l'asta in fibra di vetro

Moto del corpo umano: salto
Determiniamo quale e' l'altezza massima a cui puo' saltare.
Fasi del salto
a) In piedi, CM a
circa 1 m da
h1
terra.
b) Racoglimento
CM a circa
0.65 m da terra
c) Estensione, con CM a 1.05 m da terra che termina con il
decollo a velocita' v0
d) Salto, altro non e' che il moto di un grave libero.
Donatella Lucchesi
1
Altezza massima del salto
Sfruttiamo la conservazione dell'energia sapendo che
all'altezza massima la velocita' e' nulla:
1
2
mb v 0 mb gh1 =0mb g  H h1 
2
1
2
mb v 0 =mb gH
2
Punto considerato e' CM
L'altezza massima raggiunta dipende dalla velocita' a cui
avviene il decollo.
Durante l'estensione entrambe le gambe generano una forza
normale al suolo N(t) tale che F v t = N t −mb g
Questa forza e' misurata e possiamo calcolarne il lavoro nel
tratto s quando il CM si sposta dall'estensione al salto.
Donatella Lucchesi
2
Altezza massima del salto - 2
Il lavoro e' uguale alla variazione di energia cinetica e di
s
energia potenziale:
s
∫ F v t dz
1
2
∫ F v t dz= 2 mb v 0 =mb gH
H= 0
0
mb g
s
∫ F v t dz
H=
0
mb g
 N t −mb g  s 1300N−620N0.43m
=
=
=0.47m
mb g
620N
s=0.43m Valore medio preso su salti generici
Forza peso e' considerata per m=63kg
N(t)=1300N e' misurata in esperimenti durante
elongazioni normali
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3
Salto: Durata della fase di decollo
Assumiamo che l'accelerazione verticale sia costante, a,
durante la fase di estensione F v =mb a da cui
 N t −mb g 
a=
mb
1
Usando: s= a 2
dove  e' la durata della fase di decollo
2
mb g
s
0.43
620N
2
=0.28s
 =2
=2
=0.08
g N t −mb g
9.8 1300N−620N
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4
Relazione altezza massima-tempo di decollo
Mettendo assieme le due relazioni:
1 2
v 0 =a 
ricaviamo
s= a 
2
v 0=
2s

Che sostituito nella formula di H
2
1 2 2s/
2s2
H=
v 0=
= 2
2g
2g
g
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5
Salto con l'asta
Il salto con l'asta piu' che un salto e' una spinta. L'energia
cinetica del saltatore viene convertita in energia potenziale
immagazzinata nell'asta che poi e' covertita in energia
potenziale del saltatore.
h min
ricaviamo
2
2
1 2 2s/ 2s
H= v0= = 2
2g 2g g
h asta
hCM
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6
Salto con l'asta: dinamica
Il saltore corre con il baricentro ad altezza H1 ed e' a questa
altezza che decolla. L'angolo che l'asta forma con la verticale
per ottimi saltatori e aste in fibra di vetro e' 13-15o.
Sfruttiamo la conservazione dell'energia:
1
1
2
2
m v 0 mghCM =mghasta mghmin
m v 0 =mg h astahmin −hCM 
2
2
2
1
2
v
0
m v 0 =mg h astahmin −hCM 
h
=h
−h

asta
CM
min
2
2g
Se prendiamo: v 0 =9.5m / s
Sostituendo hasta =5.4m
hCM =0.9m
hmin =0.1m
Record mondiale 6.14m
Non abbiamo considerato l'allungamento del saltatore prima di
lasciare l'asta
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7
Lancio della palla
La descrizione di questo movimento e' piuttosto complessa
in quanto coinvolge piu' di una giuntura e quindi dovremo usare
la descrizione a multisegmenti con piu' di una cerniera
indipendente.
Noi dobbiamo costruire un modello semplice che sara' di
conseguenza approssimato e capire se e' usabile.
La figura 3.40 mostra 4 diversi modelli di lancio di palla, tutti
piuttosto irrealistici ma rappresentano un buono schema di
partenza
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8
Lancio della palla: modelli
a) due cerniere, moto sia della spalla che del gomito
b) una cerniera, la spalla, braccio teso
c) una cerniera, il gomito, moto governato dai tricipidi
d) una cerniera, il gomito, moto governato dai bicipidi
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9
Lancio della palla: modello a una cerniera
Usiamo il modello descritto in d) per determinare la velocita' con
cui e' possibile lanciare la palla da baseball.
Questo corrisponde al caso 3) che abbiamo gia studiato nello
equilibrio dell'avambraccio:
∑  z = Md M sin −W F d F sin −W B d B sin 
= Md M −W F d F −W B d B sin 
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10
Lancio della palla: modello a una cerniera-2
Figura mostra che in realta' noi dovremmo usare l'angolo '
Per scrivere l'equazione del moto:
d 2 '
∑  z = I dt 2
d2'
d2 
Ma
=− 2
2
dt
dt
' =90o
d2
∑  z = Md M −W F d F −W B d B sin =−I dt 2
Dobbiamo adesso calcolare I e i vari momenti delle forze.
Momento di inerzia e' dato dalla somma di quello del braccio, asta
1
2
2
rigida di lunghezza L, piu' quello della palla:
I = m F L m B L
3
−2
L=0.146H0.108H /2=0.2H=36⋅10 m
(Lunghezza dell'avambraccio piu' meta' mano)
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11
Lancio della palla: modello a una cerniera-3
m F =0.022m b =2kg m B =0.146kg inserito tutto
I =0.1053kgm 2
1
2
2
I = m F L m B L
3
Calcoliamo alcune componenti dei momenti delle forze:
W F d F =m F gd F =2⋅9.8⋅0.18=3.5Nm
d F = L/2=0.18m
W B d B =m B gd B =0.146⋅9.8⋅0.36=0.5Nm
d B = L=0.36m
Md M =405⋅0.04=16.2Nm
∑  z = Md M −W F d F −W B d B sin =12.2⋅sin 
Ipotesi fatte:
- Punto di intersezione dei bicipidi dal fulcro, dM=0.04 m
indipendente da θ.
- Forza muscolare M, costante ma sappiamo che dipende dalla
lunghezza del muscolo.
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12
Lancio della palla: modello a una cerniera-4
d2
d2
−2
I 2 =−12.2⋅sin 
=−116
s
⋅sin 
2
dt
dt
Questa equazione differenziale non si risolve facilmente quindi
occorrono altre approssimazioni.
d
v B= L
Vogliamo calcolare la velocita' finale della palla:
dt
Determiniamo condizioni iniziali e finali (fig. 3.43 a):
∣ ∣
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13
Lancio della palla: modello a una cerniera
t=0
braccio dritto, palla ferma
t=t fin braccio piegato
t=0=180 o
t=t fin =0o
d
=0
dt
d
=?
dt
Restringiamo il moto all'intervallo [135o-45o]:

3
intervallo in cui si esercita la forza
t=0=  t=t fin =
4
4
Approssimiamo sin ≈0.707
d2
−2
−2
Integriamo
=−116
s
⋅sin
=−82s
=−
2
dt
d
d
=−⋅tc1 Poiche' d  =0 a t=0 c1=0
=−⋅tc1
dt
dt
dt
1
3
3
t =−  t 2 c 2 Poiche' t=0=  c 2= 
2
4
4
1 2 3
t =−  t  
2
4
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Lancio della palla: modello a una cerniera-5

1 2 3

t=t fin =
t fin =−  t fin =
4
2
4
4
d
v B= L
=∣L  t fin∣= L  =5.77m / s
dt
t fin=
∣ ∣


=0.2s

Ma un buon lanciatore lancia con v B =44.7m/ s=100mph
Dove e' il problema? Esaminiamo le approssimazioni fatte.
1) sin ≈0.707
poniamo sin ≈1

d2
−2
−2
t fin=
=0.16s
=−116 s ⋅sin =−116 s =−
2

dt
v B = L   =6.8m / s

2) Assumiano muscoli piu' grandi, eliminiamo la gravita'
∑  z = Md M sin =32.4⋅sin  poniamo sin ≈1
=346 s−2  t fin=0.09s
Donatella Lucchesi
v B = L   =12m / s
15
Lancio della palla: modello a una cerniera
Il modello iniziale e' sbagliato, troppo semplice. Anche se
passassimo a quello con due cerniere non andrebbe bene.
Il lancio e' qualcosa che coinvolge tutto il corpo e non solo il
braccio e la spalla.
Si capisce molto bene dalla fotografia:
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