l`integrale definito

L’INTEGRALE DEFINITO
b
∫a
f (x ) dx
1
ARGOMENTI
1. Il Trapezoide – area del Trapezoide
2. L’integrale definito – def. Di Riemann
3. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media
4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario
5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”
6. Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede
7. Volumi di figure di rotazione
8. Volumi: Metodo delle “Fette”
9. Integrali impropri o generalizzati
10. Applicazioni del calcolo integrale alla fisica
2
IL TRAPEZOIDE
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi
sia non negativa.
Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di
equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.
3
L’AREA DEL TRAPEZOIDE
Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva
assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il
minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di
Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:
n
sn = ∑ mi h
i =1
n
Sn = ∑ M i h
i =1
4
n
n
sn = ∑ mi h
Sn = ∑ M i h
i =1
i =1
sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n
rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate
minime mi della curva in tali intervallini;
Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è …
Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n.
Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]:
sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni.
Teorema.
Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e
convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n → + ∞ e risulta:
n
n
lim ∑ mi h = lim ∑ M i h
n → +∞ i =1
n → +∞ i =1
Definizione:
Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0,
dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune
per n→ + ∞ delle somme sn e Sn .
5
L’INTEGRALE DEFINITO
Definizione di integrale definito secondo Riemann:
Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed
Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con
la scrittura:
b
∫a f ( x )dx
= nlim
s = nlim
S
→∞ n
→∞ n
Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx .
I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale:
a - estremo inferiore, b - estremo superiore.
La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione.
N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].
6
Se per ogni x ∈ [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile,
allora
rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
π
∫ sinx dx = 0 ,
mentre
Area = 4
,
−π
π
infatti
Area
= 2 ∫ sinx dx = 4
0
7
FUNZIONI INTEGRABILI
Teorema
Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] .
Classi di funzioni integrabili:
• Ogni funzione f : [a, b] → R continua è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b] → R limitata e monotona è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b] → R limitata con un numero finito o numerabile di
punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.
8
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO
Definizioni:
1.
se a < b si pone:
2.
se a = b
Teoremi:
1.
2.
3.
4.
proprietà additiva
5.
b
6.
∫ f ( x )dx
a
b
≤
∫ f ( x ) dx
a
9
7. Teorema della media
Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c ∈ [a, b] tale che
(*)
Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b].
Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha:
b
b
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
→
a
m≤
∫a f ( x )dx
b−a
≤M
b
L’espressione
∫a f ( x )dx
b−a
è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori
intermedi, esiste almeno un punto c ∈ [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).
10
Interpretazione geometrica del teorema della media.
Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato.
Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata.
In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il
valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente
come area al trapezoide.
11
FUNZIONE INTEGRALE
Fissato x0 ∈ [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]:
Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.
12
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
(Torricelli-Barrow)
Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt
a
è derivabile ∀ x ∈ [a, b], e si ha:
F'(x) = f (x) e F(a) = 0 .
Dimostrazione:
prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):
F ( x + h) − F ( x )
=
h
x+h
x
a
a
∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt
h
x
x+h
x
a
x
a
∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt −∫ f (t )dt
=
( per
la proprietà additiva )
h
=
x+h
∫ f (t )dt
=
x
h
=
( per
il teorema della media ) = f (c )
con c ∈ [ x; x + h] .
13
Calcolo il limite del rapporto incrementale per h → 0:
F ( x + h) − F ( x )
= lim f (c ) = f ( x )
h
h→0
h →0
lim
per l' ipotesi di continuità della f ( x ) .
(c → x )
Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) .
La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:
a
F (a ) = ∫ f ( x )dx = 0
per la definizione N °2 .
a
b
Osservazione :
F (b ) = ∫ f ( x )dx
a
14
Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha:
b
∫ f ( x )dx
= ϕ (b ) − ϕ (a ) = [ϕ ( x )] ab
a
Dimostrazione:
Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè
x
φ(x) = F(x) + k → φ(x) =
∫ f (t )dt
a
+ k , quindi, poiché
a
ϕ (a ) = k

b

ϕ (b ) = ∫ f (t )dt + k

a
∫ f (t )dt = 0
, si ha:
a
b
⇒
∫ f (t )dt = ϕ (b ) − ϕ (a )
.
a
Regola:
L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori
assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore
a dell’integrale stesso.
15
Esempi :
2
2
1.
1
1
3
1 
xdx =  x 2  = (4 − 1) =
2
 2 1 2
1
∫
∫ e dx = [e ]
x 1
0
x
2.
= e −1
0
π4
3.
2
ln2
π
tgxdx = [− lncosx ] 0π 4 = − lncos + lncos0 = − ln
+ ln1 =
4
2
2
0
∫
2
4.
∫ (3x
2
)
[
]
2
− 2x + 5 dx = x 3 − x 2 + 5x 1 = 8 − 4 + 10 − (1 − 1 + 5) = 9
1
1
5.
∫
arctgx dx = ... (per parti) ...
0
4
6.
∫ x − 3x dx = ... (x
2
(
)
0
2
1
1


xarctgx
−
ln 1 + x 2  =

2
0
− 3x ≥ 0 per x ≤ 0 ∪ x ≥ 3)... ∫ (x
−1
3
2
− 3x )dx + ∫ − (x
−1
0
3
π ln2
−
4 2
0
4
2
− 3x )dx + ∫ (x
2
)
− 3x dx =
3
4
3 
3  1
3 
49
1
 1
=  x 3 − x 2  + − x 3 + x 2  +  x 3 − x 2  =
2  −1  3
2 0 3
2 3 6
3
16
x
7.
∫
Data la funzione F(x) = sin 2 (t)dt ,
0
determina, servendoti del teorema di Torricelli − Barrow, gli intervalli in cui essa volge la concavità verso l' alto.
Risposta : F(x) è derivabile,
quindi la condizione necessaria e sufficiente per la concavità verso l' alto è che F ' ' (x) ≥ 0.
F ' (x) = sin 2 (x), F ' ' (x) = 2sinxcosx ;
π
+ kπ
2
e per tali valori di x , la concavità della F(x) è verso l' alto.
F ' ' (x) ≥ 0 ; 2sinxcosx ≥ 0 ; sin2x ≥ 0 per kπ ≤ x ≤
x
8. Determina l' equazione della retta tangente al grafico della funzione F(x) =
t
∫ 1+ t
4
dt nel punto di ascissa x = 1.
1
1
Risposta : poichè
F(1) =
t
∫1+ t
4
=0
e F ' (x) =
1
 y - F(1) = m(x - 1)

m = F ' (1)
→ y-0 =
1
(x − 1);
2
x
1+ x4
y=
, si ha :
1
1
x− .
2
2
17
REGOLE DI INTEGRAZIONE
1. Integrazione per parti
Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale:
g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
18
2. Integrazione per sostituzione
Sia f : [a, b] → R una funzione continua, sia φ : [α, β] → [a, b] una funzione continua e derivabile
con continuità.
Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d] ⊆ [a, b], esistono due
valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula:
Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.
Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal
caso si può scrivere:
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
19
Altro esempio (integrazione per sostituzione)
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
1
(a)
∫ f (x ) dx = 2
2
e
(b)
0
∫ f (x ) dx = −5 .
0
Di ciascuno dei seguenti integrali:
1
x
1.
f   dx ;
2
0
∫
2
x
2. f   dx ;
2
0
∫
4
x
3. f   dx ;
2
2
∫
1
4.
∫ f (2x ) dx ,
0
dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è
questo.
Risoluzione.
Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti:
per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano
x = 0 → t = 0;
x = 1 → t = 1/2;
x = 2 → t =1, quindi
20
12
1
x
1. f  dx = 2 f (t )dt = ?
2
0
0
∫
∫
le condizioni non sono sufficienti per calcolarne il valore !
2
1
x
2. f  dx = 2 f (t )dt = 4
2
0
0
∫
∫
per l' integrale (a).
2
2
0

x
3. f  dx = 2 f (t )dt = 2  f (t )dt + f (t )dt  = 2(- 2 - 5) = -14
2

 1
2
1
0
per la proprietà additiva e per gli integrali (a) e (b).
4
∫
∫
∫
∫
1
4.
∫ f (2x )dx =
poniamo 2x = t, cioè x = t/2, dx = dt/2,
0
con estremi d' integrazione
x = 0 → t = 0, x = 1 → t = 2 )
2
1
5
=
f (t )dt = 20
2
∫
per l' integrale (b).
21
CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI
Definizione di dominio piano normale: date due funzioni f(x) e g(x) continue in [a ; b], tali che
g(x) ≤ f(x) ∀x∈ [a ; b], si chiama dominio piano normale rispetto all’asse x l’insieme T dei punti P(x;y)
del piano così definito: T = {(x ; y) | a ≤ x ≤ b e g(x) ≤ y ≤ f(x)}.
b
Area: l’area del dominio T è data da:
Area(T ) =
b
infatti si ha : Area(T) = Area(ABKH) - Area(DCKH) =
∫a
∫a [f (x) − g(x )] dx ,
b
∫a
f(x) dx − g(x) dx =
b
∫a [f(x) − g(x)] dx
La formula per l’area vale comunque siano disposti i
grafici delle funzioni f(x) e g(x), purché sia g(x) ≤ f(x).
22
Esempi
1.
Area del segmento parabolico e teorema di Archimede.
Data la funzione f(x) = kx2 , con k > 0, calcoliamo l’area del segmento parabolico AA’VA, come in figura:
a
a
2
4
1 
Area(AA'VA) = Area(rettangolo AA' H' H) − 2 kx dx = 2a ⋅ ka − 2k  x 3  = 2ka 3 − ka 3 = ka 3 .
3
3
3 0
0
∫
Osserva che
2
2
4 3
ka
2
Area(segm.parab. AA' VA) 3
=
= , quindi :
3
Area(rettangolo AA' H' H)
3
2ka
Teorema di Archimede.
L’area del segmento parabolico AA’VA è 2/3
dell’area del rettangolo AA’H’H.
23
Osservazione sul teorema di Archimede.
Il teorema di Archimede vale anche nel caso in cui la corda AA’ non sia perpendicolare all’asse della
parabola.
In tale caso, tracciata la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta AA’, l’area del segmento
parabolico AA’VA è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo avente base AA’ e altezza uguale alla distanza
AH tra la retta t e la retta AA’.
Esempio: Determina l’area del segmento parabolico T,
limitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta
t : y = -2x + 4 .
Determino l' equazione della tangente t :
f ' ( x ) = 2 x − 2
⇒ 2x - 2 = -2 , x = 0 ,
 '
f ( x ) = −2
cioè il punto di tang. è O(0;0), quindi t : y = - 2x .
4
, allora
5
2
2 4
32
Area(segmento par.) = ⋅ AH ⋅ AA' = ⋅
⋅4 5 =
.
3
3 5
3
Poichè AA' = 4 5 e AH =
2
Oppure : Area =
∫ [(−2x + 4) − (x
2
]
− 2x ) dx =
-2
2
2
1 
8
8 32

(4 − x )dx = 4x − x 3  = 8 − + 8 − = .
3  −2
3
3 3

−2
∫
2
24
2.
Calcolare l’area della regione piana compresa tra le due parabole di equazioni: y2 = 4x e x2 = 4y.
Le equazioni esplicite degli archi di parabola sono :
λ: y = 2 x
x2
e δ: y =
, quindi
4
4
4 3 x3 

x2 
16
Area(T ) = 2 x − dx =  x 2 −  =
.
4
3
12
3

 0

0
4
∫
3.
Calcolare l’area della regione piana limitata dall’ellisse di equazione di equazione:
a
A (T ) = 4
b
∫a
x 2 y2
+
=1 .
a 2 b2
a 2 − x 2 dx =
0
x
(x = a ⋅ sent ; t = arcsen ; dx = a ⋅ costdt)
a
a
x x


= 2ab arcsen + 2 ⋅ a 2 − x 2  = πab .
a a

0
25
VOLUMI DI FIGURE DI ROTAZIONE
Consideriamo la funzione y = f(x) di grafico γ,
continua nell’intervallo [a; b] e non negativa,
e il trapezoide esteso all’intervallo [a; b].
Se facciamo ruotare il trapezoide attorno
all’asse x di un giro completo, ossia di 360°,
otteniamo la figura di rotazione (solido di
rotazione) F.
Calcoliamo il volume di tale figura.
Dividiamo l’intervallo [a; b] in n parti uguali di lunghezza h = (b-a) / n e consideriamo i plurirettangoli
n
Sn = ∑ M i h
i=1
n
s n = ∑ mi h
i=1
che approssimano il trapezoide per eccesso e per difetto. Da una rotazione completa dei plurirettangoli
attorno all’asse x, si ottengono due pluricilindri, che approssimano per eccesso e per difetto la figura di
rotazione F.
26
Ogni cilindro ha per base il cerchio di raggio Mi (appross. per eccesso) o mi (appross. per difetto) e per
altezza h, quindi i pluricilindri hanno volume:
n
Vn = π ∑ M i2 h
i =1
n
vn = π ∑ mi2 h .
i =1
27
Si può dimostrare che quando n → + ∞ le due successioni tendono allo stesso limite e tale limite è il
volume della figura di rotazione F :
n
n
b
i=1
a
VF = lim π ∑ M i2 h = lim π ∑ m i2 h = π∫ f 2 ( x )dx .
i=1
n → +∞
n → +∞
Esempi
1. Volume del cono, data la funzione y = mx:
b
2 1
3
b
π
(mx ) dx = πm  x  = m 2 b 3
0
3 0 3
( raggio di base = mb, altezza = b, ... ed ecco la formula nota )
V=π
2.
∫
2
Volume dell’ellissoide generato dalla rotazione dell’ellisse di equazione
x 2 y2
+
=1
a 2 b2
a) attorno all’asse x :
b2 2
y = 2 (a − x 2 ) ,
a
2
b2 a 2
b2
2
V = 2π 2 (a − x )dx = 2π 2
a 0
a
∫
a
1 3
b2 2 3
4
 2
2
a x − 3 x  = 2π a 2 ⋅ 3 a = 3 πab .
0
28
b) attorno all’asse y :
a2
x = 2 (b 2 − y 2 ) ,
b
2
a2 b
a2
V = 2π 2 (b 2 − y 2 )dy = 2π 2
b 0
b
∫
b
1 3
a2 2 3
4
 2
b
y
−
y
=
2
π
⋅ b = πa 2 b .


2
3 0
3
b 3

In particolare, se a = b, l’ellissoide si riduce ad una sfera di raggio a e volume :
3.
V=
4 3
πa .
3
Determinare il volume del solido generato dal dominio piano T delimitato dalla parabola P: y = -x2 + 6x
e dalla retta r : y = 5 in una rotazione completa attorno ad r.
Operiamo la traslazione del riferimento che porta O(0 ; 0) in O n (0 ; 5) :
x = x n
, qundi

y = y n + 5
P : y = -x 2 + 6 x − 5
le equazioni della parabola P e della retta r nel nuovo riferimento diventano :
r: y = 0
29
Punti d' intersezione retta - parabola
nel nuovo riferimento : A(1;0) , B(5;0) .
Calcolo del volume :
5
∫ (− x + 6x − 5) dx =
= π ∫ [x + 36x + 25 − 12x + 10x
V=π
5
2
2
1
4
2
3
1
2
]
− 60x dx =
5
46
512

1
= π  x 5 − 3x 4 + x 3 − 30x 2 + 25x  =
π.
3
15
5
1
4.
Dato il dominio piano T, delimitato dagli assi cartesiani, dalla retta y = 1 e dal grafico di y = lnx ,
determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di T attorno: a) all’asse x , b) all’asse y .
∫
e
a ) V = V(cilindro C' B' BC) - V(AB' B) = πe - π ln 2 xdx = πe - π(e - 2 ) = 2π . (*)
1
∫ ln xdx = xln x − 2∫ ln xdx = xln x − 2[x ln x − x ] + c ,
e
e
[
]
ln
xdx
=
x
ln
x
−
2
x
ln
x
+
2
x
= e - 2e + 2e - 2 = e - 2 .
∫
(*) calcoliamo per parti :
2
1
2
2
2
quindi
2
1
30
b)
y = lnx → x = e y ,
quindi
1
1
π
1

V = π e 2y dy = π e 2 y  = e 2 − 1 .
0
2
0 2
∫
(
)
31
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