ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA I prova in itinere 18 Novembre 2011 SOLUZIONE -1- D1. (punti 3 ) Avendo a disposizione resistori da 20Ω, 300Ω, 24kΩ e 56kΩ ottenere, se possibile, i seguenti valori di resistenze, combinando opportunamente i resistori in serie e/o in parallelo con il vincolo che non si possono usare, per ogni valore di resistenza, più di quattro resistori. a) 1 Ω b) 5 Ω c) 400 Ω d) 40 kΩ e) 500 kΩ Se è possibile mostrare il circuito, se non è possibile spiegare il perché. Soluzione La resistenza più piccola ottenibile con 4 resistori è il parallelo delle 4 resistenze più piccole (20 Ω) che ha come risultato 5Ω. La resistenza più grande ottenibile con 4 resistori è la serie delle 4 resistenze più grandi (56 k Ω) che ha come risultato 224 kΩ. Quindi la a) e la e) non sono realizzabili. -2- D2. (punti 3 ) Disegnare per ogni circuito il circuito duale. Soluzione Circuito Circuito duale -3- E1 (punti 5) – Regime stazionario Calcolare la potenza assorbita da ciascun bipolo e verificare che la somma di tali potenze è uguale a zero. Soluzione e1 = 1 KCL al nodo 2: (e2 – 1)/1 + e2/1 + 1 = 0 da cui e2 = 0 , I = 1 e Is = 2 Le potenze assorbite sono: P(R1) = 1W P(R2) = 0 P(gen 1A) = - 1W P(gen 1V) = - 2W P(gen 2I) = 2W Somma delle potenze assorbite = 0 -4- E2 (punti 5) – Regime stazionario 1) Determinare l’equivalente Thevenin ai morsetti A B calcolando la tensione a vuoto Vv e la resistenza equivalente Re 2) Determinare l’equivalente Norton agli stessi morsetti calcolando la corrente di corto circuito Icc indipendentemente dal punto 1 e verificare che Icc = Vv/Re Soluzione Calcolo della tensione a vuoto Vv : (dalla figura in alto) I = 2 ; V2 = 2 ; Is = 4I = 8 ; V1 = 8 ; Vv = 1 + V1 – V2 = 7V Calcolo della Re I = -1 ; V = 3I – I – 4I = -2I = 2 da cui Re = 2Ω Calcolo della Icc I* = -4I+I-2 = -2-3I ; Icc = I-2 ; KVL maglia esterna :1 – V* -V-V4 =1+2+3I –I-4(I-2)= 0 da cui I = 11/2 e Icc = 7/2A c.v.d -5- E3– Circuiti del I ordine (punti 6) Il circuito è a regime da molto tempo. Is = 1A Calcolare iL(t) e vL(t) e tracciarne il grafico da t = 0 all’infinito, mettendo in evidenza: i valori iniziali a t = 0+ e t = 0-, i valori finali e le costanti di tempo. Soluzione Da 0 a 50µsec: (t*= 50µsec) iL(0) = 0 ; iL(∞) = 6 (10/20) = 3 ; Req = 20 Ω ; τ = L/Req = 5µsec. iL(t) = 3[1-exp(-t/τ)] ; vL(t) = Ldi/dt = 60[exp(-t/τ)] La corrente arriva a regime a circa 20-25 µsec. Da t* all’infinito: iL(t*) = 3 ; iL(∞) = 0 ; τ = L/Req = 5µsec iL(t) = 3[exp(-(t- t*)/τ)] ; vL(t) = Ldi/dt = -60[exp(-(t- t*)/τ)] -6- E4 - Circuiti del II ordine (punti 7) L’interruttore è aperto da molto tempo. Per t = 0 si chiude. Calcolare vC(t) e tracciarne il grafico da t = 0 all’infinito. Soluzione Condizioni iniziali (t = 0) I1 = 0 quindi vC(0) = 10V ; iL(0) = 10A Condizioni finali (t = ∞) I2 = 10/2 = 5A ; V2 = 5V quindi vC(∞) = 10 – 5 = 5V ; iL(∞) = I2 = 5A Equazioni di stato v v I 10 I v I 10 10 1 1 e quindi 1 1 –tr(A) = 2 e det(A) = 2 L’equazione caratteristica è λ2 + 2 λ + 2 = 0 da cui λ1= -1+j e λ2 = -1-j vC(t) = e-t[Acos(t) + B(sen(t)] + 5. Imponendo le condizioni iniziali vC(0) = 10V e v 0 v 0 I 0 10 10 si ottiene A= 5 e B = -5 -7-