20/05/2014
Scappatoie
Indicherò le scappatoie per le
scuole superiori,
con l’intestazione scappatoie in
sfondo celestino.
e …rigore.
Segnalerò con e … rigore a
sfondo rosso la trattazione
corretta.
E indicherò le parti dove è
possibile reperire indicazioni
più rigorose dal testo
Ciullo G. «Introduzione al
Laboratorio di fisica (Springer
Verlag, 2014, Milano).
Consideriamo la regressione lineare
La verifica di una legge fisica
La verifica di una legge fisica risulta di maggiore interesse e applicabile nelle
scuole. Inoltre è un ottimo strumento didattico, per estendere tale verifica (che
prenderà il nome di chi-quadro), anche alle distribuzioni di dati o comunque a
istogrammi.
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Scappatoie
Quindi |Yi - yi| < δyi
2
yi − Yi
≤ 1
δyi
2
yi − Yi
∑ δy ≤ N
i
y − Y 2
min ∑ i i
δyi
Ciullo G. Introduzione al laboratorio di Fisica
e …rigore.
Pg 142
2
yi − Yi
= ∑ (χ i )2
σi
χ 2 = ∑
y − Y 2
min ∑ i i
σ i
σ i2 = varianza ≡ ( δy i )2
2
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Scappatoie
Pendenza massima
dai i punti estremi
punteggiata
ymax =A’+ Bmax x
su y1 - δy1 e yN + δyN
e
pendenza minima
Retta tratteggiata
ymin =A’’+ Bmin x
Su y1 + δy1 e yN - δyN
3,7
y = 2,244x - 0,2868
y = 1,8538x + 0,1892
Periodo di oscillazione del pendolo T [s]
3,2
2,7
2,2
1,7
Bms dal valore centrale
δB dalla semidispersione
1,2
0,50
0,70
0,90
1,10
1,30
1,50
1,70
massa [g]
1,90
Ams dal valore centrale
δA dalla semidispersione
e …rigore.
y − Y 2
min ∑ i i ⇒
σ i
Dalla minimizzazione del χ2 si ottengono le migliori
stime dei parametro A e B, avendo assunto che i dati
seguano una relazione lineare del tipo Y=A+Bx.
Fogli di calcolo forniscono tali valori
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e …rigore.
Considero A e B, funzioni delle yi (xi non affette da errore o
propagato su y) dalla propagazione delle incertezze
Per il teorema del limite centrale A è gaussiana con varianza σΑ
e …rigore.
Programmi di analisi dati tali valori:propagazione.
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È utile considerare l’enunciato
σY cos’è invece?
Scappatoie
∑ (yi
σY =
e …rigore.
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− Yi )
2
d
Distanza media (/N numero di punti – coppie di dati)
Statistica (/d – gradi di libertà = numero di dati – vincoli statistici)
N
σY =
∑ (yi
i
d
− Yi )
2
vincoli statistici- parametri utilizzati
per la stima che si ottengono
utilizzando i dati,
osservare la formula per il numero di
dati
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σY cos’è invece?
e …rigore.
P per N yi che
seguono una la
gaussiana di
parametri Y, σY)
P per n xi
seguono
G X, σ(x)
e …rigore.
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PAUSA di meditazione
• Gauss: misure ripetute
• X (valore centrale)
stimato da xmedia
• σ (punti di flesso)
stimati da σx
• se gaussiana per il
teorema del limite
centrale
• Regressione:
relazioni funzionali
• Y (valore centrale)
stimato da A e B se
retta
• Se tutte le yi
gaussiane
Conseguenze per gaussiane
• Migliore stima di x, assunta la variabile
gaussiana, dalla media aritmetica
• Incertezza statistica, comunque per più di
trenta dati, assunta la gaussiana, σx.
• Incertezza totale δ somma in quadratura
di εx e σx ed eventuale accuratezza + o –
ηx (vedi calibrazioni).
• Nocciolo duro per le scuole: se x gaussiana,
incertezza statistica,
teorema del limite centrale.
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Conseguenze per regressioni
• Migliore stima dei parametri, con formule o
«scappatoie».
• Incertezze totale δΑ e δΒ, sia da formule
(propagazione delle incertezze) che da valori
centrali e semidispersione.
• Eventuale accuratezza (vedi calibrazioni) con
leggi fisiche (esempi: caduta del grave e
calorimetro).
Come possiamo verificare le ipotesi
• Partiamo dalla regressione: abbiamo
ottenuto le stime dei parametri
minimizzando il χ2
y − Y 2
min ∑ i i
σ i
2
y −Y
χ2 = ∑ i i = ∑(χi )2
σi
2
o meglio
y −Y
χ = ∑ i i = ∑(χi )2
δyi
2
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La verifica del χ2
Scappatoia
σY =
∑ (y
− Yi )
2
i
d
σY ≈
∑ (y
− Yi )
2
i
N
2
y −Y
χ = ∑ i i = ∑(χi )2 ≤ N
δyi
2
Considero δyi uguali per tutte le i
o il valore medio se cambiano.
1
y −Y
χ = 2 ∑ i i ≤ N
(δy) 1
2
2
σ Y2 N =
χ2 =
∑ (y
− Yi )
2
i
1
(σY2N) ≤ N ≡ σY2 ≤ (δy)2
2
(δy)
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per la verifica del χ2
Scappatoia
Se σY ≤ δy
La legge è
appropriata per i
dati:
Invece di (δ y i ) = ε 2y
2
i
(δ y i )2
= ε 2y + σ Y2
i
Scappatoie
una buona stima
dell’incertezza
statistica è σY
2
2
2
+ σ 2 Scorciatoi a ( δY ) = ε y + σ
(δY )2 = ε 2 + σ 2
y
yi
y
Y
Se σY ≤ δy
Possiamo
abbattere
l’incertezza
statitisca e quindi
ricalcolare le
incertezze su A e B
Sconto per le superiori buone le stime
e buona la legge niente ricalcolo
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Stima sull’interpolazione
Incertezza sulla y
dedotta dalla legge
(interpolazione).
Per esempio
calibriamo un
Sistema, ed usiamo
il valore y dedotto
da y=A+Bx
Ci permette di
capire cosa
vogliamo dire
Se possiamo accettare la legge?
Se σY ≤ δy
t [s]
8,15
7,95
7,75
δY = σ + ε
2
Y
7,55
7,35
2
y
7,15
6,95
6,75
6,55
Tratteggio rosso rette Y+δY e Y-δY
previsione al 68 % incluse le incertezza
6,35
1,60
2,10
2,60
3,10
√n
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Se non possiamo accettare la legge?
8,50
t [s]
Se σY > δy
8,00
δY = σY2 + (δy)2
7,50
7,00
6,50
6,00
1,50
2,00
2,50
3,00
√n
3,50
Non accettiamo la legge
Forniamo comunque una stima per Y+δY e
Y-δY al 68 % incluse le incertezze
e …rigore.
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e …rigore.
e …rigore.
Per d > 100
χ2 = d
Deviazione
Standard =
= ( 2d )1/2
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Altrimenti tabella della probabilità di ottenere
Un chi-quadro ridotto (χ2 /d) > di quello osservato
e …rigore.
Coda
destra
Verifica di
significatività
1%
Ipotesi da
rigettare
Legge non appropriata
O anche tabella della probabilità di ottenere
Un chi-quadro ridotto (χ2 /d) < di quello osservato
e …rigore.
Coda
sinistra
Verifica di
significatività
1%
Incertezze elevate
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Estensione della verifica del χ2
• Per le distribuzioni di tipo istogramma:
• Organizzo per classi e
confronto quante
– occorrenze ho ottenuto in
una classe
con
– le aspettative calcolate per
una gaussiana
Ogni gaussiana riconducile a G0,1(z)
z=
x−X
σ
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Integrale normale tra zero e z (Tab)
Teorema della somma di Pearson
• Quante classi dobbiamo scegliere?
• Q tende alla funzione χ2, se in ogni classe
si aspettano Ek = nPk >10
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Sconto per le
superiori
χ2 /
nclassi < 1 gaussiana
2
χ / nclassi > 1 non gaussiana
occorrenze Ok
Verifica sui conteggi
45
40
35
Istogrammi di Ok ed Ek
30
25
20
15
10
5
0
51263,06 51450,25 51637,44 51824,63 52011,82 52199,01 52386,20
Non gaussiana
x [s]
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Sconto per le
superiori
χ2 /
occorrenze Ok
Verifica sul pendolo
45
Istogrammi di Ok ed Ek
40
35
30
25
20
15
nclassi < 1 gaussiana
χ2 / nclassi > 1 non gaussiana
10
5
0
x [s]
51263,06 51450,25 51637,44 51824,63 52011,82 52199,01 52386,20
Non gaussiana
Conclusioni
• L’obiettivo di un’esperienza del laboratorio, è
fornire una misura, in ogni caso.
• La verifica di una legge fisica sicuramente risulta
più diretta ed interessante.
• La verifica di una variabile gaussiana, un po’
artificiosa. Ma da quanto visto usare la deviazione
standard del campione è conservativo.
• Per dati maggiori di trenta comunque se non si
può verificare che sia gaussiana, comunque
l’incertezza statistica è stimabile con la
deviazione Standarda del campione.
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