Liberamente tratto da www.openfisica.com
Prima Legge di Ohm
Agli estremi di due componenti elettrici di un circuito (che si possono chiamare conduttore X ed
Y) è applicata una differenza di potenziale ΔV variabile da 100 a 1000 V.
Nella tabella riportata (detta caratteristica volt-amperometrica del dispositivo elettrico)
sono riportati i valori misurati delle correnti elettriche IX e IY che circolano nei due dispositivi
in funzione della tensione applicata.
Cosa si può osservare dall'analisi dalla tabella e del grafico corrispondente?
ΔV
Ix
Iy
100
0,07
0,07
200
0,13
0,10
300
0,20
0,13
400
0,27
0,17
500
0,33
0,22
600
0,40
0,30
700
0,47
0,45
800
0,53
0,65
900
0,60
0,85
1000
0,67
1,15
Come si può osservare dalla tabella ed in modo più evidente dal grafico, solo per uno dei due
dispositivi c'è una relazione di proporzionalità diretta tra differenza di potenziale e corrente
elettrica del conduttore.
Si afferma che un conduttore è di tipo ohmico se per esso vale la Prima Legge di Ohm: la
corrente che scorre in un conduttore ohmico è direttamente proporzionale alla differenza di
potenziale applicata ai suoi estremi.
Questo equivale a dire che in un conduttore ohmico il valore della resistenza elettrica è
indipendente dalla corrente che si genera in esso a causa della differenza di potenziale ad esso
applicata.
Fra i due dispositivi esaminati, il dispositivo X è un conduttore di tipo ohmico (il valore della
resistenza elettrica Rx si mantiene costante all’aumentare della differenza di potenziale);
mentre Y non è un conduttore di tipo ohmico (il valore della resistenza elettrica Ry diminuisce
all’aumentare della differenza di potenziale).
Sono in genere di tipo ohmico i conduttori solidi e liquidi, mentre non lo sono i quelli gassosi e
alcuni dispositivi elettronici come i diodi.
Quanto vale la resistenza Rx del dispositivo X?
Rx = 100 Ω
Rx = 150 Ω
Rx = 1000 Ω
Rx = 1500 Ω
Con le caratteristiche volt-amperometriche si può ricavare il valore della resistenza dalla
pendenza della retta caratteristica. Poiché nel grafico la corrente è sull'asse Y e la tensione è
sull'asse X, l'inverso della pendenza fornisce il valore di R.
I normali fili elettrici (in genere fili di rame) sono conduttori ohmici a bassissima resistenza,
in genere trascurabile rispetto alle resistenze di altri dispositivi presenti nel circuito.
Se colleghiamo i due poli di un generatore solamente con un filo elettrico, senza altri dispositivi
in serie, si ha, a causa della resistenza elettrica molto piccola e praticamente nulla, una
corrente molto intensa che provoca un rapido aumento di temperatura (il filo conduttore
diventa rapidamente incandescente); in questo caso si parla di corto circuito.
Gli apparecchi elettrici come le lampadine, i tostapane, gli asciugacapelli, mettono in gioco
delle resistenze molto maggiori.
Componenti comuni di tutti i circuiti elettronici sono delle piccole resistenze di ceramica il cui
valore è segnalato da un codice dei colori.
Elementi di un circuito
Un circuito elettrico deve essere necessariamente costituito almeno da un generatore, che
fornisce la differenza di potenziale, elettricamente connesso a mezzo di conduttori ad uno o più
utilizzatori di energia elettrica.
Per avere circolazione di corrente il circuito deve essere elettricamente chiuso.
Nella seguente figura è illustrato un circuito costituito da un generatore, da conduttori e da tre
resistori elettricamente connessi.
La simbologia adottata per il generatore fem (forza elettromotrice) indica un dispositivo che
stabilisce e mantiene una differenza di potenziale tra il suo polo positivo ed il suo polo negativo
e quindi tra la posizione F ed A del circuito.
In un circuito si definisce nodo un punto dove convergono più di due conduttori.
Quali sono i nodi nel circuito illustrato?
nessuno
i punti A e F
i punti B e E
i punti C e D
In un circuito si definisce ramo un qualsiasi collegamento elettrico che unisce due nodi.
Quanti rami ci sono nel circuito?
Uno
Due
Tre
In un circuito si definisce maglia un qualsiasi percorso chiuso individuabile nel circuito.
Quante maglie ci sono nel circuito?
Una
Due
Tre
Analisi di un circuito elettrico di tipo ohmico
Analizzare un circuito elettrico significa determinare quale corrente
elettrica e quale differenza di potenziale interessano ogni singolo
elemento del circuito o in altri termini determinare in che modo viene
utilizzata nel circuito l’energia elettrica fornita dal generatore.
Nell’analisi per la risoluzione dei circuiti si utilizzano in genere la prima legge di Ohm, la prima
legge di Kirchhoff o legge dei nodi e la seconda legge di Kirchhoff o la legge delle maglie.
La legge dei nodi esprime la legge di conservazione della carica elettrica: la carica elettrica non
si crea né si distrugge e quindi la somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere
uguale alla somma delle correnti che ne escono.
La legge della maglia esprime la legge di conservazione dell'energia elettrica, riferita all’unità
di carica, in un circuito ed espressa quindi in termini di potenziale elettrico.
Legge dei nodi e collegamento di resistori in parallelo
Consideriamo il circuito in figura costituito da un generatore e tre resistori con resistenza
elettrica di valore R1, R2 e R3 collegati in parallelo.
Due o più resistenze si dicono collegate in parallelo se ai loro capi è applicata la stessa
differenza di potenziale.
Sia ΔVGen la differenza di potenziale del generatore; ΔVAB la differenza di potenziale tra il
punto A e il punto B; V+ = VA il potenziale elettrico del polo positivo del generatore e del
punto A e V- = VB il potenziale elettrico del polo negativo del generatore e del punto B.
B
Nel circuito sono presenti due nodi: nel nodo A la corrente principale si divide nei tre rami
contenenti rispettivamente i resistori con resistenza R1, R2 e R3 collegati in parallelo; nel nodo
B le correnti provenienti dai tre rami con i resistori con resistenza R1, R2 e R3 collegati in
parallelo si ricongiungono in un’unica corrente.
Legge dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff): la somma delle correnti che entrano in un
nodo è uguale alla somma delle correnti che escono dallo stesso nodo.
Indicando con IGen la corrente dovuta alla differenza di potenziale applicata dal generatore e
con I1, I2 e I3 la corrente che interessa tre resistori collegati in parallelo, la Legge dei nodi
permette di affermare che:
nel nodo A:
IGen (somma corrente entrante) = I1+I2+I3 (somma corrente uscente)
nel nodo B:
I1+I2+I3 (somma corrente entrante) = IGen (somma corrente uscente)
Nel nodo A la corrente si divide in modo inversamente proporzionale (per gli effetti della prima
Legge di Ohm) alle resistenze elettriche R1, R2 e R3 nei tre rami collegati in parallelo
(ovviamente la differenza di potenziale ΔVAB = VA - VB è la stessa indipendentemente dal
ramo di circuito considerato.
B
Dal punto di vista complessivo le tre resistenze collegate in parallelo sono elettricamente
equivalenti ad un unico resistore con resistenza Req equivalente alla media armonica delle tre
resistenze R1, R2 e R3:
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
Req = (R1·R2·R3)/(R1·R2+R2·R3+R1·R3)
Da ricordare che: la resistenza equivalente di un parallelo Req è sempre minore di
ognuna delle resistenze collegate in parallelo!
Quindi:
Req < R1
Req < R2
Req < R3
Riepilogando, per la prima Legge di Ohm e la prima Legge di Kirchhoff o Legge dei Nodi:
IGen = I1 + I2 + I3
ΔVGen / Req = ΔV1 / R1 + ΔV2 / R2 + ΔV3 / R3
Poiché il collegamento dei resistori è in parallelo, ad essi è applicata la stessa
differenza di potenziale, e quindi:
ΔV1 = ΔV2 = ΔV3 = ΔVGen
ΔVGen / Req = (1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3)·ΔV Gen
1 / Req = (1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3)
Req = (R1·R2·R3) / (R1·R2 + R2·R3 + R1·R3)
La resistenza equivalente di un collegamento in parallelo Req è la media armonica delle
resistenze così collegate e, come già evidenziato, è sempre minore di ognuna delle resistenze
collegate in parallelo.
Inoltre, avendo:
ΔVGen = R1 · I1 = R2 · I2 = R3 · I3 = costante
la corrente che circola in ogni ramo di un collegamento in parallelo è inversamente
proporzionale alla resistenza del ramo.
Legge delle maglie e collegamento di resistori in serie
Consideriamo il circuito in figura costituito da un generatore e tre resistori con resistenza
elettrica di valore R1, R2 e R3 collegati in serie.
Due o più resistori si dicono collegati in serie se sono attraversati dalla stessa corrente.
Convenzioni:
¾ Il verso (convenzionale) della corrente I è quello in cui si muovono o si muoverebbero se
presenti le cariche positive (dal polo positivo a potenziale maggiore verso il polo negativo a
potenziale minore del generatore) e quindi nel verso indicato dalla freccia nello schema di
circuito
¾ La differenza di potenziale (fem) di un generatore è positiva se percorsa dal polo negativo a
quello positivo, negativa in verso contrario (dal polo positivo al negativo)
¾ Se percorrendo una maglia si incontra una resistenza, si ha una caduta di tensione, cioè una
differenza di potenziale negativa ai capi della resistenza (una diminuzione di potenziale) se
si segue il verso della corrente, si ha una differenza di potenziale positiva (un aumento di
potenziale) se si va in verso opposto alla corrente.
Legge delle maglie (Seconda Legge di Kirchhoff): la somma algebrica delle differenze
di potenziale e delle cadute di tensione in una maglia è uguale a zero.
Il circuito rappresentato nello schema ha una sola maglia.
Sia ΔVGen la differenza di potenziale del generatore; ΔV1 la caduta di tensione nel resistore
R1, ΔV2 la caduta di tensione nel resistore R2 e ΔV3 la caduta di tensione nel resistore R3.
Percorrendo il circuito in verso orario, per la legge delle maglie, si ha:
+ΔVGen - ΔV1 - ΔV2 – ΔV3 = 0
Sia ΔVGen la differenza di potenziale del generatore; ΔV1 la caduta di tensione nel resistore
R1, ΔV2 la caduta di tensione nel resistore R2 e ΔV3 la caduta di tensione nel resistore R3.
Percorrendo il circuito in verso orario, per la legge delle maglie, si ha:
+ΔVGen - ΔV1 - ΔV2 - ΔV2 = 0
Dal punto di vista complessivo le tre resistenze collegate in serie sono elettricamente
equivalenti ad un unico resistore con resistenza equivalente Req uguale alla somma delle tre
resistenze R1, R2 e R3:
Req = R1 + R2 + R3
Da ricordare che: la resistenza equivalente di una serie Req è sempre maggiore di
ognuna delle resistenze collegate in serie!
Quindi:
Req > R1
Req > R2
Req > R3
Riepilogando:
+ΔVGen - ΔV1 - ΔV2 - ΔV2 = 0
ΔVGen - R1·I1 - R2·I2 - R3 ·I3 = 0
Poiché il collegamento dei resistori è in serie, essi sono percorsi dalla stessa
corrente, e quindi:
I1 = I2 = I3 = IGen
ΔVGen = (R1 + R2 + R3)·IGen
ΔVGen = Req·IGen
Quesiti:
Se si percorre il circuito in verso orario, la differenza di potenziale ai capi del generatore ha il
valore:
+ ΔVGen
- ΔVGen
Se si percorre il circuito in verso orario, la differenza di potenziale ai capi dei tre resistori
corrisponde a:
un aumento di potenziale
una caduta di tensione
Se i tre resistori del circuito in esame (collegamento in serie) hanno resistenza uguale a 50 Ω
ciascuna e la differenza di potenziale ai capi del generatore vale 300 V, qual è il valore della
corrente che attraversa il generatore e le tre resistenze?
I1 = I2 = I3 = IGen = 2 A
I1 = I2 = I3 = IGen = 1 A
I1 = I2 = I3 = IGen = 0,5 A
I1 = I2 = I3 = IGen = 6 A
Il circuito rappresentato nel precedente schema, con resistori collegati i parallelo, ha sei
maglie; per ognuna di esse può essere applicate la legge delle maglie; delle equazioni sei
equazioni così ottenibili solo tre risultano utili:
a) 1^maglia
+ΔVGen - ΔV1 = 0
b) 2^maglia
+ΔVGen - ΔV2 = 0
c) 3^maglia
+ΔVGen - ΔV3 = 0
d) 4^maglia
+ΔV1 - ΔV2 = 0
(equivalente a b)
e) 5^maglia
+ΔV2 - ΔV3 = 0
(equivalente a c)
f) 6^maglia
+ΔV1 - ΔV3 = 0
(equivalente a c)
Quesiti:
Se i tre resistori del circuito in esame (collegamento in parallelo) hanno resistenza uguale a
300 Ω ciascuna e la differenza di potenziale ai capi del generatore vale 150 V, qual è il valore
della corrente che attraversa il generatore e le tre resistenze?
I1 = I2 = I3 = 0,5 A
IGen = 1,5 A
I1 = I2 = I3 = 0,5 A
IGen = 0,5 A
I1 = I2 = I3 = 0,167 A
IGen = 0,5 A
I1 = I2 = I3 = 1,5 A
IGen = 1,5 A
Analisi di circuiti di tipo ohmico; applicazione delle Leggi di Ohm e
delle Leggi di Kirchhoff (Leggi delle maglie e dei nodi)
Un circuito è formato da due generatori concordi collegati a due resistori secondo lo schema di
circuito rappresentato in figura. A partire dai dati riportati in tabella, si determinino:
a) il tipo di collegamento dei componenti
b) la resistenza equivalente del circuito
c)
la differenza di potenziale totale dei due generatori
d) la corrente I che circola nella maglia
e) la differenza di potenziale ai capi di ogni resistore.
f)
Si applichi la Legge delle maglie al circuito
Dati del problema
Quesiti
Condizione
ΔVGen1 = 160 V
differenza di potenziale Generatore 1
IGen1
collegamento in serie
ΔVGen2 = 80 V
differenza di potenziale Generatore 2
IGen2
collegamento in serie
R1 = 120 Ω
Resistenza del resistore 1
I1
collegamento in serie
R2 = 180 Ω
Resistenza del resistore 2
I2
collegamento in serie
a) Tutti gli elementi del circuito generatori e resistori sono collegati in serie; per definizione
sono interessati dalla stessa corrente (IGen1 = IGen2 = I1 = I2)
b) Collegamento di resistori in serie: la resistenza equivalente è la somma delle resistenze
Re = R1 + R2 = 120 + 80 = 300 Ω
c)
Collegamento di generatori in serie: la differenza di potenziale equivalente è la somma
delle differenza di potenziale
ΔVe = ΔVGen1 + ΔVGen2 = 160 + 80 = 240 V
d) Si applica la Prima Legge di Ohm al circuito elementare: generatore ΔVe = 240 V e
resistenza Re = 300 Ω
IGen = ΔVe / Re = 240 / 300 = 0,80 A
IGen1 = IGen2 = I1 = I2 = 0,80 A
e) Si applica la Prima Legge di Ohm ai due resistori del circuito
ΔV1 = R1 · I1 = 120 · 0,80 = 96 V
ΔV2 = R2 · I2 = 80 · 0,80 = 64 V
f)
Si verifica la Legge delle maglie applicandola alla maglia del circuito
+ΔVGen1 + ΔVGen2 - ΔV1 - ΔV2 = 160 + 80 - 96 - 64 = 0
Analisi di circuiti di tipo ohmico; applicazione delle Leggi di Ohm e
delle Leggi di Kirchhoff (Leggi delle maglie e dei nodi)
Consideriamo il circuito rappresentato in figura (i due schemi di circuito sono equivalenti) è
costituito da un generatore ideale di differenza di potenziale ΔVGen e da tre resistori con
resistenze di valore R1, R2 e R3 collegate in parallelo.
Sia ΔVAB la differenza di potenziale tra il punto (nodo) A e il punto (nodo) B.
Nel circuito sono presenti due nodi in cui la corrente principale si divide nei tre rami contenenti
rispettivamente le resistenze R1, R2 e R3.
Si vuole determinare i valori di tutte le correnti che circolano nei diversi rami del circuito a
partire dai dati riportati nella seguente tabella.
Dati del problema
ΔVGen = 100 V ddp del generatore
Richieste
IGen corrente principale nel
R1 = 1200 Ω (resistenza R1)
R2 = 2000 Ω (resistenza R2)
R3 = 500 Ω (resistenza R3)
I1
I2
I3
ramo del generatore
corrente nel ramo di R1
corrente nel ramo di R2
corrente nel ramo di R3
Nel problema ci sono quattro incognite, quindi occorrono quattro relazioni indipendenti.
Per la Legge dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff) si ha:
IGen = I1 + I2 + I3
Prima equazione
Applicando la Legge delle maglie (Seconda Legge di Kirchhoff) alla maglia che contiene il
generatore e una delle resistenze si ha:
ΔVGen - ΔV1 = ΔVGen - R1 · I1 = 0
Seconda equazione
ΔVGen - ΔV2 = ΔVGen - R2 · I2 = 0
Terza equazione
ΔVGen - ΔV3 = ΔVGen - R3 · I3 = 0
Quarta equazione
Poiché i resistori sono collegati in parallelo, la differenza di potenziale ovvero la caduta di
tensione è la stessa ai capi di tutte e tre le resistenze:
ΔVGen = R1 · I1 = R2 · I2 = R3 · I3
Quinta e Sesta equazione
E quindi:
I1 = ΔVGen / R1
I2 = ΔVGen / R2
I3 = ΔVGen / R3
Come si può vedere, si hanno a disposizione equazioni in numero sovrabbondante, tra le quali
è possibile scegliere di volta in volta quelle matematicamente più semplici (è necessario
acquisire un minimo di esperienza svolgendo alcuni esercizi).
La corrente che circola in ogni ramo del parallelo è inversamente proporzionale alla resistenza
del ramo.
Sostituendo i dati in tabella nelle equazioni si ha:
I1 = ΔVGen / R1 = 100 / 1200 = 0,083 A
I2 = ΔVGen / R2 = 100 / 2000 = 0,050 A
I3 = ΔVGen / R3 = 100 / 500 = 0,200 A
IGen = I1 + I2 + I3 = 0,083 + 0,050 + 0,200 = 0,333 A
Qual è la resistenza equivalente Req dei tre resistori collegati in parallelo?
Utilizzando le quattro relazioni sulle correnti, si può ottenere:
IGen = I1 + I2 + I3 = ΔVGen / R1 + ΔVGen / R2 + ΔVGen / R3 =
= ΔVGen (1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3) = ΔVGen / Req
La resistenza equivalente del collegamento in parallelo del circuito in esame è:
1 / Req = (1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3) = ( 1 / 1200 + 1 / 2000 + 1 / 500)
Req = 300 Ω < 500 < 1200 < 2000
La resistenza equivalente ad un parallelo è minore di ognuna delle resistenza del parallelo!
Utilizzando la precedente relazione è possibile ottenere in altro modo la corrente IGen.
IGen = ΔVGen / Req =100 / 300 = 0,333 A
Analisi di circuito con collegamento di resistori in serie ed in parallelo
Un circuito è formato un generatore collegato a tre resistori, come in figura.
Si determinino la corrente elettrica che circola in ogni resistore e la differenza di potenziale
applicata ad ogni resistore a partire dai dati in tabella.
Dati del problema
ΔVGen = 180 V ddp del generatore
R1 = 1500 Ω (resistenza R1)
R2 = 2000 Ω (resistenza R2)
R3 = 2000 Ω (resistenza R3)
Richieste
IGen corrente principale nel
I1
I2
I3
ΔV1
ΔV2
ΔV3
ramo del generatore
corrente nel ramo di R1
corrente nel ramo di R2
corrente nel ramo di R3
ddp ai capi di R1
ddp ai capi di R2
ddp ai capi di R3
Come sono collegati i tre resistori?
R1 è in serie con R2 e in parallelo con R3
R1 è in serie con R3 e in parallelo con R2
R1 è in parallelo alla serie di R2 e R3
R1 è in serie al parallelo di R2 e R3
I tre resistori sono collegati in serie
I tre resistori sono collegati in parallelo
Cosa si può dire sui valori delle tre correnti?
Le tre correnti hanno intensità diversa
Le tre correnti hanno la stessa intensità
La corrente I1 è uguale alla corrente I2
La corrente I1 è uguale alla corrente I3
La corrente I2 è uguale alla corrente I3
Il circuito si può risolvere applicando le leggi dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff), delle maglie
(Seconda Legge di Kirchhoff) e la Prima Legge di Ohm, oppure calcolando la resistenza
equivalente totale del circuito.
Per analizzare un circuito è necessario definire il collegamento dei resistori: nel circuito
proposto R1 è collegato in serie con il parallelo di R2 ed R3.
E’ opportuno analizzare il comportamento delle correnti: nel circuito la corrente principale IGen
erogata al polo positivo del generatore interessa il resistore R1 (I1 = IGen), in corrispondenza del
nodo A la corrente I1 si divide nei due rami del parallelo con i resistori R2 ed R3 (I2 ed I3
risulteranno inversamente proporzionali a R2 ed R3), nel nodo B le correnti I2 ed I3 andranno a
ricostituire una corrente uguale a IGen che rientra al polo negativo del generatore (si tratta alla
fine della Legge di conservazione della carica elettrica).
E’ opportuno analizzare anche il comportamento del potenziale elettrico o delle differenze di
potenziale: il generatore applica e mantiene la differenza di potenziale ΔVGen tra il polo positivo
ed il polo negativo, nei conduttori il potenziale non varia (nel conduttore ideale RCond = 0 e
quindi ΔVCond = 0), in corrispondenza del resistore R1 si ha una caduta di tensione ΔV1 (ΔV1 =
R1·I1), tra il nodo A e il nodo B (collegamento in parallelo dei due rami con i resistori R2 ed R3)
si ha una caduta di tensione ΔVBE (ΔVBE = ΔV2 = R2·I2 = ΔV3 = R3·I3) e si ritorna al valore del
potenziale V- del polo negativo del generatore (si tratta alla fine della Legge di conservazione
dell’energia potenziale elettrica).
Per calcolare la resistenza equivalente totale RTot si calcola inizialmente la resistenza
equivalente del collegamento in parallelo RPar di R2 e R3.
1 / RPar = 1 / R2 + 1 / R3
RPar = 1000 Ω
Poiché R1 è collegato in serie con RPar, la resistenza equivalente totale è
Req = R1 + RPar = 1500 + 1000 = 2500 Ω
La corrente principale che circola nel circuito è allora
IGen = ΔVGen / RTot = 180 / 2500 = 0,072 A
La corrente I1 passa nella resistenza R1 e nel nodo B si divide in modo inversamente
proporzionale nei due rami con i resistori R2 e R3; essendo R2 = R3 risulta anche I2 = I3.
I2 = I3 = 0,036 A
Applicando la Prima Legge di Ohm, risulta relativamente facile trovare la differenza di
potenziale ai capi di ogni resistore:
ΔV1 = R1·I1 = 1500·0,072 = 108 V
ΔV2 = R2·I2 = ΔV3 = R3·I3 = 2000·0,036 = 72 V
Applicando le leggi dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff)
Nel nodo B: I1 = I2 + I3
→
0,072 = 0,036 + 0,036 A
→
verificata
Nel nodo E: I2 + I3 = IGen →
0,036 + 0,036 = 0,072 A
→
verificata
ΔVGen - ΔV1 - ΔV2 = 180 – 108 - 72 = 0 V
→
verificata
ΔVGen - ΔV1 - ΔV3 = 180 – 108 - 72 = 0 V
→
verificata
Applicando le leggi delle maglie (Seconda Legge di Kirchhoff)
