eserc. 7

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Esercizio n.7
Una carica elettrica positiva è distribuita uniformemente con densità ρ tra due superfici
sferiche concentriche di raggi R1ed R2.
determinare l’ espressione del campo elettrico in funzione della distanza r
calcolare la d.d.p. ∆V=VA-VO tra il punto A, posto sulla superficie esterna, ed il
Centro O.
R1
( R1=10 cm, R2 =20 cm, ρ=2.6.10 −7 C/m3, εo = 8.85 10-12 C2/(Nm2) )
Soluzione
Data la simmetria sferica del problema, applichiamo il teorema di Gauss prendendo una
sfera di raggio r come superficie gaussiana.
Distinguiamo i tre casi
a) r < R 1 :
E ⋅ dA =
sup .sfera raggio r
Q int
→ E 4πr 2 = 0 → E = 0
ε0
essendo nulla la carica all’interno della superficie gaussiana
b) R 1 < r < R 2 :
E ⋅ dA =
sup .sfera raggio r
Q int
R3
4
ρ
→ E 4πr 2 = πr 3 → E =
r − 21
ε0
3
3ε 0
r
r
essendo la carica all’interno della superficie gaussiana Q int = ρ4πr 2 dr = ρ
R!
(
4
π r 3 − R 13
3
)
c) r > R 2 :
E ⋅ dA =
sup .sfera raggio r
(
Q int
ρ
4
→ E 4πr 2 = πr 3 → E =
R 32 − R 13
ε0
3
3ε 0 r 2
)
R2
essendo la carica all’interno della superficie gaussiana Q int =
ρ4πr 2 dr = ρ
R!
(
4
π R 32 − R 13
3
Inoltre
A
R!
A
VO − VA = E ⋅ d s = Edr =
O
=
O
ρR
ρ
R 22 − R 12 +
6ε 0
3ε 0
(
)
3
1
R2
Edr +
O
R2
Edr = 0 +
R1
R1
3
R
ρ
r − 21 dr =
3ε 0
r
1
1
−
R1 R 2
dove come linea di integrazione è stato scelto il cammino radiale che connette O ad A.
Ovviamente VA − VO = −(VO − VA )
)
R2
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