Matematica per l`Economia (A-K) e Matematica Generale – 13

Matematica per l’Economia (A-K) e Matematica Generale – 13 gennaio 2016
(prof. Bisceglia)
traccia A
1. Calcolare la primitiva P, della funzione p, passante per il punto 0,1 :
px  
2.
x 1
x  3 x  3

2

Dopo aver verificato se è possibile effettuare il seguente limite, dire se la funzione è regolare:
3x 3  2 x  1  1 
log1  
5x  3
x

lim 
x 
3. Disegnare approssimativamente il grafico della seguente funzione:
f x   arc cot g
2
1 x
4. Data la funzione:
e x 1  x

h x   
1
arctg
x 1

x   ,1
x  1,
Determinare l’insieme di definizione e studiare l’eventuale esistenza di punti di discontinuità e nel
caso affermativo stabilire la specie.
5. Determinare gli eventuali minimi e massimi relativi, ed assoluti, della seguente funzione e scrivere
inoltre, l’equazione della tangente nel punto
e:
g x   arcsen log 2 x
N.B. 1) Non si possono usare, pena l’annullamento della prova: calcolatrici, cellulari ed appunti vari.
2) Non si accettano elaborati scritti a matita. 3) Va consegnato solo il foglio di bella e la traccia
compilata nel riquadro.
Cognome
Nome
Matricola
Firma
Matematica per l’Economia (A-K) e Matematica Generale – 13 gennaio 2016
(prof. Bisceglia)
traccia B
1. Calcolare la primitiva P, della funzione p, passante per il punto 1,0 :
px  
2.
x 1
x  2  x  2


2
Dopo aver verificato se è possibile effettuare il seguente limite, dire se la funzione è regolare:
3x 3  2 x  1  1 
log1  
5x  3
x

lim 
x 
3. Disegnare approssimativamente il grafico della seguente funzione:
f x   arctg
2
1 x
4. Data la funzione:
e x 1  2 x

h x   
1
arc cot g
x 1

x   ,1
x  1,
Determinare l’insieme di definizione e studiare l’eventuale esistenza di punti di discontinuità e nel
caso affermativo stabilire la specie.
5. Determinare gli eventuali minimi e massimi relativi, ed assoluti, della seguente funzione e scrivere
inoltre, l’equazione della tangente nel punto
e:
g x   arccos log 2 x
N.B. 1) Non si possono usare, pena l’annullamento della prova: calcolatrici, cellulari ed appunti vari.
2) Non si accettano elaborati scritti a matita. 3) Va consegnato solo il foglio di bella e la traccia
compilata nel riquadro.
Cognome
Nome
Matricola
Firma
Svolgimento prova scritta del 13 gennaio 2016 traccia A
1. Una primitiva della funzione assegnata è data dal seguente integrale:
x 1
 Ax  B x  3  C x 2  3 ,
x 1
Ax  B
C
dx
,
siccome



x 2  3 x  3
x 2  3x  3 x 2  3 x  3
x 2  3x  3


per cui
 Ax  B x  3  C x 2  3   A  C x 2  3 A  B x  3B  3C
x 2  3x  3
x 2  3x  3
1

A

A

C

0

3


2
 A  C x  3 A  B x  3B  3C  x  1  3 A  B  1  B  0
3B  C   1 
1

C 
3

polinomi
l’integrale

e per l’identità dei
può
essere
scritto
 x
2
x 1
dx  
 3 x  3

quindi
1
1
x0
3
dx   3 dx 
2
x  3
x 3


1
x
1
1
1
2x
1
1
dx  
dx   2
dx  
dx ,pertanto una primitiva della
2

3 x 3
3 x  3
6 x 3
3 x  3




1
1
log x 2  3  log x  3 , per cui la primitiva P passate per 0,1
6
3
1
1
1
sarà P0  1  log 3  log 3  C  1  C  log 3  1 , quindi la primitiva cercata è:
6
3
6
1
1
1
Px   log x 2  3  log x  3  log 3  1
6
3
6
funzione assegnata è: Px  
2.
Essendo l’insieme di definizione non limitato inferiormente, in quanto 1 
1
x 1
0
0
x
x
x   ,0  1, , è possibile effettuare il limite assegnato, ed osservando che possiamo scrivere:
2
1 

 1
x 3  3  2  3  log1  
3x  2 x  1  1 
x 1
x
x 

lim 
log1    lim  
 
x  
1
3
5x  3
x  x


 x

x 5  
x
x

3
,
quindi
2
1 

x3 3  2  3 
1
3
x
x 
lim   
  log e lim x   , pertanto la funzione è regolare in
x
x  
x  
3
5

 1
x2 5  
log1  
x

x

  e diverge positivamente.
3. Data la funzione f x   arc cot g
2
1 x
L’insieme dei valori della funzione f è incluso in arc cot g R   0,   , quindi f è limitata e pertanto il
grafico di f può avere solo asintoti orizzontali.
Ricordando che la funzione arco cotangente è definita in R, l’insieme di definizione di f coincide con
l’insieme di definizione di x 
f x   0  arc cot g
2
2
e quindi f : x   ,1  1,  arc cot g
1 x
1 x
2
 0  x   ,1  1, , f x   0  f x   0  x  
1 x
il grafico di f si trova al di sopra dell’asse delle x in  ,1 ed in 1, , ha in comune con gli assi il punto
0, f 0  0, arc cot g 2 ed essendo:
lim f x   lim arc cot g
2
 arc cot g 0   2 ,
1 x
2
lim f x   lim arc cot g
 lim arc cot gy  0 ,
x 1
x 1
1  x y 
2
lim f x   lim arc cot g
 lim arc cot gy   e
x 1
x 1
1  x y 
2
lim f x   lim arc cot g
 arc cot g 0   2
x 
x 
1 x
x 
x 
il grafico di f ha un solo asintoto: la retta di equazione y   2 asintoto orizzontale a sinistra e a destra.
Essendo:
f x   Darc cot g
2

1 x
1
1
4

1  x 
2
1  x 
2

2
se x   ,1  1,
x  2x  5
2
2
ed essendo   4  20  x 2  2 x  5  0, x  R
2
 0  x 
x  2x  5
f x   0  x   ,1  1,
f x   0 
2
,
quindi f è strettamente decrescente in  ,1 ed in 1, .
f x   0 
2
 0  x 
x  2x  5
2
ed
Risultando infine:
f x   D
2
4x  1

2
x  2x  5
x 2  2x  5

2

se x   ,1  1,
è:
f x   0  x  R  1 e
f x   0  x  R  1 e
x
x
4x  1
2
 2x  5
4x  1
2
 2x  5

2

2
 0  x  R  1 e x  1  x  1,
 0  x 
,
,
f x   0  x   ,1  1,  1,   ,1
e pertanto la funzione f è strettamente convessa in 1, e strettamente concava in  ,1 .
Siamo ora in grado di tracciare il grafico di f:
e quindi dedurre che:
àà,
f  ,1  0,  2 ,
inf f x   0 e sup f x    .
xR 1
4. Tale funzione:
xR 1
f 1,   2 ,   , f è biunivoca su
0,  2  
2 ,  ,
e x 1  x

h x   
1
arctg
x 1

x   ,1
x  1,


x 1
è definita ed è continua in R  1 e risultando h1  e 0  1  2 , lim hx   lim e  x  2 e
x 1
lim hx   lim arctg
x 1
x 1
x 1
1

 lim arctgy  , la funzione assegnata ha, in uno, un punto di discontinuità
x  1 y 
2
di prima specie.
5. Data la funzione f x   arcsen log 2 x , si ha che D f   x  0, e in quanto  1  log 2 x  1,
inoltre per il Teorema dei punti critici, si ha che F  e, S  1, C  e, in quanto
f x  
1
2 log x
, e sia X  F  S  C , allora max f x   max f x  , (risp. Il minimo).
x0,e 
xX
1  log 4 x x
2
Ora notando che f 1  arcsen log 2 1  0 , e che f e   arcsen log e 

2
, possiamo affermare che
la funzione è dotata di minimo e di massimo. In fine l’equazione della retta tangente nel punto
 
  e , ovvero y  2 log e x  e   arcsen log
y  f e x e  f
e 1  log
4
e
2
e.
e,è
Svolgimento prova scritta del 13 gennaio 2016 traccia B
1. Una primitiva della funzione assegnata è data dal seguente integrale:
x 1
 Ax  B x  2  C x 2  2
x 1
Ax  B
C
dx
,
siccome



x 2  2 x  2
x 2  2x  2 x 2  2 x  2
x 2  2x  2


, per cui
polinomi
l’integrale

 Ax  B x  2  C x 2  2   A  C x 2  2 A  B x  2B  2C
x 2  2x  2
x 2  2x  2
e per l’identità dei
1

A

A

C

0

2


2
 A  C x  2 A  B x  2 B  2C  x  1  2 A  B  1  B  0
quindi
2B  C   1 
1

C 
2

1
1
x0
x 1
2
2
può
essere
scritto
 x 2  2 x  2 dx   x 2  2 dx   x  2 dx 




1
x
1
1
1
2x
1
1
dx  
dx   2
dx  
dx , pertanto una primitiva della
2

2 x 2
2 x  2
4 x 2
2 x  2




1
1
log x 2  2  log x  2 , per cui la primitiva P passate per 1,0
4
2
1
1
1
sarà P1  0  log 3  log 3  C  0  C  log 3 , quindi la primitiva cercata è:
4
2
4
1
1
1
Px   log x 2  2  log x  2  log 3
4
2
4
funzione assegnata è: Px  
2. Essendo l’insieme di definizione non limitato superiormente, in quanto 1 
1
x 1
0
0
x
x
x   ,1  0, , è possibile effettuare il limite assegnato, ed osservando che possiamo scrivere:
2
1 

 1
x 3  3  2  3  log1  
3x  2 x  1  1 
x1
x
x 

lim 
log1    lim  
 
x  
1
3
5x  3
x  x


 x
x 5  
x
x

3
,
quindi
2
1 

x3 3  2  3 
x
3
x
x   1
lim  
log1    log e lim x   , pertanto la funzione è regolare in   e
x  
x  
3
5

 x
x2 5  
x

diverge positivamente.
3. Data la funzione f x   arctg
2
1 x
  
, , quindi f è limitata e pertanto il
 2 2 
L’insieme dei valori della funzione f è incluso in arctg R    
grafico di f può avere solo asintoti orizzontali.
Ricordando che la funzione arcotangente è definita in R, l’insieme di definizione di f coincide con l’insieme
di definizione di x 
2
2
e quindi f : x   ,1  1,  arctg
1 x
1 x
2
2
0
 0  x   ,1
1 x
1 x
f x   0  x  , f x  0  x  1,
f x   0  arctg
,
il grafico di f si trova al di sopra dell’asse delle x in  ,1 ed al di sotto dell’asse delle x in 1, , ha in
comune con gli assi il punto 0, f 0  0, arctg 2 ed essendo:
2
2

 arctg 0  0 , lim f x   lim arctg
 lim arctgy  ,
x 
x 
x 1
x 1
1 x
1  x y 
2
2

2
lim f x   lim arctg
 lim arctgy   e lim f x   lim arctg
 arctg 0  0
x 
x 1
x 1
1  x y 
2 x
1 x
lim f x   lim arctg
il grafico di f ha un solo asintoto: la retta di equazione y  0 asintoto orizzontale a sinistra e a destra.
Essendo:
f x   Darctg
2

1 x
1
1

4
1  x 
2
1  x 
2

2
se x   ,1  1,
x  2x  5
2
2
ed essendo   4  20  x 2  2 x  5  0, x  R
f x   0 
f x   0  x  
2
2
 0  x   ,1  1, , f x   0  2
 0  x   ed
x  2x  5
x  2x  5
2
quindi f è strettamente crescente in  ,1 ed in 1, .
Risultando infine:
f x   D
è:
2
 4x  1

2
x  2x  5
x 2  2x  5
2


se x   ,1  1,
f x   0  x  R  1 e
f x   0  x  R  1 e
x
x
 4x  1
2
 2x  5
 4x  1
2
 2x  5

2

2
 0  x  R  1 e x  1  x   .1
 0  x 
,
,
f x   0  x   ,1  1,   ,1  1,
e pertanto la funzione f è strettamente concava in 1, e strettamente convessa in  ,1 .
Siamo ora in grado di tracciare il grafico di f:
e quindi dedurre che:
f  ,1  1,    2 ,  2 , f  ,1  0,  2 , f 1,    2 ,0 , f è biunivoca su
 
2 ,  2 , inf f x   
xR 1

2
e sup f x  
xR 1

2
.
4. Tale funzione:
e x 1  2 x

h x   
1
arc cot g
x 1

x   ,1
x  1,


x 1
È definita ed è continua in R  1 e risultando h1  e 0  2  1, lim hx   lim e  2 x  1 e
x 1
lim hx   lim arc cot g
x 1
x 1
x 1
1
 lim arc cot gy  0 , la funzione assegnata ha, in uno, un punto di
x  1 y 
discontinuità di prima specie.
5. Data la funzione f x   arccos log 2 x , si ha che D f   x  0, e in quanto  1  log 2 x  1, inoltre
per il Teorema dei punti critici, si ha che F  e, S  e, C  1, in quanto
f x  
1
2 log x
, e sia X  F  S  C , allora max f x   max f x  , (risp. Il minimo).
x0,e 
xX
1  log 4 x x

Ora notando che f 1  arccos log 2 1  , e che f e  arcsen log 2 e  0 , possiamo affermare che la
2
funzione è dotata di massimo e di minimo. In fine l’equazione della retta tangente nel punto e , è
 2 log e x  e
y  f  e x  e  f e , ovvero y 
 arccos log 2 e .
4
e 1  log e
 
  

