Programma - Dipartimento di Matematica

Dipartimento di Matematica e Fisica
Seconda Università degli Studi di Napoli
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Programma del corso di Calcolo Numerico 2 (8 CFU) - a.a. 2014/2015
Prof. D. di Serafino, Prof. V. De Simone, Prof. P. D’Ambra
1. Argomenti trattati
Risoluzione numerica di sistemi lineari
• Metodi diretti (matrici simmetriche e matrici simmetriche definite positive)
Fattorizzazione LU di matrici a banda: algoritmo con e senza pivoting, complessità computazionale.
Fattorizzazione LDLT di matrici simmetriche: esistenza e unicità, algoritmo per il calcolo della
fattorizzazione, cenni al pivoting, complessità computazionale. Fattorizzazione di Cholesky di
matrici simmetriche definite positive: esistenza e unicità, algoritmo per il calcolo della
fattorizzazione, complessità computazionale, cenni alla stabilità. Risoluzione di sistemi lineari
utilizzando le fattorizzazioni suddette.
• Metodi iterativi (matrici generiche e matrici simmetriche definite positive)
Matrici sparse, grado di sparsità, memorizzazione di matrici sparse. Metodi lineari stazionari basati
sullo splitting della matrice: formulazione generale, metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e SOR,
consistenza, convergenza, velocità di convergenza, complessità computazionale, valore ottimo del
parametro di rilassamento nel metodo SOR. Metodi di Richardson stazionari: formulazione,
convergenza, valore ottimo del parametro. Metodi non stazionari per la risoluzione di sistemi lineari
con matrice simmetrica definita positiva: metodi del gradiente e del gradiente coniugato, proprietà,
convergenza, stima dell’errore, relazioni tra lo spettro della matrice ed il comportamento dei
metodi, complessità computazionale. Criteri di arresto per i metodi suddetti.
Interpolazione mediante spline
Funzioni spline: definizione e rappresentazione. Spline naturali. Interpolazione di Lagrange
mediante spline naturali. Esistenza e unicità della spline naturale cubica interpolante un insieme di
punti; algoritmo per la costruzione di tale spline, risoluzione dei sistemi lineari tridiagonali che si
presentano in tale algoritmo, complessità computazionale.
Quadratura
Formule di quadratura esatte per polinomi algebrici. Formule di Newton-Cotes e formule di Gauss.
Analisi dell’errore mediante il teorema di Peano. Convergenza delle formule di Newton-Cotes e di
Gauss. Formule composite di Newton-Cotes. Convergenza delle formule composite e ordine di
convergenza. Stime calcolabili dell’errore e criteri di arresto. Integratori automatici. Complessità
computazionale degli algoritmi di quadratura. Algoritmi adattativi di tipo locale e globale.
Introduzione alla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie
Richiami sui problemi di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero in
avanti e metodo di Eulero all’indietro: consistenza, zero-stabilità, convergenza e teorema di
Dahlquist; stabilità assoluta, equazione test e regioni di assoluta stabilità; errore di roundoff.
1
2. Attività di laboratorio
Costituiscono parte integrante del programma le attività di laboratorio di seguito specificate. Si noti
che per ciascuno dei programmi elencati è richiesta l’esecuzione su un insieme di problemi test, che
mettano in luce le caratteristiche del metodo implementato e gli aspetti salienti del corrispondente
programma, e l’analisi dei risultati ottenuti.
1. Sviluppo di un programma in linguaggio C che implementa la fattorizzazione di Cholesky e la
risoluzione dei sistemi triangolari associati.
2. Sviluppo di una funzione Matlab che implementa i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel
(utilizzando la formulazione matriciale dei metodi).
3. Sviluppo di una funzione Matlab che implementa il metodo del gradiente per la risoluzione di
sistemi lineari con matrice simmetrica e definita positiva.
4. Applicazione della funzione pcg di Matlab; confronto del metodo del gradiente coniugato e del
metodo del gradiente, utilizzando rispettivamente pcg e la funzione di cui al punto 3.
5. Sviluppo di un programma in linguaggio C che costruisce la spline naturale cubica interpolante
e la valuta in un insieme di punti; confronto della spline costruita con quella implementata nella
funzione spline di Matlab.
6. Sviluppo di una funzione Matlab che implementa un integratore automatico adattativo, basato
su strategia globale e formula trapezoidale composita; uso della funzione quad di Matlab e
confronto con la funzione Matlab sviluppata.
7. Sviluppo di una funzione Matlab che implementa il metodo di Eulero in avanti per la
risoluzione di problemi di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo
ordine; uso delle funzioni della ODE suite di Matlab e confronto con la funzione sviluppata.
3. Riferimenti bibliografici
[1] A. Murli, Matematica Numerica: metodi, algoritmi e software, parte prima e seconda, Liguori
editore, 2007, 2013.
[2] A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco, P. Gervasio, Matematica Numerica, 4a edizione, SpringerVerlag Italia, 2014.
[3] J.R. Shewchuck, An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing
Pain, School of Computer Science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, 1994
(http://www.cs.cmu.edu/~quake-papers/painless-conjugate-gradient.pdf).
Caserta, 8 giugno 2015
I docenti del corso
Prof. Daniela di Serafino
Prof. Valentina De Simone
Prof. Pasqua D’Ambra
2