un elemento dinamico di un circuito.
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Lezione 7 – Variabili di stato
1. Variabili di stato
Un circuito elettrico contenente elementi passivi lineari può essere visto come un
sistema lineare. I sistemi lineari sono caratterizzati da grandezze di ingresso,
grandezze di stato e grandezze di uscita.
Circuito lineare passivo
Generatori
(ingresso)
(variabili di stato)
Qualsiasi tensione o
corrente del circuito
(uscita)
condizioni iniziali
delle variabili di stato
Fig.1 – Sistema ingresso- stato-uscita.
Le grandezze di ingresso sono le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei
generatori di correnti presenti nel circuito. Le grandezze di uscita possono essere
qualsiasi grandezza presente nel circuito comprese le variabili di stato. Le variabili di
stato, che sono la tensione sui condensatori e la corrente negli induttori, tra tutte le
grandezze del circuito, hanno un ruolo “privilegiato” in quanto rappresentano la
memoria del circuito. La conoscenza di tali variabili ci consente di risalire a tutte le
altre grandezze presenti nel sistema.
Le variabili di stato devono essere funzioni continue.
Questo fatto dipende dalla natura del sistema fisico. Quando costruiamo il modello
che descrive il circuito dobbiamo stare attenti che vengano soddisfatte alcune
condizioni di funzionamento. Una tra queste è la continuità delle funzioni che
rappresentano la tensione sui condensatori e la corrente negli induttori. Vediamo
perché. Consideriamo la potenza assorbita da un condensatore
p (t ) = v(t )i (t ) = v(t )C
dv(t ) 1 dv 2 (t )
= C
,
dt
2
dt
(1)
o quella in un induttore
di(t )
1 di 2 (t )
p (t ) = v(t )i(t ) = L
i (t ) = L
.
dt
2
dt
(2)
La potenza in gioco nel nostro sistema fisico deve necessariamente essere limitata. In
particolare la potenza assorbita da un condensatore o da un induttore può assumere
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Lezione 7 – Variabili di stato
qualsiasi segno e qualsiasi valore purchè limitato. Osservando le relazioni (1) e (2) ne
ricaviamo che affinché questa condizione sia soddisfatta la tensione nel condensatore
e la corrente nell’induttore devono essere funzioni continue. Ricordiamo infatti che
affinché una funzione sia derivabile e abbia derivata limitata deve essere continua.
Poniamoci questa domanda: nel nostro modello possiamo prevedere la possibilità di
avere variabili di stato discontinue ammettendo in questo caso di descrivere un
sistema fisico che si comporta in modo “estremo”? La risposta è affermativa: basta
introdurre nel nostro circuito dei generatori ideali di tensione e corrente impulsivi.
Generatori, cioè, capaci di generare in un istante rispettivamente tensione e corrente
illimitata. L’estremizzazione consiste nel fatto che nella realtà non è possibile
disporre di tali generatori, tuttavia tenerne conto ci agevola nella trattazione del
nostro modello come vedremo meglio nel seguito. Se ammettiamo l’esistenza di
generatori impulsivi vuol dire che ammettiamo l’esistenza di potenze illimitate e
dunque l’esistenza di discontinuità delle variabili di stato.
Riassumiamo quanto detto nello schema di Fig.2.
Circuito
Variabili di stato
Senza generatori
impulsivi
Continue
Con
generatori
impulsivi
Corrente nei condensatori
Tensione su induttori
Altre grandezze
Eventualmente discontinue
Eventualmente
discontinue
Discontinue
Impulsive
Discontinue o impulsive
Continue
Eventualmente discontinue
Continue, discontinue o
impulsive
Fig.2 – Schema riassunto delle proprietà di continuità delle grandezze in un circuito.
Abbiamo parlato di funzioni discontinue e funzioni impulsive. Formalizziamo cosa
intendiamo con questi termini.
2. La funzione impulsiva di Dirac
Una funzione che in un punto t* non è dotata di limite ma è dotata, in quel punto, di
limite destro e limite sinistro entrambi finiti, viene detta discontinua nel punto t*. Più
precisamente si dice che in quel punto essa presenta una discontinuità di prima specie
(vedi Fig. 3).
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v(t)
t
t*
Fig.3 – Esempio di funzione con discontinuità di prima specie in t*.
Una tale funzione non è derivabile nell’ambito delle funzioni ordinarie nel punto t*.
Per rendere una funzione con discontinuità di prima specie derivabile in tutto il suo
dominio dobbiamo introdurre le distribuzioni e la derivata nel senso delle
distribuzioni. Delle distribuzioni ci interessa solo sapere che vengono intese come un
ampliamento dell’insieme delle funzioni ordinarie affinché sia sempre possibile
applicare l’operatore di derivata a qualsiasi funzione anche nei suoi punti di
discontinuità.
u(t)
t
Fig. 4 – Funzione gradino unitario.
Introduciamo adesso due funzioni di notevole importanza per la nostra trattazione. La
funzione gradino unitario (vedi Fig. 4)
0 per t < 0
u (t ) = 
1 per t > 0
(3)
e la funzione impulso rettangolare (vedi Fig. 5)
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1

Π (t ) =  ∆
0

per
per
∆
∆
<t <+
2
2
∆
∆
t<− ; t>+
2
2
−
(4)
Π∆(t)
1/∆
−∆/2
∆/2
t
Fig. 5 – Funzione impulso rettangolare centrata nell’origine.
L’impulso rettangolare lo utilizziamo per introdurre la funzione impulsiva di Dirac o
funzione impulsiva. Se consideriamo l’area del rettangolo individuato dall’impulso
rettangolare Π ∆ (t ) verifichiamo che questa è uguale a 1. Infatti si ha che
+∞
∫ Π ∆ (t )dt = 1 .
(5)
−∞
Osserviamo che il valore dell’integrale (5) è indipendente dal valore particolare che
assume il parametro ∆ . E’ facile verificare che se ∆ diminuisce, la base dell’impulso
rettangolare diminuisce mentre la sua altezza aumenta in modo tale che l’area
dell’impulso rettangolare rimane invariata. In tal caso si ha:
+∞
lim ∫ Π ∆ (t )dt =
∆→0 −∞
+∞
∫
lim Π ∆ (t )dt = 1
−∞ ∆
→
024
1
4
3
(6)
δ (t )
deltadi Dirac
La funzione integranda che compare nell’integrale a secondo membro della (6) è
detta funzione impulsiva di Dirac e si indica con il simbolo δ (t) . Questa è una
funzione che vale zero ovunque escluso in un punto in cui il suo valore è illimitato.
Analiticamente possiamo scrivere:
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+ ∞
0
δ (t ) = 
per
t =0
per
t≠0
(7)
oppure, se la funzione impulsiva è traslata nel tempo
+ ∞
0
δ (t − t0 ) = 
per
t = t0
per
t ≠ t0
(8)
La rappresentazione grafica delle funzioni definite in (7) e (8) è mostrata
rispettivamente nelle Fig. 6 e Fig. 7.
δ(t)
t
Fig. 6 – Funzione impulsiva di Dirac centrata nell’origine.
δ(t)
to
t
Fig. 7 – Funzione impulsiva di Dirac traslata in t0.
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Lezione 7 – Variabili di stato
Per la funzione impulsiva valgono le seguenti importanti proprietà e relazioni:
1. Parità
δ (t ) = δ (− t )
(9)
2. Area
+∞
∫ δ (t )dt = 1
(10)
−∞
3. Cambiamento di scala
δ (at ) =
1
δ (t )
a
(11)
4. Prodotto
x(t )δ (t − t 0 ) = x(t 0 )δ (t − t 0 )
(12)
5. Campionamento
+∞
x(t ) =
∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
(13)
−∞
6. Legami con il gradino
t
u (t ) = ∫ δ (τ )dτ ;
−∞
d
u (t ) = δ (t )
dt
(14)
Analizziamo quest’ultima proprietà. Avendo:
0
∫−∞δ (t )dt = 1

t
∀ t < 0−
∀ t > 0+
(15)
si ha che il gradino u (t ) è l’integrale della δ (t ) . La cosa si mostra semplicemente
notando che l’integrale della δ (t ) lungo tutto l’asse dei tempi può essere scomposto
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Lezione 7 – Variabili di stato
in due integrali uno per i punti a sinistra dello zero che vale zero, e l’altro per i punti
alla sua destra che vale uno. Orbene la funzione che vale zero per i punti a sinistra
dello zero e uno per i punti alla sua destra è proprio il gradino u (t ) .
Un ultima cosa che ci serve dire sulla funzione impulsiva è che la sua derivata è
ancora una funzione impulsiva che diremo funzione impulsiva del secondo ordine.
3. Generatori impulsivi “ideali” per variabili di stato discontinue
Alla luce di questi nuovi concetti dovrebbe essere più chiaro il perché se derivo una
funzione discontinua questa nel suo punto di discontinuità presenta un impulso.
Quindi se le variabili di stato di un circuito fossero discontinue, nel circuito stesso
potrei avere tensioni, correnti e potenze impulsive. Una tale cosa sarebbe possibile
solo se io ammettessi che all’interno del circuito fossero presenti generatori di tipo
impulsivo. Approfondiamo questo concetto analizzando due casi concreti.
A
i(t)
ic(t)
j(t)=Qδ(t- t0)
vc(t)
C
C
B
Fig. 8 – Generatore di corrente impulsivo in parallelo ad un condensatore.
In Fig.8 abbiamo considerato un generatore ideale di corrente in parallelo ad un
condensatore; il loro parallelo è collegato ad un sottocircuito C. Il generatore è
impulsivo: è spento per t < t 0 , in t = t 0 produce un impulso di corrente pari a
Qδ (t − t 0 ) e poi si spegne per t > t 0 comportandosi come un circuito aperto. La
scelta del simbolo Q dipende dal fatto che tale costante deve avere la dimensione di
una carica; l’impulso ha la dimensione di un tempo inverso e quindi il loro prodotto
la dimensione omogenea ad una corrente. Supponiamo che il condensatore sia carico
per t < t 0 ad un certo valore V0 . Quindi possiamo porre v C (t 0− ) = V0 . La corrente che
circola nel condensatore per la prima legge di Kirchhoff al nodo A la possiamo così
determinare:
ic (t ) = Qδ (t − t 0 ) − i (t ) .
(16)
Inoltre la relazione caratteristica del condensatore è
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iC (t ) = C
d
vC (t ) .
dt
(17)
Sostituendo la (17) nella (16) otteniamo:
C
d
vC (t ) = Qδ (t − t 0 ) − i (t ) .
dt
(18)
Integrando la (18) fra due istanti uno immediatamente precedente e l’altro
immediatamente successivo a t0 troviamo che
t 0+
vC ( t 0+ )
∫ Qδ (t − t )dt = ∫ Cdv
0
t 0−
vC ( t 0− )
t 0+
C
+ ∫ i (t )dt .
(19)
t 0−
Supponiamo che, per semplicità, che la corrente i(t) sia limitata intorno a t0 . Ciò non
è detto debba verificarsi necessariamente; infatti la corrente i(t) potrebbe anch’essa
mostrare in t0 un impulso dovuto ad eventuali generatori impulsivi presenti in C e in
tal caso dare un contributo non nullo alla (19). In questa ipotesi semplificativa
otteniamo
vC (t 0+ ) = V0 +
Q
.
C
(20)
Dunque la tensione sul condensatore subisce un salto di discontinuità nell’ istante t0
di ampiezza Q C .
Analogamente possiamo ragionare per l’induttore. Facciamo riferimento alla Fig. 9.
In questo caso supponiamo i L (t 0− ) = I 0 essere la condizione iniziale e consideriamo un
generatore ideale di tensione impulsivo φδ (t − t 0 ) collegato in serie all’induttore.
Ricaviamo, analogamente alla (18) ma questa volta utilizzando la seconda legge di
Kirchhoff alla maglia evidenziata in figura:
L
d
i L (t ) = φδ (t − t 0 ) + v(t ) .
dt
(21)
Dalla (21), otteniamo (anche in questo caso supponiamo che la v(t) sia una funzione
limitata intorno a t0):
i L (t 0+ ) = I 0 +
φ
L
.
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(22)
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Lezione 7 – Variabili di stato
A
iL(t)
vL(t)
L
C
v(t)
e(t)=φδ(t- t0)
B
Fig. 9 – Generatore di tensione impulsivo in parallelo ad un induttore.
In questo caso abbiamo utilizzato il simbolo φ per ricordare il fatto che le dimensione
fisiche del coefficiente dell’impulso deve essere un flusso di campo magnetico. Si
osservi che quando il generatore si annulla dopo aver agito l’impulso in t0 si
comporta come un corto circuito senza alterare il funzionamento del circuito.
3.1
Condizioni iniziali e generatori impulsivi
L’analisi dei circuiti di Fig. 8 e 9 ci suggerisce di modellare una condizione iniziale
non nulla presente in un condensatore con la inserzione di un opportuno generatore
impulsivo. Supponiamo di avere ancora un condensatore inizialmente carico; questa
volta indichiamone il valore con v C (t 0− ) = V0* per distinguerlo dal caso affrontato
prima. Nel caso in cui non vi siano generatori impulsivi sarà:
vC (t 0+ ) = vC (t 0− ) = V0*
(23)
Vogliamo “trasformare”, per motivi che ci saranno chiari tra poco, questa naturale
condizione di continuità in un’altra:
 vC (t 0− ) = 0

+
*
vC (t 0 ) = V0
+ presenza di un opportuno generatore impulsivo.
(24)
Per realizzare questa “irrealistica” condizione iniziale che abbiamo modellato nella
(24) utilizziamo ancora il circuito di Fig. 8. Questa volta, però, dovremmo scegliere
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Lezione 7 – Variabili di stato
un peso dell’impulso che ci soddisfi la relazione ottenuta dalla (20) assumendo nullo
il valore della tensione in t0-:
Q = CvC (t 0+ ) = CV0* .
(25)
In conclusione la condizione iniziale del condensatore viene “simulata” dalla
presenza di un generatore di corrente impulsivo pari al valore della condizione
iniziale per la capacità del condensatore. Si osservi che per t>t0 il generatore di
corrente si spegne e quindi si comporta come un circuito aperto in parallelo al
condensatore ed al circuito C senza alterare il funzionamento dell’intero circuito.
Infine volendo utilizzare il generatore di tensione in serie per “simulare” la
condizione iniziale I 0* dell’induttore, abbiamo:
φ = Li L (t 0+ ) = LI 0* .
(26)
Sottolineamo che le relazione ottenute sono relative ai versi utilizzati nelle figure 8 e
9.
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